atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 8
Текст из файла (страница 8)
СР= 1О. В АС 5 1 Тогла соа сАСЮ = — = — = —, СР 1О 2 Р следовательно ~АСР = 60'. 58 ГлаваП.Пе пенди ля носгьп ямыхиплоскосгей № 176. Проведем высоту ВН ромба АВСР. Так как АВСР ромб, то точка Н попадет на сторону АР (рис. 112). Проведем ВВ, перпендикуляр к плоскости МАР. Тогда В,Н вЂ” проекция ВН на плоскость МАВ. Так как ВНЗ. АР, то по теореме о трех перпендикулярах В~НЬ.
АР. Значит к'.В,Н — линейный угол двугранного угла МАРВ. Таким образом ~В, НВ = бб . Так как ВВ, = 443, то ВВ, 4.(3 2 зт х'.В, НВ /3 Тогда Рис П2 АВ= ВН Г2 16 =8: — = — =8 /2. х(п ~ВАР 2 l2 Таким образомАВ=8 Г2. № 177. Хййэдщ(С: Воспользоваться теоремой п. 23, заметив, что две данные плоскости проходят через данную прямую, перпендикулярную к третьей плоскости, № 179. Предположим, что эта прямая а не лежит в плоскости сс Таким образом а пересекает плоскость а в точке А, а плоскость 13 в точке В (рис.
113). Проведем в плоскости а прямую гяс. ПВ АС, перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей а и 13. Точка Сложит на прямой пересечения плоскостей. Тогда по задаче 178 АС1.13. ЗначитАС.ЕСВ, НоАВ3 ~3, значитАВ3 ВС. Тогда в ххАВС есть два прямых угла, что невозможно. Значит, наше предположение неверно.
Таким образом прямая а лежит в плоскости а. 3. в г анный гол. Пе пенде ля ность плоскостей 59 № 180. Пусть плоскость а и прямая а перпендикулярны к плоскости р.Докажем, по а !! а. Проведем в плоскости а прямую Ь, перпендикулярную к прямой пересечения плоскостей а и В. По задаче 178 следует, что Ь Л. () (рис. ! ! 4). Таким образом а .!. В, Ь !. (). Отсюда следует, что а !' Ь (по обратной теореме п. !6).
И так как Ь лежит в плоскости а, а а не лежит в этой плоскости то а (! и. Рог. П4 № 181.ТаккакМВ.(!З,тоМВХа. Так как МА ! а,тоМА ' и(рис. П5). Тогда а перпендикулярна к плоскости ЛМВ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). И значит а 5. МС, т. к. прямая МСлежит в плоскости АМВ. № 182. а) Аналогично задаче !8! а 1 МАВС. Тогда а.ьАСи а5.СВ, зна- Рьг. П5 чит ПАСВ сеть линейный угол двугранного угла между плоскостями а и )3. Таким образом к'.АСВ = 90'. Значит АС.!.
СВ и АС ь а. Таким образом ЛС 5. !з (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Но тогда, из того, что АС1 !) и МВ.!. (3, следует, что АС!! МВ. Аналогично МА !! СВ. Значит МАС — параллелограмм и 4АСВ = 90'. Значитя МАС — прямоугольник. б) Расстояние от Мдо прямой а это МС(т. к. МС.~а по задаче 181). По теореме Пифагора МС' = СВ' + ВМ' = АМ' + ВМ = гл' + и'.
№ 183. Возьмем точку М плоскости 7. Проведем перпендикуляр МА к плоскости а. Тогда по юдаче 179 прямая МА лежите плоскости у. 60 Глава г!. Пе пен ик ля ность и ямых и плоскостей Аналогично, перпендикуляр МВ к плоскости !)лежит в плоскости у. Но так как МА и МВ перпе иди куляры к плоскостям а и (), то МА 3. а и МВ К а, т. к. прямая а лежит в обеих плоскостях. Прямые МА и МВ являются пересекающимися прямыми плоскости у, По признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что а 3.у. № 184. Хкдэдш(а: Доказать, что АСМО (где М вЂ” середина А В) это линейный угол лвугран ного угла САВР.
И по теореме Пифагора из ЗАСМР найди гипотенузу СР. № 187. а) По теореме п. 24 квадрат диагонали равен А'= !'+ !'+ 2'=б,таким образом А=чб б) г('=8'+9'+ !2' д= 17 в) Д' 39+ 7'+ 9', г( = 13 № 188. По теореме и. 24 аг = а'+ а'+ а', В =а /3. № 189, ~кдздинй; Расстояние от вершины куба до плоскости грани — это длина ребра куба, которая находится нз: а) теоремы Пифагора; б) теоремы п. 24.
д, № 190. а) Общее ребро двух полу- плоскостей это ВВ, (рис. 116). А р Но АВ 3. ВВ, и СВ 3. ВВг Поэтому 1 1 ! кАВС вЂ” линейный угол двугранного 1 угла АВВ,С. ~АВС = 90'. 1 Вр---- -- С б)А03. 00, и В03. 00, (т. к. 00, 3 АВСР). Значит к'.АР — ли- А Ю нейный угол двугранного угла АРР,В. Рис. Пб в) АналогичноАВ,3. ВВ, и ВК3 ВВг Поэтому к'.А,В,К вЂ” линейный угол дву- А,К 1 гранного угла АВВ,К. Найдем г8 кА,В,К = — ' А,В, 2 № 191. Прямая АР, лежит в плоскости АВС, т. к.
АР, !! ВС, и точка А лежит в плоскости АВСг Докажем, что прямая АР, перпенди- 3, в г анный гол. Пе пендн ля ность плоскостей 61 кулярна плоскости А,В~Р. АР, 2. А,0, т. к. это диагонали квадрата АА,Р,Р (рис. 1 ! 7). ! Так как А4, 2.А,В, и АА, — проекция АР, на плоскость 44В В, то по теореме о трех перпендикулярах АР, .~ А,Вг Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что АР, 2 А, В, 0. По теореме п.
23 следует, что плоскости АВС и А,В,Р перпендикулярны. Рис. 07 №2 192, Найдем угол л2ежду РВ, и плоскостью АВСР (рис. 118). Так как ВВ, 3. АВС, то ВР— проекция В,0 на плоскостьАВСР. Тогда ~В,РВ и есть искомый угол. ВВ, ВВ, гя к'.В,ОВ = — '= ВР,/АВ'+ АР' ВВ, ВВ, Г2 222' вв,' ВВ72 2' с А, Рис. РВ № 193. а) Так как АА,С С вЂ” параллелограмм (АА, !! СС, и АА, = 2 =СС,), то А,С, !(АС. Поэтому пря- 2 мая А,С, параллельна плоскости 1 АВС (рис, 119), Р, Значит расстояние от прямой С А,С, до плоскости АВС это расстояние от точки А, до плоскости АВС. НоэтодлинаА,А, т. к.А,А Л.АВС.
Так как АВС04242В2С20, прямоу- А Р гольный параллелепипед, то Р,В = =АС иАА СС. Значит АС,' = А(У + АВ' + АА,' . А так как АС = т' = А 0' + АВ', то 22" = пг' + АА,' АА, = Л' — Влв Таким образом расстояние от прямой А,С, до плоскости АВС равно /222 -Вп'. в, бг Рлввай. Пе лен и ля ность и ямыхиллоскостей б) Аналогично п. а). в) Прямая РР, )! СС,. Позтому прямая 00, параллельна плоскости АССи Найдем расстояние от точки Р ло плоскости АСС. Рассмотрим сзАОС: кО = 90, АС= и-.
!ге = т, СО = и (по условию). Тогда по теореме Пифагора АР= з!т'-и'. Проведем высоту ОН (рис. 120). РН 3 АС и РН 2 АА „т. к. АА, перпенликулярна плоскости АВСР. Значит, ОН перпендикулярна плоскости АСС„т. е. ОН расстояние от точки О до плоскости АСС,. Найдем ОН; кСАР = — = —. СР ОН АС АО СО АО и. (тт'-л' Отсюда ОН = АС т' В № 194. а) Найдем расстояние между ! ! ВР и СО. Построим сечение плоско- ! А, стью, проходящей через ВО, и парал- лельно СО (рис.
121). гО и Проведем через точку В прямую па- раллельно СО. Это будет ВА. Также че- В С рез точку О, прямую параллельно СР. Тогда АВС,О, — искомое сечение. А 0 Тогда СО !! АВС,О, и ВО, лежит в плосРис. РН кости А ВС,Ри Таким образом пало найди расстояние от СР ло плоскости АВС,О„в частности, найдем расстояние от точки Рло плоскости АВС,Ог Так как ОА, 2 АО, (т. к, АА,Р,Π— квадрат) и РА, 2 АВ (т.
к. АВ.~ ААОО), то ОА, ! АВС Рг Значит 00 расстояние от точки Рло плоскости АВС,Р, (рис. 12!). 00 = — ОА, = — АА,' + АО' = — а. 1 1;, ч'2 2 ' 2 ' 2 б) Будем искать расстояние мсжлу В,Р и СРи еЗ. в г анный гол. Пе ленди ля ностьплоскостей 63 Построим сечение плоскостью, параллельной СР, и проходяшей через В,Р. Прямая пересечения плоскости сечения и плоскости СС,Р,Р параллельна СО, (по угв. 1' п. 6). Поэтому проведем прямую РС, в плоскости СС,Р,Р, и эта прямая лежит в плоскости сечения.
Тогда прямая С,В, тоже лежит в плоскости сечения и пересекает ВС в точке М(рис. 122). 1 И так как С,С = СС„то СМ = — СВ, В, т. с. М вЂ” середина СВ. В плоскости А,ВС,Р, проведем прямую В,Н "1 РМ. Тогда 0НВ,Мискомос сечение, ' М в Таким образом СР, параллельна проекции РНВ,М. Отметим точку К вЂ” середину В,Си Тогда Р,К~~ ФВ, и т. к, СК !'МВ„то плоскости РНВ М и СР,Кпараллсльны. А Р Чтобы найти расстояние между прямыми СР, и В,0 надо найти расстояние между этими параллсльныи и плоскостям и, Проведем перпендикуляр С,Н к С, плоскости СО,К, Тогда эта прямая также перпендикулярна к РУВ,М и пересекает сс в точке Н,. Тогда Риг. 122 СН, !.НКиСН,~ НВ,(см.рис.
123). Т. о. ЛС,Н,К вЂ” гзС,Н,Ви Откуда из того, что С, К = КВ, следует С, Н, = Н,Н,. В, Найдем С,Ни С,Н, — высота тстраэдра С КР С, в котором стороны легко ишугся. 1 С,Р, = а = С С, С,К= — а. По теореме 2 С Пифагора ск-,Ес,' с,к =~г ° ~ ='~'. Риг. 123 б4 Главал. Пе пенди ля настыл ямыхиплоскостей С, а Г5 СР = Г2а, РК= —. 2 Нарисуем этот тетраэдр отдельно !рис. 124). СК = Р,К, СС, = С,Р.
К ----~ -- -- С Поэтому ЬСР К и "~СС 0 — равиобедь ! реииые. Поэтому С,Р и КР— высоты треугольников СС,Р, и СКР„где Р— серелииа Р,С. Н,Р— проекпия С,Риа плоскость СКР, Рис. 124 и по теореме о трех перпендикулярах Н,Р 3 СРк Но тогда точка Н, попадает на КР, т, е. С,Н, — высота схКС,Р. Найдем С,Р: ЛС,РС вЂ” прямоугольный, значит С,Р СС, -СР'= )а'- — а' =— 2 2 5, ! а~Г3 4 2 2 Найдем высоту С,Н, в схС,КР. Обозначим КН, = х, тогда Н, Р = а ГЗ = — -х.
Тогда С,Н, '= С,К' — КН,' = С,Р' — РН,', откуда а', 2а' (а ГЗ а' , а' а' 3 — -х' = — — — -х . Значит — -х' = — — — + ахчЗ-х', 4 4 ~ 2 4 2 4 г а а 3 Откуда ахч3 =- — + -а', 4 2 4 а а/3 Га' За' а а Гб Значит х= —, х=. Тогда С,Н, =~ — — — = — = —. 2~ГЗ 6 ' ' )/4 36,/6 6 Значит расстояние между диагональю куба и диагональю грани а/6 куба равно —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
