atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 3
Текст из файла (страница 3)
углы между прямыми МЕ и МКи МКи МФравны, а значит равны и углы между АВ и МК, СР и МК. 17 В 3. Па аллельность плоскостей № 49. Предположим, что такая плоскость сушсствует. Тогда прямая е, а следовательно и точка В лежит в этой плоскости. А тогда точка Влежит в обеих плоскостях, т. е. зти плоскости пересекаются. Но они должны быть параллельны. Значит, такой плоскости нет. № 50, Предположим, что прямая гл пересекает плоскостью () в точке М.
Тогда Ме а(т. к. глп а) и Ме (); значит пи () пересекаются, но они паратлельны. Значит е не пересекает плоскость а, т. с. параллельна ей, № 5Е Допустим, что плоскости а и () не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой к. Мы получили, что плоскость а проходит через прямую гл, параллельную плоскости ~), и пересекает плоскость В по прямой )г. Отсюда следует (по свойству 1, и.
6), что гл и к параллельны. Но плоскость и проходит также через прямую л, параллельную плоскости (). Поэтому л ) А. Таким образом через точку пересечения лг и л проходят две прямыс, параллельные прямой (г. Но это невозможно, Значит наше предположение неверно и и ') )). № 53. Докажем, что А,В, й А,Вг рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А,А, и В, В, (такая есть и единственная,т.
к. прямые пересекаются) (рис. 24). В этой плоскости лежит четырехугольник А,В,А,В„диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. А тогда это параллелограмм (по признаку параллелограмма). ЗначитА,В, Л Л,В,. С Рис 24 № 52.
Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости и. Есть ЬАВС и АВ ~' а и ВС ~! а. Тогда плоскость АВС параллельна а, т. к. прямые АВ и ВСпересекаются и кажлая из них параллельна а. Атогда прямаа ВСлежит в плоскости АВС, и значит ВС ) а (см.
задачу 50). Глава 1. Пв вллельность и ямых и плоскостей Аналогично ВС, !! ВС,.АтогдаплоскостиА~ВС, иА ВС,параллельны по теореме п. 10. В № 54. а) Так как М вЂ” ссрсдинаАВ, Л' — середина ВС, то ММ вЂ” средняя линии гзАВС Значит МУ((АС Аналогично МР (! А0 (рис. 25). Тогда по теореме п. 10 плоскости МЛР и АОС параллельны. б) МК вЂ” средняя линия ЬАВС, зна- 1 ! читМЛ'= -АС Аналогично ЛР =-С0 2 2 и МР= — А0. 1 2 С Рис 25 АС С0 А0 2 Значит — = — = — = —.
Значит лАС0 полобен ЛИР, МФ ФР МР 1 причем коэффиниент подобия раасн 2, а значит — "-'" =2 =4~5 = — ""=12см. В, "'" 4 ЮР Отлвее; 5„„= 12 см'. № 57. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: 1) Прямая лежит в плоскости 2) Прямая параллельна плоскости 3) Прямая пересекает плоскость Если в нашем случае прямая а пересекает вторую плоскость, то она обязана пересекать и первую (см. залачу 55), но а парачлельна первой плоскости. Значит третий случай в данной задаче невозможен. № 56. Предположим, что прямая а проходитчерезточкуА и параллельна плоскости ().
И прелположим, что а пересекает а. 11о тогда а пересекает и плоскость В (см. залачу 55). То сеть и нс параллельна)з. Противорсчиес условием. Значит, прямаяилежитв плоскости а. В 3. Па аллельность плоскостей 19 № 60. Прслположим, что и псрссскаст плоскость (), но тогла плоскость а должна псрссскать параллсльпую к плоскости () плоскостьу (по зааачс 58), что противоречит условию. Значит а !! !3. № 61. Хбдзанщ: воспользоваться доказательством залачи 59. Рис. 2б № 63. а) Плоскость АВС псрссскасг параллсльныс плоскости а и () по прямым А,В, и А,В„в слсловагсльно А,В, !! А,В„а тогла дАА,В = кАА,В, и кАВА,= кАВт4, как соотвстствукнпис углы при псрсссчснии прямыми АВ и АС параллельных прямых А,В, и А,В,.
А тогда сз АА,В, — 2ХАА,В, по признаку подобия по трсм углам. АА, 6 АВ, АА,=АА +А,А,= 6+ 12 = 18 си, и ' = — = — '(из подобия АА, 18 АВ, треугольников). Отсюла АВ, = 3АВ, = 15 см. Отлвелк АА, = ! 8 см; А В, = 15 см. б) А,В, и АА„соли А,В, = 18 см, АА, = 24 см, АА, = — А А,. 3 АА. АВ, А В, Из подобия треугольников имеем: — ' = — '= — ' АА, АВ, АВ, АА, АА,-А,А, А,А, 2 1 Найдсм ' = ' ' ' =1- — '' =1--=- АА, АА, АА, 3 3 АА, АВ, АВ, 1 Значит — '= — '= — ' АА, АВ, АВ, 3 Главе 6 Па аллельность и ямьи и плоскостей 20 № 65. а) Так как А,А, и В,В,— это отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, то они равны (св.
2, п. 11). Значит в чсзырсхугольпике А,В,ВА, стороны А,А, и В,В, равны и параллельны, значит это параллелограмм (по признаку параллелограмма).Аналогично В,С,С,В, и А,С С 4, — параллелограммы. б) Из того, что вышеперечисленные четырехугольники являются параллелограммами, то: Рис 27 А,В, =А,в, ВС, = В,с, ~ЛА,В,С, иЬА,В,сг А,С, = А,С, ОтсюдаА,В,= ЗА,В, = 54см,АА,= ЗАА, = 72 си. Ответ: А,В, = 54 см, АА, = 72 см. № 64.
Точка пересечения прямых — это точка О. Рассмотрим плоскосгть проведенную через прям ыс А ОА, и В ОВг Тогда ясно, гго ЬОА, В, - сзОА,В, (см. задачу 63), а значит А В, ОА, ОВ, А В, ОА, ОВ, Аналогично, рассматривая плоскость, проведенную через прямые В,ОВ, и С,ОС„получаем, что схОВ,С, — ЬОВ,спт. е. ВС, Ов, — ' = — ', а тогда из (') видно, что В,С, ОВ, В,С, А,В, АС, ОА, АВ, Аналогично ЛОА,С, - гзОА,С, и значит — ' АС, ОА, Ав, А, В, В,С, А,С, Значит — '' = — '' = — '', а тогла ЕьА,ВС, - ЛА,ВС, АВ, ВС, АС, по зретьсму признаку полобия. 64. Тег аэд ипа аллелепипед 8 4. Тетраэдр и параллелепипед Хя 66.3топары ВСиАО,АВнСО,АСи ВР, т.к остальные пары являются пересе- кающимися (рис. 28).
Хя 67. а) Найдем АВ(рис. 29): Рассмотрим МАРВ: тогда по теореме косинусов АВ'=АО'+В(У вЂ” 2 АО ВР сов~АОВ= = 400 + 324 — 720 соа 54'. Отсюда находится АВ 724-729 54', Аналогично находится ВС и АС. б) Найдем В„„е Рассмотрим Е АОВ. Напомним, что — АР РВ. з!п 4АОВ„тогда 1 2 5 = — 20 18 ып54'=180 ып54'. 1 лов Пас~пади остальных граней находятся аналогично. № 68. Так как Ми Ф вЂ” серелнны АВ и АС, то МФ вЂ” средняя линия КВАС и зна- чит М!У !! ВС, А тогда МФ параллельна плоскости ВСР (т. к. МЛг параллельна пряной, лежащей в плоскости ВСО). Ха 69. Так как ребро ВВ параллельно проведенной плоскости и лежит в плоско- сти ЯВС, то линия пересечения РТЧ этих плоскостей параллельна ВВ (утв. 1', п.
6). Аналогично линия пересечения МК, проведенной плоскости и плоскости АВС параллельна 5В. Значит МК!! ХР(рис. 30). № 70, дкалапис см, задачу 54 а). В Рис 29 В Ряг. 30 Глава I. Па аплельность и лмык и плоскостей 22 № 71. а) Проведем прямую ало пересечения с прямой СВ (эти прямые лежат в олной плоскости ВС0 и поэтому либо пересекаются, либо параллельны).
Если ЖМ параллельна СВ, то ММ !! АВС и значит точки пересечения )УМ и плоскости АВС нет. Обозначим точку пересечения )УМ и ВС буквой Е. Эта точка и булет точкой пересечении М)У и плоскости АВС. (рис. 3 ! ) А Рис 3) б) Аналогично а). № 72. а) Так как се кушал плоскость параллельна грани АВС, то она паръыельна првмым АВ, ВС, АС, а значит, пересекает грани АОВ, 0ВС, 0АС по прямым параллсльным сторонам треугольникам АВС (р с. 32). Поэтому провелсм через точку М прямыс, параллсльныс прмым АВ и АС и обозначим соответствующие точки пересечения с 0В и 0С буквам и А! и К. Тогда ММК— искомое сечение (рис. 33).
б) Си. задачу 2п. )!. В Рис 32 № 73. Так как МФ вЂ” срслняя линии ЬАВС, то МАг !! АС, а, значит, АС параллельна плоскости МИР. А тогда линия пересечении плоскостей МИР и АС0 параллельна АС (так как АС лежит в плоскости А АС0(см. п.буга. ! )), и проходитчсрсзточку Р. Проведем прямую РК !' АС (рис.
34). Тогда из подобия )з0РК и ~30СА (по признаку подобия по трем углам) слслуст, В Риг. 33 что 0К 0Р ! — = — = —, а значит К вЂ” середина 0А. 0А 0С 2 Значит четырехугольник РКМН вЂ” параллелограмм, т, к. РК!!АС, МР)!'АС -~ ММ((КР, 4. Тет аэдр и па аллелепипед 23 МК)) Вд, НР~) Вд и ЛУК)! ИР, а тогда периметр РКМН равен 2МК и + 2МЮ = ВО+ АС = 22 см, так как Л)К = ) = — Вд, МН = — АС как срслнис линии 2 2 треугольников АВ0 и АВС. Ответ: 22 см. № 74. а) Обозначим точку псрсссчспня медиан за М. Чтобы построить сечение параллельное плоскости АВС нато провести прямую через точку М.
параллельную ВС. Точки пересечения с Вд и СР обозначим Б" и Г, Провслсл1 прямую С А' параллельно СА. Таким образом А'В'С' — сечение, параллельное АВС Тогла сздАВ полобен с30А'В' (по трем углам). Аналогично В Ь))А'С'- АРРАС и ЬРВ'С вЂ” идВС. В'А' 0А' 0В' Отсюла ВА РА РВ РВ' В'Г РА' А'С' РВ ВС РА АС А'В' А'С' В'С' — = —, а значит с3А'В'С' - 'лАВС. АВ АС ВС 0 Рис, 34 А Ряс. 35 тогда — "" =д =-.
б) Рассмотрим медиану РН треугольника 0ВС Заме ~ им Ь" М (~ВН. Тогда с30МВ' - Е~ РНВ ( по трем углам), а значит — = РВ' 0М РВ РН 3 (т. к. медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2: 1). А'В' РВ' 2 Тогла — = — = —. АВ РВ 3 Значит коэффициент подобия Е А'В'С' и с'ЛВС равен —. Но 2 3 Глава Е Па аллельность п ямыки плоскостей 24 № 75. а) Так как точки К и А лежат в плоскости сечения, то прямая КА лежит в плоскости сечения, аналогично ЕА лежит в плоскости сечения (рис. 36). Таким образом КАŠ— искомое сечение.
б) Рассматривая тстраэдр МЕКА, задача аналогична задаче 54 б). № 7б. Так как АА !! 00, 00!1СС АА !1СС АА,= РО„ОР,= ССи ~ АА, =ССт Значит АА,С, А — параллелограмм (по признаку параллелограмма), значит АС ~(А,Си (рис. 37) Аналогично ВО ~( В, Ри М Риг. 36 В, № 78. Рассмотрим четырехугольник М,В,Ф,О, (рис, 38). В нем противоположные стороны М,В, и И,О, параллельны, так как лежат на парал- А Р лельных прямых А,В, и С,Р,. Также из Рис 37 того, что А В, =С,Р, и А,М, =С,Ф, следует,что МВ, = А),Рк Значит четырехугольник М,В,Н,Р, является параллелограм- М мом (противоположные стороны ! Фр М,В, и У,О, равны и параллельны).
1 ! Р~ Аналогично доказывается, что О,Аг ФО, 0))ВМ, ВММ,В, являются параллелограммами. М)Е' Осталось доказать, что ММ,О,О и ВВ,ЦРŠ— параллелограммы. А Т. к. ММ,В, — параллелограмм, Рис 38 то ММ, 'з ВВ,, а т. к. ВВ (! АА„то ММ (( АА,. Также ММ, = ВВ, = ААк ))о 00, тоже параллельна АА, и 00, = ААи Тогда ММ, (~ 00, и ММ, = 00„значит ММ,О,Π— параллелограмм. Аналогично ВВ, Ю, Н вЂ” параллелограмм. А тогда МВФОМ,В,Ф,Р, — параллелепипед. 25 4. Тат аэд и па аллалепипед в № 79. а) Точки В и С лежат в плоскости сечения, поэтому отрезок ВС, лежит в плоскости сечения.
Но тогда параллельный ему отрезок, проходящий через точлу А, также лежит в плоскости сечения. Зто будет А0с Таким образом АВС О, — искомое сечение, АВС,0, параллелограмм, т. к. АВ )) С,0, и АВ = С,0, (рис. 39). б) Аналогично а). Рис. 39 в, № 80. Сечение плоскостью АВС, — это АВС,О„а плоскостью 0СВ, — это 0СВ,А, (см. задачу 79). Найдем пересечение двух сечений. Обозначим пересечепиеА,0 и А О, за точку М, а пересечение 0С, и В,С за )У.
Тогда М и Флежат в плоскостях обоих сечений, а значит МГз' является пересечением сечений (рис. 40). Рис. 40 № 81. а) Прямые Мй и ВС ле- 1 жат в плоскости СВЕС, потолзу ! они либо параллельны, либо пересекаются. Если Мй')) ВС, то Мл(параллельна плоскости АВС, т. к. она параллельна прямой, лсжагдсй в Е с В плоскости АВС(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
