atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть точка М вЂ” середина АС. Точка Ф вЂ” середина ВС (рис. 1О). Тогда рассмотрим сзАВС. Прямая МсУ 11 АВ как средняя линия треугольника АВС. Л т. к. прямая МЛ' параллельна прямой АВ, лежащей в плоскости гт, то МФ параллельнаа гт (по теореме). кис. 1(1 № 20. Аналогично задаче 19. Указанная средняя линии трапеции параллельна основаниям. !О Глава !. Параллельность и ямык и плоскостей № 23. Точки С и Р нс лежат в плоскости МАВ, т.
к. иначе бы М лежала в плос- костиАВСР (рис. (!). А значит СР либо пересекает, либо параллельна МАВ. Но СР !! АВ, а прямая АВ лежит в плоскости МА В. Значит СР (! МА В. Ла 24. Аналогично задаче 23. А Гас. (! № 25.;(аннан прямая параллельна прямой, лсжашей в каждой из плоскостей (т. к, является пересечением этих плоскостей), итак какданная прямая не лежит ни волной из этих плоское гсй, то она параллельна этим плоскостям. Ла 26. Проведем плоскосз ь А ВС. Эта плоскость пересекается с плоскостью а (т. к. АВ пересекав~си си), а тоглв плоскость АВС пересекается с шюскостью а по при~ой ММ, То!да но )га. ! н)зпсш 6 прямая АС !! Мд! (т.
к. АС (~ и). )( тоо!а в шюскости АВС ~ИВ = х'.АСВ и тон!а Е~МВ!т'- ~"ь4ВСпотрем углам (т. к, к.В— обший) (рнс. (2). Лкс. (г № 27. Хкааздциа: провести плоскость через точки А, С, Р Тогда в этой плоскости СР параллельна прямой пересечения плоскостей АСР и сс Нало показать, что !зАСР— ЛАВЕ. № 28. ~катание: Доказать, что ВС (( РЕ. Тогла (зА РŠ— ЛхАВС, откуда находится ВС. № 29. Заметим, что СВ параллельна плоскости АКР, т.
к. СВ (( АР и по теореме это )твсржленне слслуст. Л так как плоскость МВС проходит через прямую ВС, параллельную плоскости АКР, то прямая, являюшаяся пересечением плоскостей АКР и МВС, параллельна прямой ВС. Эта прямая а проходит через точку К и лежит в плоскости МВС Глава( Па аллельность и ямыхиллоскосгей 12 1) Никакие 2 из них не пересекаются. Но тогда они параллельны, т. к.
а и Ь лежат в одной плоскости, а значит а 11 Ь. Аналогично Ь 11 си а 11 с. 2) Какие-то лве прямыеперссекаются в точке М. Пусть это прям ые а и Ь. Значит точка Млежит во всех плоскостях (т. к, М и а ~ М и ии Ме а„Ме Ь=ьМе а„Меа)„атогдапрямысЬистакжспересекаются и точке М. (Если только Ь и с не совпадают, но зто п. 3.) 3) Какие-то две прямыс совпадают, но тогла зти прямые являются пересечением всех трех плоскостей, а зна <ит плоскости проходят через одну прямую, что противоречит условию.
$2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми № 34. а) Очевидно, что точка Влежит на обеих прямых; значит прямые пересекаются. б) Так как Р— середина ()С, а точка )т' — середина 0В, то Р)У— средняя линия (зС()В. Значит РЬ((1СВ. Прямая РКлежит в плоскости СРВ и т.
к, она пересекает пря- 0 м ую РЬ(, то РК пересекает СВ (т, к. РЩ СВ). Итак, прямые РК и ВС пересекаются. и в) Так как МЬ(средняя линия ЛАОВ, то МХ11АВит. к. М1тиАВлежатводной плос- Р кости АВВ, то прямые параллельны. ---- В А г) Аналогично в). с д) Прямая Кгт' пересекает плоскость АВСв точке В, не лежащей на прямойАСА Рис ГЗ тогда по теореме из и. 7 прямые КФ и АС скрещиваются. е) Аналогично д). № 35. Предположим, что зто не так, но это означает, что обе прямые параллельны прямой а, так как они нс пересекаются с а. Но через точку, не лежащую на прямой может быть проведены только одна прямая, параллельная данной. Значит, хоть одна прямая скрещивается с прямой а.
92. Взаимное сположениеп ямыхвп осг ансгве 13 № Зб. Проведем плоскость а через прямые и и Ь (это можно слелать, гак как и 11 Ь ). Прямая с не лежит в плоскости и, так как иначе бы с пересекала бы и прямую Ь (так как а 1! Ь). Значит с перс- сскает плоскость а, в точке, которая не лежит на прямой Ь. Значит по теореме прямые с и Ь скрещиваются. № 37. а) будемрассматриватьплоскостьАВСТогдаАе гл,Се вк т. к. ~л не имеет общих точек с АС. Значит возможно два случая. 1) Ве гл, тогда ьч и ВС пересекаются. 2) Вя гл, т, е, гл перссекает сторонуАВ внутри.
Как известно из план иметрии, если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает и другую сторону; т. к. гл не псресекаст АС, значит м пересекает ВС Т. с. прямые ги и ВС пересекаются. б) Если лг пересекает АВ в точке В, то прямые гл и ВС пересекаются. Если же м пересекае г АВ в точке, нс лежащей на прямой ВС, и потеорсме прямые гл и ВС скрещиваются. № 38. Укаэациьч доказать, что прямая Цлежит в ~щоскости ромба. № 39. Провслем плоскость АВС (рис. 17). Тогда точка 0 нс лежит в плоскости АВС, и ~ ~ачс АВ и Сд лежали бы в одной плоскости, а они скрещиваются, а значит прямая АО пересекает плоскость А ВС (Заметим, что в точко А.). Тогда по теореме п. 7 из того, что А)) пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС, следует что А 0 н ВС скрещиваются (то, что А не лежит на прямой ВС следует из того, что иначе бы при мыс АВ и С0 пересекались).
Рис. ! 7 Глава 1. Па вллельность и ямык и плоскостей № 40. а) Предположим, что прямая Ь па. Значит прямыс в и Ь лежат в олной плоскости а. Но тогда они либо параллельны, либо пересекаются, а по условию они скреппивются. Значит, Ь не лежит в плоскосги а. б) Точки М и )У лежат в обеих плоскостях (по построению). Тогда прямая МФ лежит в каждой из плоскостей, т. е.
является нсрссеРкг. ЬУ чснием а и 33. Так как прямая, по которой пе- ресекаются две плоскости может быть только олна, то а и )3 пересекаются по прямой МЛ'. Льа 4!. Указанг ~ч Воспользоваться теоремой из и. 5. л л е Ла 42. а) ГК )! АВ, т. к. зто основания транении, АВ )! Сд, как противоположныс стороны параллелограмма. Отсюда следует, что ЕК !)СЕ) из теоремы п. 5. б) Рассмотрим трапепию АВЕК, ОбоРаг,!9 значим точки касания окружностью Е, М, ЛЕ Рна отрезках АВ, ВГ, ЕК, К4 соответственно. Тогда АЕ = АР, т.
к, «рсугольники ОРА и 01А прямоугольные и равны по катету и гипозснузс, Значит равны вторыс катеты. Лналогично КР= КЛ; ЕИ= ЕМ, ВМ= ВЕ. Значит периметр Р,„„= АВ+ ВЕ+ ЕК+ К4 = 2АЕ + + 2В1. + + 2ЛЕ+ 2КМ= 2АВ+ 2КЕ= 2' 22 5+ 2 ° 275 = 45+ 55 = )00 си, № 43. Проведем отрезок АС.
Š— ссрединаАР, К вЂ” Е)С, Л7 — СВ, М— АВ. Рассмотрим з'АВС: МЛ' — срелняя линия ЕхАВС, значит Мж)~АСи МЛ'= — АС. ! 2 Рассмотрим ЕхАЮС: ЕК вЂ” средняя линия ЛАЕ)С,значит К1 )! АС и К1, = -АС. ! 2 Рис 20 В2. Взаимное асположениеп ямыхвп ест анстве 15 КЕ =— ~ КЕ = М)т' МА) =-АС~ ! 2 КЦАС ~ МА !)АС~ =ь КЕ)!МФ Значит через точки К, Е, М, )У можно провести плоскость (т. к. ее можно провести через лве параллельпыс пря мыс). А тогда в этои плоскости четырехугольник КЕМ)У является параллелограммом, так как противоположныс стороны равпы и параллельны, т, с. КЕМ% — параллелограм. № 44.
Проведем через точку О пря- А мую, пвраллсльиуюСР. Это булет прямая, совпалаюшая с ОВ. Таким образом угол между прямыми ОА и СО равен углу между прямыми ОА и ОВ. О а) Так как ~АОВ = 45' пе превосходит 0 любой из трех оставшихся углов, то угол мсжлу ОА и ОВ, а значит и угол между ОА и Рис. 2) СР раасн 45'. б) х.'АОВ = !35', тогда х.'АОВ' = )80' — !35' = 45', глс В'лежит по лругую сторону от точки О, чем точка В, зпа ~и г име! шо хАОВ сеть угол мсжлу прямыми ОА и ОВ. Угол между прямыии ОА и СР равен 45'. и) Аналогично а).
№ 45. Так как а и ВС параллельны, то оии лежат в одной плоскости. Назовем ее а. Точка Р ие лежит в плоскости а, так как иначе С0е а, АВе а.т. с. асовпадала с плоскостью АВСР и следовательно и лежа!а бы в плоскости параллелограмма. АтоглаСРпсрссекаетавточке С, ко- 0 торая иелсжитиапрямойа. Потеоремса Ряс 22 и СР— скрешиваюшиеся прямые. Провелсм через точку С прямую, параллельную а. Это будет прямая СВ. Значит угол между а и СР равен углу между СВ и СР. А этот угол рааса острому углу параллелограмма. Глава 1. Па аллельность л ямых и плоскостей а) 50 б) 121' — это тупой угол, поэтому ответ 180 — 121' = 59 . Оглвегю а) 50'; б) 59', № 4б.
Укра)~ил: аналогично задаче 45. Следует учесть, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и, что диагональ ромба является биссектрисой соответствующего угла. й 3. Параллельность плоскостей № 47. М вЂ” середина ВС. К- середина АП Отметим точки: Е— серслина ВР. Дг — ссрелнна АС. В Докажем, что КЕМ вЂ” ромб, Действительно: Мйг средняя линия ПАСВ~ КЕ средняя линия ПАСВ ( МФ!)АВ,МУ=-АВ 2 КЕ!!АВ, КЕ = — АВ ! 2 МлГ = КЕ М!У(! КЕ Таким образом мы уже доказали, что КЕМ))à — параллелограмм. 1 Р .23 ие АиалогичноМЕ= -СР= КлГ,нотак 2 ! 1 как АВ=СР, то МЕ = — СР = — АВ = КЕ = МФ.
Таким образом 2 2 КЕМ)У вЂ” параллелограмм, у которого все стороны равны, а значит он ромб. А тогда МК вЂ” диагональ ромба является биссектрисой угла к.'ЕМл', т. е. к'.ЕМК = к'.КМКч Так как ЕМ !! РС, то угол между прямыми С0 и МКравен углу между прямыми МЕ и МК.. Аналогично угол между прямыми АВ и МКравен углу между прямыми МФи МК. Так как угол к.'ЕМК острый (т. к. это половина к.' ЕЛЩ, то угол между прямыми МЕ и МК равен к'.ЕМК, который равен к'КМФ, а это острый угол, который является углом между прямыми КМ и МЛ. т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
