atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 5
Текст из файла (страница 5)
1 Фаддеев ьз — ~~ кл. 34 Глава !. Па аллельность и ямых и плоскостей А № 102. Заметим, что в Ь ВСР МН является средней линией, значит ВР (! МХ, а тогда ВР параллельна плоскости АМ% (теорема п. 6) (рис. 58). Так как МФ вЂ” средняя линия ЬВСР, то 1 В --- - - - МН= — ВР,т.е. МФ=!Осм. Найдем АН. м И 2 Так какАС =СР=АР= 20см,тоЛАСР— равносторонний, а значит АФ является и Рас. 58 высотой (т, к, АН вЂ” это медиана). Значит х'.А)УС = 90'. По теореме Пифагора АН' =АС'-С7т', т.с. АН' 400-100 = ЗОО.
Таким образом, АФ = ! О чгЗ си. Аналогично АМ = ! 0 /3 си. Теперь рассмотрим АМАН вЂ” это равнобелренный треугольник, который и является сечением тетраэдра плоскостью а. Прове- 1 дем высотуАН АНтакже является медианой. Значит МН = — МЮ= 2 = 5 ем. Тепсрь по теореме Пифагора из того, что Е~АНМ вЂ” прямоутольный, следует, что А Н' =. АМ' — МИ' = 300 — 25 = 275, т.
е. А Н = 4275 = 5ч) ! см. Тогда Ю„„= — АН МН= 254Тсм'. Р„„х=АМ+ МН+!К4 = !О~ГЗ+ 10+ !ОчЗ = !0(2сГЗ+ !) см. № 103. Указавшие: из подобия Ь РМР - с РАС,,~РСВ - ЬРРН вывести, гто МР!!АС, РХ)ВС, т. с. плоскости параллельны, Далее: МР РН МЛ' — — — — — следовательно Е~ МИР- ЬАВС и отсюда най- АС СВ АВ ти плошадь 7зМНР.
№ 104. Так как АС параллельна плоскости сечения, то линии пересечения плоскости сечения с плоскостями АВС и АРС параллельны АС (утв. 1' п. 6). Таким образом проведем через точку М прямую МФ, параллельную АС Аналогично надо в плоскости АВР пронести прямую МР параллельно ВР. Дополнительные задачи 35 Теперь а плоскости ОАС проведем п рямую ЕК параллельно АС. Соединим К и Лг. Тогда КЕМЛà — искомое сечение (см. рис.
59), № 105. Изобразите тетраэлр РАВС и отметьте точки М и Ф на ребрах ВР и СР и внугреннююточку КграниАВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью М)УК. Проведем МЛГ. Возможны даа случая: 1) М)У пересекает ВС в некоторой точке Е (рис. 60). Тогда провелсм ЕК.
Эта прямая пересечет АС и АВ в точках Р и О. Тогда соединил Р с М и О и М получим МЛ٠— искомое сечение. 2) МФпараллельиа ВС(рис.б1), Нотогда плоскость сечения параллельна ВС (теорема и. Ь). Таким образом пересечение плоскости сечения с плоскостью АВС параллельно ВС Проаедем прямую Ро через точку К параллельно ВС, пересекаюшую АС и АВ в то ~ках Р и Д. Тогла МЛЛΠ— искомое сечение. О Ряс. 59 О Ряс. бО № 1Об. Укдзднис: Провести КЛ~, которая либо пересечет ОВ в точке Р.
Тогда воспользоваться задачей 105, либо ВС в точке О,тогда провести ДМ. № 107. Указанина: Залача аналогична зааачс 3 из и, 14. № 108. Построим точки А„В„С, на ОА, РВ,ОСтак,чтоРА,= ОВ,=ОС,и ОС,пересекает А,В, а точке С,. Так как с."зА,ОВ,— равнобедренный, то ОС, — биссектриса, а значи~ и медиана. Таким образом А,С, = С,Вт Аналогично В,.А, = А,С, и С,В, = В„4,. Тогда А„4„В,В„С,С, — медианы 'зА,В,Ст Значит они пересекаются в точке Ос Значит плос- Зб Глава 6 Па аллельность и ямых и плоскостей кости А,РО„В,РО,, С,РО, пересекаются по прямой РОг Таким образом плоскости А,А,Р, В,В,Р, СС,Р пересекаются по одной прямой РОв Но это означает, что плоскости РАА„РСС„РВВ, пересекаются по прямой РО„которая является обс щей лля этих плоскостей. Но это означает, что точка О, которая является точкой пересечения РО, и АВС является точкой пересечения АА„ВВ„ССт (рис.
62) В Ряс б2 № 109, Рассмотрим параллеле- пипед АВСРА,В,С,Рь Тогла две В С~ плоскости — это ВВ,Р,Р и АА,СС ! О, (рис. 63). Но АС пересекается с ВР я точке А, О, а А,С, пересекается с В,Р, в точке 1 О,. Таким образом прямая ОО, и В'„„ь С есть прямая а ОО, — есть средняя линия параллелограммов АА,СС и ВВ,Р,Р, а значит параллельна всем А боковым ребрам параллелепипеда. Любая диагональ параллелепипела лежит в одной изданных плоскостей, а тогда она пересекает ОО„ т. к, пересекает параллельную ей соответствующую ей в этой плоскости боковую сторону параллелепипеда.
№ 110. Заметим, что А В!) 0 СиАР1 ВС, т. к. четырехугольник А,ВСР, и А,РС, — параллелограммы (рис. 64) Но тогла плоскости А, ВР и В СР, параллельны (по теореме и. 10). № 111. Докажем, что АС, < АВ, +В,С, (по неравенству треугольника). АВ, < АА, +А,В,. То~да АС, < АА, +АВ, + ВС, = АА, + АВ+ А0. (рис. 65) ополнигельные ачи В, № 1!2.
Как известно из плаии- метрии сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Таким обра- А зом, рассмотрим АА,СС вЂ” паразлелограмм. Значит АС,'+ А,С' = АА,'+А,С,'+ + С,С'+ АС' Аналогично В,О'+ ВО,' = ВВ,'+ А +В,Р,'+ 00'+ ВО' Зиачит (1) АС,'+ В !У + ВР,' = АА,'+ +А С,'+ СС,'+АС'+ ВВ,'+ В,,О,'+ + РО,'+ ВО', по А,С, и В, О, — диагонали параллелограмма А,В,С,Р„поэтому АС,'+ ВО,' А Р,'+ВС,'+СО,'+А,О,'. Аналогично АС'+ ВФ =АВ'+ ВС'+ СО'+ Агу. Таким образом подставляя эти два равенства в (!) получаем: АС,'+А С'+ В,О'+ ВО,'= =АА,'+ А,В,' + В~В'+ АВ'+ АО' + ВС + А,Р,' + СС,' + 00,'+ О,С,'. Рис.
б4 Рис, 65 + В,С,'+ СР' ч- № 113. Точки В и Р, лежат в плоскостях обоих сечении, поэтому плоскости сечений пересекаются по прямой ВОс Ча 114. Так как плоскость се- чеиия параллельна АСС„то прямые АС и СС, параллельны плоскости сечения. А тогда линии пересечения плоскости сечения с плоскостями Рис. бб Глава I. Па аллельность л ямык и плоскостей 38 В К с Р, М Е Рис. б7 лес провести КФ параллельно АВСР и АА,В,В параллельны прямым АС и СС, соответственно. Поэтому проведем через точку М прямую, параллельную АС.
Она пересечет ВС в точке Е. Проведем через точку М прямую МЛГ параллельно ССг Аналогично проведем прямую РК параллельно СС,. Соединим Кс Ф. КАМУ вЂ” искомое сечение. № 115. Хдааадиа: провести прямую МКпараллельно ВР, адаРСя М7тК вЂ” искомое сечение. Глава П. Перпенднкулярность прямых н плоскостей № 118.Так как ОА ( а,то ОА сОВ(т.к. ОВлежит в плоскости и) (рис.70). Значит с'. АОВ = 90'. Аналогично ~МОС = 90', ~0ОА = 90'. Рассмотрим с.'с0ОА: к00А = 90', значит с.ОАМ и 90', также с'.ВМО < 90'.
0 Рис, бе № 119. а) т. к. ОВ.1. ОА, то ОВ являются серединным перпендикулярои к отрезку А0, тогда АВ = =ВО (рис. 71). б) с'.АОВ = с'.АОС = 90 . т. к. ОА перпендикулярна к плоскости ОВС ОВ = ОС (по условию) и сторона ОА — об!пая. Тогда ЬАОС = = сзАОВ, тогда АВ = АС. Рис, 70 б 1. Перпендикулврность прямой и плоскости № 116. а) Если ЕВА0 = 90', то В! параллелограмм АВС0 являются прямоугольником.
Тогда к'.ВСО = 90', т. е, 0С 5. СВ А! Но СВ 1 С,В„тогда по лемме п. 15 следует, что СО з. С,Вс Аню!огично АВ5.АО,А0~1А,О, =АВ5 А,Ос б) Заметим, что 00, 1 СС, и АВ з. СС„АВ 5 00 (полемме п,15) Рис. бВ АВ1А,В, и АВ.~ 00„следователыю АВ ' 00с № 117. М!У вЂ” средняя линия АВС, поэтому МА!1(ВС Но ВСд АО, поэтому по лемме и. 15 следует, что МФ.(. А0 (рис. 69). в) Аналогично б) ЛАОС = тзАОВ по признаку равенства прямоугольных треугольников. № 120. Обозначим наги квалрат АВСР.
Тогда т. к. ОКЗ.АВСР, то ОК.1 ОА. Найдем ОА: АС' = АВ'+ ВС' т. к. кАВС= 90', таким образом АС= /2с' = а Г2(рис. 72). ,(2 Тогда АО = — АС = — а. 2 2 Но ЛАОК- тоже прямоугольный, значит АК =АОг+ОК АК = (-а'+Ь'. КВ, КС, КР ,! 12 находятся абсолютно также. Ряс 77 № 121.
дбщбиа: аналогично Рис 72 задаче 120. Следует учесть, что медиана СМ прямоугольного ЬАВС равна половине гипотенузы АВ. Надо дважды применить теорему Пифагора для ЬАВС и с3КМС. № 122. Найдем РА, РВ, РС АВ=АС= ВС= 16~(3. Заметим, что АС 3. РС. Значит РА'= РС'+АС' РА = ~/760+ 256 = 32 см (рис. 73) Аналогично РВ = 32 см. РС= 1б см (по условию). Найдем КА, КВ, КС.
Заметим, что ОК 3. ОА, ОК 2 ОС, ОК 3. ОВ, т.о. КА' = КО' + ОА '. Значит пало найти ОА. Ркс 73 40 Глава (1 Пе пендик ля ность и ямык и плоскостей 9 П Пе пеиди ля постыл ямойиплоскости 41 Π— это точка пересечения медиан треугольника АВС. Значит ОА = 2 = — АА, но т. к. йАВС вЂ” правильный, то АА является также 3 высотой. Поэтому АА,' = АС' — СА', т. е. АА, = 24 ем.
Аналогично ВВ, и СС равны 24см. Отсюда ОА = ОВ = ОС = 16 ем. Далее КА = КВ = КС = Йб' ч. 12' = 20 см. № 125. РР, 3. а, (3(3, 2 а, тогда РР, ~(ООи и т, к. прямая РЯ,лежите плоскостна,то~ОС,Р,= ~РРЯ, 90' (рис. 74). Провелем через РР, и Щ плоскость (3. Проведем прямую РМ параллельно Р Ог Эта прямая лежит в плоскости р, т. к. в противном случае прямая Р,О, также пересекала бы плоскость |3, но РЯ лежит в плоскости (3. Значит, РМ ~ РО, и Р,О, 2 РО.
Тогда РМ 3 ()0и т. е. к'.РМЦ, = 90 . Таким образом РМ()Р, прямоугольник и РЦ, = РМ. Найдем РМ из треугольника РМО: РМ-'= Р(2'-ОМ'= Ро'-((2(2 -ОМ)'= = РО' — (٠— РР,)' = 15' — (33.5 — 21.5)' = = 15' — ! 2' = 81, т. е. Р,0 = РМ = 9 ем. Рис 74 Рис 75 № 126. Так как МВ перпендикулярна к пересекаюшимся прямым АВ и ВС, лежащим в плоскости АВС, то прямая МВ перпенли- № 124.Таккак РР,2 пил(),да,то РР ()О(2к Проведем плоскость через прямые РР, и Оок Тогда прямые РО и Р Ц, лежат в этой плоскости и не пересекаются, т. к. иначе прямая РО не была бы параллельна плоскости а. Таким образом, четырехугольник 0 РОО,Р, — параллелограмм.
Значит Щ='РЯг 42 ГлаваН. (7е ленди ля ностьл ямыхнллоскостей № 127. Так как ВР 2 АВС, то ВР перпенликулярна любой прямой нз плоскости АВС. Таким образом РВ2 АС (рис. 76). Но АС 2 СВ, значит АС перпендикулярна прямым СВ и 30, которые пересекаются. По признаку перпендикулярности прямой н плоскости АС перпендикулярна плоскости ВСР. Прямая СР лежит в плоскости ВСР. А тогда АС2 СР, В Рис.
76 № 128.ТаккакдиагоналиАВС0 делятся точкой пересечения пополам,тоАО=ОС и ВО =00(рис. 77). Значит, т. к. МВ = М0, то в равнобедренном треугольнике ВМР медиана МО является высотой, т. е. МО2 00, Аналогично ЛАМС вЂ” равнобедренный, значит МО.~АС. Тогда МО перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВР и АС плоскости параллелограмма, а следовательно, по признаку перпрямой и плоскости, МО перпендикулярна Риг.
77 пендикулярности плоскости АВСР. № 129. Уквзаниие: а) доказать, <то ВОЗ. АСи ВОЗ АМ; б) вывести из пункта а). № 130. а)Так как ВМВАВи ВМ2 ВС,то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая ВМ перпендикулярна плоскости АВСР. кулярна к плоскости АВС (рис. 75) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Таким образом, прямая МВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС. Если 0 е АС, то прямая ВР лежит в плоскости АВС, и значит, МВ.(. ВР, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
