atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 4
Текст из файла (страница 4)
теорему п. 5). В противном случае найдем точку пересечения МЛ' и ВС. Пусть Э это Е. Точка Е и сеть искомая точ- Рис. 41 ка (рис. 41). б) Проведем АМло пересечения с А,Вс Точка Еи булст ~очкой пересечения АМ и плоскости А, В С, (см. рис42), Глава б Пв вллельность прямых и плоскостей 26 Рис. 42 Рпе.
43 № 83, а) Так как АА, ~! СС„то плоскость сечения параллельна АА,, а значит прямая, являющаяся пересечением плоскости сечения и АА,т),0 параллельнаа ААе Проведем через М прямую ЕЕ параллельно ААе А тогда соединив точки С, и Р; Си Еполучим, поСЕРС, — искомое сечение (рис. 45). б) Аналогично заааче 82 в). А, Рис. 44 прямую, параллельную В0. ГР РО5Я вЂ” искомос сечение № 82.
а) Так как сечение па- раллельно АВСД, то прямые ЛВ, ВС, С0, АО параллельны плоскос- ти сечения, а, следовательно, прямыс, нолучакннисся при пересечении плоскости сечения с боковыии гранями, параллельны АВ, ВС, СР, Ад соответственно. Значит надо провести через точку М прямую параллельно АВ. Точки пересечения обозначим Ри О.
Яилее через Р|~роводим прямую РЯ параллельно АВ и через Д прямуюДВпараллслыю ВС. Таким образом РЦ5 — искомос сечение (рис. 43). б) Аналогично а). в) Прямая, по ко~прей пересекаются плоскость сечения и плоскость ЛА, В, В парти щслы щ ВВ,'. Значит проводим через М отрсзок Ро параллельно ВВе Далее через точку О проводим прямую Ь)5 па- раллельно В,р„а через точку Р ис, 44), 27 В 4.
Тет аэд и па аплепепипед В № 84. Проведем через точку М прямую МВ, параллельную В,Ос Тогда соединим В, с )У, а О, с М. Таким образом В,О,МЛ( — искомое А ' Р сечение. ! Эготрапеция,т, к, В,О,)) МЛ(,а С прямые В,Ю и О,М не параллельны (они цересскаются в точке В (рис. 46). Р № 85. Вначале проведем ВК. По- Рис, 45 зом проведем через точку б прямую, параллеяьную ВК, Это будсг!.Ос Теперь соелиним Кс О„а Вс б.
Таким обра.юм ВКР,з'. — искомое сечение (рис. 47), в, н, А, Рис 47 Ряс, 4б № 86. Диагональ ВО, лежит в плоскости ВВ,Р,О, значит линия пересечения плоскости сечения и плоскости ВВ,О,Р параллельна РВс Точка М вЂ” точка пересечения АС и ВО. Тогда точка М вЂ” середина ВО(т. к. АВСΠ— параллелограмм). Проведем через точку М прямую. параллельную ВОс Она пересечет 00, в точке К.
Заметим, что 7зРМК вЂ” бз РВО„а значит точка К вЂ” середина 00с Соелиним точку Кс точкой А и точку Кс точкой С. Тогда АКС вЂ” искомое сечение (рис.48). Если АВСΠ— ромб, тоАО= ОС. Если 4АВВ, = 90', тоАВВА,— прямоугольник, а следовательно РСС О, — тоже прямоугольник (см. и. ) 3 угв. Г). Тогда ОСОК= 90'. Глава й Па аллельносгь и ямых и плоскостей 28 в с в, с, А 0 А К 0 Рке.
4е Риг. 49 Аналогично из ~СВВ, = 90' следует, что 4А00, = 90'. Тогда ЛЛ0К= йС0К (А0= 0С, К0 — обпзая, 4АОК= ОСОК= 90'). Следовательно, АК = КС, т. е. ~.'~АКС равнобедренный. № 87. а) Вначале соелиним Мс У; Фс К. Теперь проведем через точку М прямую, параллельную йгК. Возможны два случагн 1) Эта прямая пересечет ВС в точке 0 (см. рис. 49). Тогда соелинив В с К, получаем, что )тМЕК- искомое сечение. 2) Эта прямая пересекает СС, в точке Е.
Тогда МВ пересекает ВС в точке Р. Точки Р и С лежат в плоскости АВС0. Проведем прямую РК и оиа пересечет С0 в точке В (рис. 50). Тогда РАЕМ).ВК вЂ” искомое сечение. в С, в~ С, А Лг Ркс 5/ К Рке. 50 б) Проведем МК. Возможны два случая: 1) МК 11 ВС. Тогда проведем через точку )У прямую, параллельную МК. Это будет А0. Таким образом надо соединить К с А и М с О.
Тогда АКМ0 — искомое сечение ( рис. 51). 29 Воп осыкглаввй 2) МК пересекается с ВС в точке Е . Тогда проведем через точку )У прямую, параллельную МК. Она пересечет АА в точке Р. Соединим Кс Р)см. рис. 52). 3) М. пересекает СР в точке Я (т. к. они лежа~ в одной плоскости А ВСР). Тогда КМЯ))Р— искомое сечение. Рис 52 Вопросы к главе 1: 1, Нет, они могу~ быть скрсшиваюшимися, 2. Таких прямых бесконечно много, но параллельна только одна, 3.
Нет, так как иначе а 1Ь. 4. а) да; б) нет; в) ла 5. Бесконечно много. Да, они параллельны лругдругу. 6. Нет, т. к. иначе а !) а. 7. Нет, вторая прямая люжстлсжап в этой плоскости, 8. Нет, они могут псресскапся и лежать в параллельной плоскости. 9. а)да;б)да. 1О. Нет, иначе бы а !) Ь. 11. Да, т.
к. прямыс, на которых лежат боковые стороны трапении, пересекаются и параллельны сс Значит плоскость л ранении параллельна и., Глава Д Г)а аллельность и ямыхн плоскостей 30 12. ))а, если это две смежные стороны. Нет, если это противоположные стороны. 13. Да (см. рис.
53). 14. Нет, т. к. иначе в какойто грани было бы два прямых угла. 15. а) пст, т. к, противоположныс грани равны. б) нет в) нет, т, к. в параллелограмме нс может быть более двух осз рых углов. г) да Рис. 55 д) нет. 1б. а) треугольник и четырехугольник; б) треугольник, чсп грех-, пази-, асс ггбтолышк. Дополнительныс задачи М 88.
а) Проведем ш1оскость через прямыс АС н ВО. Если СО )~ АВ, то АСО — парази слограмм, значит АС = ВО, по АС= 8 см, а ВО= 6 ем. ЗначитСО нс параллельна А В, но так как они лежат в одной плоскости, то СО пересекав г АВ в точке Е (рис, 54). б) Заметим, что х'.САЕ = с.'ОВЕ, дАСЕ= х'.ВОЕ как соответствуюшие углы при парал- Ркс.
54 лельных прямых. Значит ЛЕОВ- ЛЕСА (потрем углам). ЕЛ АС АГ 4 Значит — = —, т.с. — =-. ЕВ ВО ВЕ 3 АЕ АВ ВЕ АВ 4 — = — + — = — +1=-. ВЕ ВЕ ВЕ ВЕ 3 1 СлелователыюАВ=- ВЕ, ВЕ=-12 ем. 3 Дополнительные задачи № 89. Проведем мелиану АА, в,АВС (рис.55). Тогда АМ,: МА, = 2: 1, а также 0М„: М, А, = 2: 1. Значит, А,М, А,М, 1 — — '=-. Тогла ЬА,М,Ч, — ххЛ,ОА А,А А,0 3 В С Рис. 55 по лвуч пропорпиональным сторонач н углу между ними. ТакимобразомЛА,Ы,М, = хА 0Л,атогда М,М, ! А0,т, к.соответствующие углы равны.
№ 90. а) Если АВ основание трапеции, то С01 А В, а следовательно С0 11 а (теорема п. 6). б) А Вне параллельна С0. Так как они лежат в одной плоскости А ВС0, тоА В пересекается с С0. Значит С0 пересекает плоскость и. № 9!. Кбдздщта: воспользоваться теоремой и утв. ! ' и. 6. № 92.
Олна из двух параллельных прямых и н Ь параллельна плоскости сс По утв. 2' и. 6 слелует. что вторая прямая а либо параллельнаа а, либо лежит в ней. № 93. П ровслсм плоскость а через а и Ь. Прямая МЛ нс лежит в плоскости а. т, к. иначе МЛг пересекала бы прямую Ь. Значит, прячая ЫЛг пересекает плоскость и в точке М, нс лежащей на прямой Ь.
Л следовательно по теореме п, 6 МЮ и Ь скрегииваются. № 94. Да, так как эти плоскости имеют одну общую точку, а следователь и общую прямую. Эти плоскости не совпадают, так как лвс данные прямые не лежат в одной плоскости. № 95, Прелположим, что () 11 а. Тогда из того, что прямая а пересекает плоскость() следовало бы, что а пересекает и плоскость а (задача 55).
Но а параллельна сь Значит, предположение неверно, и плоскость () пересекает плоскость сь Глава 6 Па аллельность и ямык и плоскостей № 96. Хкдзадиа: провести через прямую плоскость, параллельную данной плоскости и воспользоваться утв. 2' и п. 11. № 97. Рассмотрим два угла: ~АВСи~А,ВС„и пустьАВ)~А,В,и ВС11 В,Ск Проведем прямую ВВв Возможны три случая: 1) Пары лучей ВА и ВА„ВС и В,С, сонаправлены, но тогда углы .кАВС и кА,В,С, равны (см. теорему и. 8) (рис. 56 а). 2) Лучи ВА и ВА, сонаправлсны, а лучи ВС и В,С, не соноправлены (рис.
56 б). Тогла рассмотрим угол АВС, — смежный к кАВС и по теореме п. 7 следует, по кАВС, = = кА,В,Св а значит 180' = кАВС, + + кАВС=- к.'А,В,С, + к.'АВС. 3) Обе пары лучей не сонаправлены. Тогда рассмотрим кА,ВС, вертикальный к кАВС Тогда кА,В,С, = к'.А,ВС, = = кАВС(см. рис, 56 в). №98, Возьмем точку М на прямой а.
Через точку М проходит только одна плоскость 15, паралРке 5б дельная а (си. задачу 59). Тогда прямая вложит в плоскости )), так как если бы а пересекала бы 1), то она пересекала бы и плоскость а, параллельную плоскости 1з (см. задачу 55), но а 11 а. Эта плоскость единственна. т, к. любая другая плоскость, прохолягиая через прямую а, пересекает плоскость В, а тогда она пересекает и плоскость а (см. задачу 58). Дополнительные з ачи № 99. Рассмотрим параллель- ные плоскости гх, (з, у и две пря- мыег а и Ь. Прямая а пересекает плоскости в точках: А, В, С.
Проведем через точку А прямую с, параллельную Ь. с пересекает плоскости в точках А, В„С,. Ь пересекает плоскости в точ- ках А„В„Сг Тогда А,В, = А„ С, = = В,С, (см. угв. 2 п. ! !). Тогда рассмотрим плоскость АСС,, Она пересекает плоскость р по прямой ВВ„а плоскость у по прямой СС„но так как () !! у, то по утв. Г и. 1 ! ВВ, !! СС,. Но тогда в плоскости АСС, па- раллельные прямые ВВ, и СС, пе- ресекают прямые АС и АС,.
Тогда по теореме Фалеса АВ АВ, АВ, А,В, АВ А,В, Рис 57 № 100. Проведем через точку А прямые о' и Ь', параллельные данным прямым а и Ь. Прямые а' и К пересекаются, так как иначе они совпадают н значит а !! Ь, но а и Ь скрещиваются, Тогда через а и Ь' можно провести плоскость а. Заметим, что а и Ь одновременно не лежат в плоскости а, так как а и Ь скрещиваются. Значит возможны два случая: 1) Ни а, ни Ь не лежит в плоскости а.
Тогда а !! а и Ь |! а, так как они параллельны лежащим в плоскости прямым а' и Ь' соответственно. 2) Одна из прямых (например а) лежит в плоскости а. Тогда Ь не лежит в плоскости а,и прямая Ь!!а,т. к. Ь!!Ь', аЬ'и и. Хз 101. И(дама: Воспользоваться решением задачи 17. Доказать, что три получившихся четырехугольника — параллелограммы, а слеловательно, диагонали в каждом делятся точкой пересечения пополам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
