atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 12
Текст из файла (страница 12)
.л/а 26Н Указанис. Воспользоваться задачей 260. № 262. Рсбро основания, лежагпсс в данной боковой грани, псрпснлнкулярно к нровсдснной плоскости, гак как оно псрпснднкулярно и к апофсме боковой грани, и к высоте пирамиды, которые нсресскаются в всршинс пирамиды. Но плоскость боковой грани прохолнт через это ребро основания. нозтому по тсорсмс и. 23 следует, что провсдснная плоскость и плоскость боковой грани нсрпспликулярны. №а 263.
з) Прялюя СЛ'), КН позтому линия пересечения плоскости ссчсниа и плоскости МСЛ параллельна СЛ. Позтому провслсм 1 Р$)СЛ, ~дс то ~ка Р тсжнт на прямой МЛ. Сосдиним Рс Н. К/.РН— искомос ссченис. Так как КФ ~~ СЛ, РЛ й СЛ, то КФ'а Р/., н так как вв Глава РЛ Многог анники КЛ' =- С'/). а РЛ к С/), '>о КЛ' а Р/., иоэ>ому искомое сс кение >ранения. б! По условя>о МК" АВ. К/. », ВМ, еле.>гик»ельни но >еорсмс ». 10 слслу- С е>, что нлоскоегн АА/В и А«/.М пары.чел ы > ы. М 264. Ясно, по высо>а РО пира- милы /Ч,А А,4,А,А, нрохолнт через нснтр описаннои окружкност, Заметим. что ОА = ОА, = ....,.= ОА.
= и. Пусть РО = />. 1 1 В« = - У// А,А,. тле />Н вЂ” гн>ог/>с>гг> >рани РА,А„ "«- а/3 ... За' Г) и = — --; РН =-,'/> ' + — ' 2 !' 4 Рис. /7/ А, В А, Риг. /7? ! 1, За> 2оглна/> = >/> + — и, 2! 4 За > 3 2/> = />' ч -- —, 4А>:=/» ,а За 1о>ли РН= '- — ч - - =и 1 В =- РН >АА >.44 2 Г/л>г>>*ли 3 и'. а а, а' = 4/г'.
а =- 2/>, /> = —. 2 -««га/ 1 = . а . !>а .= 3 и . % 2б5. Пусть н>ыу ооосьссче»ие С ЛВ, >агино киаы>ьч С А'=- ВА' >нын>му КЗ/, >ле З/ — серег н». ВО. вяляс>ся высо>ои СКВ. А/В 1 ВС'.1!>>4г/. ВС'но ному,'А1/!-- Зн . 3 >меп>м, по и>чкаО— 4 В. Р/и/)амида 89 п рос ко па то'и и Р по/иггпс1 пп о тропок АМ, помочу ~РАЛ/= 60' !<ила в.'Л/КА: ~Л/= = 30'; кА = 00'. слс. сипаи с. ~ьно ~Л/КА = 90'. 'Гопко МК= МА. соч30: 12а МА = АС ь01 (гп' = - — = бч 3 с ч А Р3 МК= бъ'3 - — = 9 си..У„ Ви, = - 9 12 = 54 си'. В Риг; /73 Ж 2бб.
Прояслсч сою ис ырс) М лпагональ и!Г ппрпллслы/о Л//). 'Гопы прямая, по кгиорой псрссскакося гК илоскос/и ссчсипя и ВМО. парпллсль- г иа Л//). Попточу гпо срслпг/ч лиипп/ 4/ //К /рс)чольиикл ВЛ//). Т/гкпч обра- зоч АКС оскочос ссчспос. 0(с К вЂ” ссрслипп ВМ (рис. !74а). Нпйлсч с/орппы КС' и АК: россии~ рпч г'„1/ВС (рис. 1740); Л/В= МС=;/МВг ч-СЛ" =- = /4 г 5' = Гт9 лч. тпк кпк М 1 С — — АС'= САВ' ч.
ВС' 2 К СН =-',3(г-:(г4 =5лкь 2 0 Пронслсч и Р,НВС пысогу МВ (оип гкс яклясгся мслиргиои). В МВ =-ъМ(' — СУ =к/29-4 =с!3лч, 1 1 Рис. /74) так как С У = — СВ = — В = 4.гч. 7 !пк кпк пггкп 0 — г>гкп исрссс ю~гги чслипп СЛ' и Л/В 1 /13 трсуп л ьп и ко Л///С, и ~ () У = - Л/ У = - -'- лм. 3 3 '!'гплп ОС' — ъ() У ': ЛС' Глава ///. Многог анники 90 1(3 зГ57 ОС= ~ — — <.!б = — лм, атак как '<9 3 3 4(57 КС= — ОС,то КС= — лм. 2 2 С Лпалогичпо из /5АМВ находится, ЛО( что АК = — лм, Таким образом в 2 /(01 /ЗАКС(рис.
174в): АК= — лм, КС= 7 А х К, /д х Риг. /74» Г57 — — лм, АС = 1О лм. 2 Провелем высозу КК„обозначим АК, = х, тогла СК = 10 — х и 10! < 157 КК, =./АК< - АК' = КС' - К,С', отсам<а — — х' — — (1О -х)', 4 4 »7б 20х = 86, х = 4,3 „<л<, КК, = ' — -~ — ~ = ( — = 2,6/зм. ' * ' ' 5( 4 '(103 '1~!ОО Топ(ав „, = — КК, АС = — 2,6 10= 13лм'. 1 1 О<л»е<л 13 лм'. Н Р»г. /75 № 267. Рассмотрим боковую грань РА,А, Она пересечена плоскостьк/ по прямой В, Вг По утв. 1' и.
6 слслуст, что А,А, ! В,В и По- ззому по теореме Фалеса слелуст, Р РВ, РВ, что — ' В,А, В,А, Лп алогично доказываются РВ, РВ, РВ„РН' А, г Р, В,А, В,А, В„А„ИЯ » РА, 1 / № 268. По задаче 267 г '<В С А,А 2 г <<-с ! < Н, а'< РА, РВ, РС, РВ< 1 -'а -l , А, РА РВ, РС, Р/7, 3 поэтому В 2. Пи амида Л РА, В, — Л РА, В, и А В, = — А, Вц ! Аналогично В,С, = — В,С,; С,О, = — С,О,, А,О, = — А,Оц 1 3 ПустьА,В = а,тогла А,В, = В,С, = С,О,=А,О,=— а 10и' 32и х -) = — + — = 186, 5 а'+ 48 = 837 ~ а = 9 (так как а > О).
3 9 3 Т. о. А, В, = В,С, = С, О, = А, О, = 9 дм, Провслем А„А, — высоту усеченной пирамилы и А,Н„А,Н, анофсмы боковых граней. Тогда А,Н, =- А Н, = 3 лм; А,Н, = А,Н, = 4 дм. Полому А,Н,А,Н, — квадрат и А,Н, = Здм. т цц ц',цц,'-ц,ц'-,и-9= '7 Огяасгя;;Г7 лм. № 269. Проведем аысогуА,Ни ангярс- В му А,М усеченной пирамиды (рис.!76). Тогда А,С, — А,С ' =1лм. цц-ц',К-цц'= 3и .я что 4 НА, М = 30', так как к'.В,А,С, = 60'. Поэтому НМ= А.М 1830'= 1 — = — Лм.
,)3,)'3 3 3 Рцг. /76 Тогда цц-цтц'-ц~г.цц-. ь--' =" = — — 'г.,н. )) 3 ~З 3 2 Гб Отведи — дм и 3 лм. 3 Ац М с № 270. Укчдчщ(Е: Две боковыс грани являются прямоугольными, а третья — равмобелрснная траления. 92 Глана и/. Много! анники 8 3. Правильные многогранники Ж 280. !. Нпилсч нлонньн, !«Л /)С (сч, рис, !77). «1 /) = «2 а. 7оглп ! г «/3«/2 а «/З 5 = — «2а — — = — 'а'. и 7 Э!о нлонгнль сс !сная ярова.!с!/ного чсрс ! лнгн о!галь сосслнил ! раной. Н.
Най.!«чн.инин,и 5«„«=ЛВ, ВС !нк как ЛВС, — нрнчоу!огайо!к. 5,„, „=а и «/2 == а' /2. Рис. /77 с, ЛЪ 28!. !'абра !сгрпхцгн ВАВСян- л/нагоя липггиылячи !рыыи куба, но- огочу всс рсбра гс!рл!злр!! рпт!и чсжпу собой, но ото оиючас!. ч!о нос !рго!и тстрволра равны мсжлу собой. Таким обрпзоч тстрпсч!р правильный (рнс !78) Пусть ребро куба раино а.
Тогда5,, „,,=ба' В. «,„=48...,, чЗ, 5',„„,«.„,, = 4' — -а' = 2«За'. 2 / = — = «3. 2«/З Ответ: «/3, Риг. /7В Лп 282. Нпйлсм угол л!сжлу АВ и АВ. Тпк кпк АВ = ВС = СВ = АВ, то ЛВСВ— ромб. Нотпк как в нирпмилс МАВСВбоконыс рсбра рпнны, то основанис высоты нп- Раг. /79 ЛЗ 279. Ннйлсл! угол мсжлу линга!галичи /24 н /)С. 3!чсгич, ч го н /«Л С В нсс стороны рпт !ы. Л С, = С В =. А /) = «З,ЛА . ! !о и ому ~С,ВЛ = 60 .
9 3 П/заеипьные многогранники зос) и люниронислиии) нокру) осноаания ЛВС/)окруькности. Л риз иск1 ) ) р и)ба к)окою онис пи зару л ность, го))о) ромб — квь)рнг. Гд нс! Обрл кои ' В !О =. зо !!ню. !29). % 2))3. и) .'!и ив н«рссс)с<вы) и.юскос) и сснсииз и нл ъ:ко | и Л/)С' ннрлллс.)ыго ВО. ~)оз)ич) нрогклсч ~срс ~)ын)! О ~ров л)//С онвк~ 1/Л, илрл ь,сны ю ВС Л)ыло)инио ар цгс ыч 1/т нлр, ~ .с.н,)и' С'/). 1о!.и ,1/ уЛ' ~).кочос сснсиис !р,«.
! ч)). Злчс~ич. 9)о, !/УЛ СЗ)В. ори)сч ло з коек/с!.вп снг )ю.)ооии )си в! — --:, и)с л/! 3 ,4И вЂ” чоньив В и . ь клик )оик) Π— иси ко нсрссс ~оьв зььиьи) и!з)иилынпо )рс) голывкн. !//(. 2,, Л '3 3~! 5, - ' 5 — — а--=- 9 4 9 Раг, /31) б) !1и в в ~с '!~! 1/) з ВГ, ))озон)у рсб!ю ВС )яры )сльно из)ос- кос) и оси нин иныв н ии )ь н) ир вс)сч .1/Л' ,') СВ. с,ылсс ороис- лсч Л/Ъ Л/). !о!.!и 3/)Л ислочыс со внии.
!!ри)сч вчс)ич, чго,1/У - ЪЛ и. )ик к,а го ~кн Π— середина Л/К, )о М) — нысо)о л 1/Л Л ! рис. ! К ! ). 2 З»чс)им, ии;11/-:аС-. он и ~'.Л/лс1;.СЛ/ т1.= 90'. Л МЛ/= 3 3 = 60'; )юяоч) сЛЛ/! = 3!у.о кист ооопво кклпи!) у)лу нЗб рвсн оолоиинс ) ииотсну )ы, назон)у )л'- - и 0 А0 — -Л//=- и -- и '- . 1,).к.и, ..'.ОУЛ - нрячоо евнин). и~ )г/ -: сс -"С;1О -~!Ь вЂ” ~.Л/Л -"//С'= а,4 -- ' — В 0 9„„'' ~О:/Л у/ /с ( /з/ Глава 86 Многог анники № 284. Укадагзне: В результате отсечения от каждой грани остается по равностороннему треугольнику, и от каждого угла при вершине остается по треугольнику. Таким образом получается многогранник, составленный из восьми правильных раиных треугольников.
Остщюсьдоказатгч по это октаэдр. № 286. Втетразлре ОАВС: АО=т,))0,=6;00,=л,глс0„0,— центрыгранейАВСи ОВС О а) АП = АВ соз ФАВН = т— 3 2 Л а ъ Ао, =-АН= — т; з О 3 3 ~! з ! Г Г, ! з чб ОО„= ! и' — -т' = — т, Олl 3 3 г'6 нгб Ь = — т, т = — Ь. 3 2 б) Заметим, что в плоскости АОП треугольники АОЙ и О,О,Н подобны, так как АН ОН 3 = — и к. ОПА — общий. О,П О,Н ! ! ! Тогла 0,0. = — АО, таким обраюм л = — ль 3 3 А С глиг.! 82 № 287. ХкааЗшнна: а) В октаэлрс МАВСОМ, расстояние ММ, — диагональ квадрата МАСМ,.
б) Провести медианы этих граней к общему ребру. Тогла доказать, что искомые расстояния — треть расстояния мсжлу противоположными вершинами октагдгра. в) Доказать, что эгн грани параллельны, и найти расстояние между медианами щ их граней. № 285. Указанич Доказать нз полобня треугольников, что отрезки, соединяющие нентры граней равны олной трети от ребра гсграэдры (см.
зад. 286 6). 95 Воа осы к главе Вl Вопросы к главе!И 2) 1. Наименьшее число ребер имеет тетраэдр — 6. 1 2. (и — 2) — угольник. 3 3. Да,является. 'В 4. В прямой призме. С 5. Нет, она может бь|ть и нс прямой, гис. ЮЗ 6. Да, сели эта грань перпендикулярна основаниям. 7. а) ла. б) пет. 8. По теореме п. 27 получаем, что боковыс гговсрхнгкпг относятся, как 5: 3 9. !а 10„;1вс. 11. Нет, иначе бы через всргнину пирамиды прохо;пши бы как минимум лвс прямыс, нерпснликулярные основаниям. 12. Да (рис 183). ОВВАВ, ВВЗВСи ВСЗАС, тогла!)СВАС 13. Нст, так как шина каркаса по крайней мере 40 ч- 2(Мг2 > 66.
14. 1!а тстраэлр и чс гырсхугольнуго пирамилу. Дополнительные задачи В № 288. Предположили, что лана призма с и-угольником в осповании. Тогда количество вершин равно и + и = 2л, а количество ребер складывается из л ребер нижнего основания, и ребер верхнего основания и и боковых ребер. Таким образом количество ребер равно 3 л. Вио И4 № 289. Пустьсторона куба равна и, Тогда г('=а'+ и'+ и = Зи . В „„=2(а а+и и +и и) = 2(и'+и ++и') =-65 „„=би'- = 2И. /ии )н /В /Ыно ог )инннкн 96 % 290.
Найлсм стороны нар плслснинс.ы г(ВС!)Л ВС.. / СЛ/) = —..о ЛС=/ АСАΠ— и Тогла Л О = ЛС сак х'СА /) = = / соа ((м ( /) — / ч и е А/) /сочр и —,— — —, (саь ~р .АС = — --„— =- —.-; СС " ь(г(С вЂ” Л(' .-/ (( --',-'- -1 соь 'Сы10 саьй ' 1' с(» ~( Таглз В... = 2 (ЛО 00 + СО ГП) ) (соя (р, . 'саь св 1 саь и 1 саь'() ! /ьй 291. /)(и (ангина лала ю 29й.
С, /Ч9 293, Ззмс(ит(, по ВВ 0/)-- лрямау(ольник. з так как гию(а(п.(о осрнснликуяярны, ~о ого кыпрзт. Пусть ЛВ = и. Тоглз ВО = асс' - и' = и г2. Г!алому ВВ, =АА, = СС =- 00, — ичГ2. С Рзссм(нрнч иряхюугольиикЛ,ВСЮ А, В = и. А. 0 = /и(' а 2и' = и т/3. Тоглав1,С= В./) =я/и'+ Зи = 2и, но лизгонали точкой псрсссчсння ленятся по;юзам, оозтачу А,О = ВО = и, глс Π— точка псрсссчсния лиз(онзасй А,С и В,О ирячоу(ольннка А,В,С/), А, Рис. /Х5 Хе 292. 1!зйлсч расстги(~н(с ью к.н С,О, и Л С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
