atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как АВ = 6 дм, то НК = 2 дм. Очевидно, что АВ ) /УК. Поэтому АВНК трапеция. Проведем высоту /06 трапепии А АВНКчерсзточкуО(рис. !95). и 0 т си йн' ° ии' 9 ~0 5( Риг. /946 1 ! т. к, ОН= — МН= Зли,а Н6= — ВС=4дм. 2 2 Тогла из полобня треугольников АОВ и /УОКслелуст, что Дополнительные задачи 1 5 ОЕ= — ОО = — лм. Таким образом: 3 3 1 1 5„, = — (ЛВ+ М)() 1О= — (Л — ЮК) х с ~ 2 х (06+ 01) 1 5 80 5„„ч = — (б + 2) (5+ л) = — ам'.
2 3 3* М 310. !л пал оги пи зала ис 243. 108 В С А Рис. !95 Рис, !97 М 311.аг) )слОс!Си,М)А — примо)аольиыс. 0 ОС = ~19' + 13' = 5 чг! О; В 0 В =' 99' з 15' =. 3 л) 34 с ч. Провслсч высотуАНв с".лЛВС Тбпга ОН— И высо~а 1ьВ!УС ~го теореме о трсх иерпсиликуля!зат, С Найлом ЛН: Пусть ВИ = х. АН' = ЛС вЂ” СН' = АВ' — ВН', Рис. !9б 13 — (14 — х)' = 15' — л"; 169-19б+ 28х= 225; 28 х =. 25т, х = 9.
Таком образоч. АН = л1225 — 81 = 12 см, РН! =- ~Ъ! 144 =- 15 см 5., „„= — (12 14+9 15 ь9 13+15 14) = — 45 !4=45 7=315сч'. 2 2 б) Прслиологким, ито основание псрпеи- 0 ликулвргз:!Л, ис поиаласт ив примукз ОН. То! ла ВС.1 ОЛК! и ВС ' А ОН, т. к, ВС'). ОА и ВС 3 АЛ, в исрплч садыс и ВС! 011 но нтороч. Нот!и!и А, чсрс з Л 0 ирохо и~ ! лис плоскости, пер~ ынликулириые к ВС Э!о !ыно гмовпик иоз!оч) А, лсгкиг иа ОН. Рассмотрим с Ос!Н: ОА = 9см,АД= 12сч, А Н ОН = 15 см Найлсм АА: иусп, ОА =х 9 -х'= 12' — (15-л)'12 81= 30л;х= —: 10 (04 Глава В!.Многог анники АА, = !81 — ' — = /51,((4 = 7,2 см. ЛЪ 312.
Проаслсм !П! — аиофсчу грани Р4 А,. Тогла И вЂ” ссрслиьа А А, и ОП 2 А А, (т. к. ОА -- ОА ) (рис ! Чу ь 1!од етому к'.РИО = ~р. Р Пусть ОП= к. Тогда РО -" Г/(чэ г ОН ОА, '=— «оа к'.АО/( г г ! г Г>А, =- — — — = —— ! )б()" ( ! !К0«( А,, сок~ ':2 ' сок! п .) и (ЫА/А,О=— РО А, --.~ О ОА (Ю г,, )В0' Н (Ьк'.РА,О= — — - — -.„-= (Ь~р соь — —. г/соя и А, ,4 Риг, /С» Льа 313.
Достроим эту усечсииуго пирамиду ло прааилыгой иирамиль! РАВС и провалом высоту РН,Н, гдс П, а А,,В С„Н а АВС (рис. 199). и 1 (~ Так как А С, = — АСи А,С, (! АС, то ( ~ В,! ' '4 гЛ! А С вЂ” срслняя линия ГтРАС. Поэтому А4 = А,Р: СС', = С,Р, Аиалоггии(о /П!,:- В,Р. Но «осла !'Н, = ИН,= 1 лм. !1ронслсм аио4ему РМ,М грани РСВ. ~! ! Р!! = М,М. Найдем РМ: Н,М, = — А,М, 'Н 3 (так как Н, — пситр !эА,В,С,).
ПМ, = — б — = т(3. 1 ЧГ3 3 2 РМ =-« РИ ° И,М =чг(4 3 = 2лм, Зиагит, ММ,=2лм. бг !2 7 = 34 дм-' А !Лк !ач 105 Дополнительные задачи № 317. Аналогично задаче 315. № 318. 1) Найдсл~ косинус лвугранного угла тстраздра: Пусть ребро тстраэлра 0АВС равно и. П равелем высоту 0Н и анофсму 0М грани 0АС. А Тогла х0МН вЂ” линейный угол двуграгнюго угла нравнл ьного тстраэдра.
),Г~ МН 1 соа~0МН= =3 — 1 2 0М 0М чГ3 3 О 2 1 Таким образом сов гт = —, глс и 3 двугранный угол тстраэлра. 2) Найлом косинус полонины лвугранного угла правильного октаэдра МА ВСОН: Провелсм апофсму МН грани МА0 и пусть МАг пересекает плоскостью АВС0 в точке О. Тогла точка Π— точка пересечения диагоналей квадрата АВС0 и МО 3 АВС0. Рис 20/и % Рао 20!0 № 314. Прополем высоту А Н и В, С, анофсмы Л,М и А,К граней АА,0,0 и АА, В, В. Тогла А КНМ вЂ” квадрат. 0 НМ = чт65' -63' = Ч 256 = 16 си ПустьА,0,=3х,тогда АО=АВ=7х.
тгд „„С ТакимобразомАК=1А — А,В)/2=2х; К ь', х = 8 см. Таким образом А0 = 56 см,,г 2Н А О, = 24 ем. А М 0 .хб 315. Если соединить нентр гра- Рио 200 ни октаэлра с нентрамн смежных граней (т,с. имекнних обвес ребро с ланной граню), то получится мнонмранник у которого каждая грань очевидно квалрат и в кажлой вера~иве схолится но 3 ребра. Таким образом, это куб. № 316. Аналогично 315. !об Глава 02 Многог анники Поэтому МН ' АР и ОН) АР, слеловатсльно, к'.МНΠ— линей- Л ный уголлвугранногоуглаОН= — АВ, МН= МА соьбб'= МА —. 2 2 1 ОН ~А В 1,('3 Таким образом сов Е МНО = — = -4 — — = МН ~З МА 43 3 2 МА (3 Таким образом соз !) = —, гле (! — половина лвугранного угла 3 правильного октаэлра.
Тогла а+ 2 !) — сумма лвугранных упгов тетраэлра и октаэлра. сов(а ь2()) =сова.сов 2()-яп а в!п 2() =сов 2 сов'()-1)- ! 1 1,(з — яп а 2 яп () (сов () = — (2 — — 1) — 1- - 2 1-- 3 3 9 3 3 9 2 сг2 з(2 /3 — 2 — — = — 1. 3,Г3 3 Поэтому а + 2() = 180', что и требовалось доказать. Глава 17. Векторы в пространстве в 1. Понятие вектора в пространстве № 320. а) (рис.
202) 1 )АВ! = Ав = 3 см ~Р)М! = ФМ = — АВ = 1,5 ем 2 1 ~ВС! = Вс = 4 см )ВФ! = ВАс = — ВС = 2 см 2 1 В )ВЦ= В0=5см. (ФК) МК= — В0=2,5см, 2 б) Аналогично п. а). № 321. а) |СС,! = СС, = АА, = 12 см !СЩ = СВ= А0= 8 см ~С22 = С0 = А В = 9 ем. и|ос,~ и, ~й' сс,' (0С, ! = У + 12' = 15 см !0В) = 0В = /А В' + А ВР !0В!= /9'+8' = /!45см А ~ОВ',~ = ОВ, =,ЯВ + Аи,ч ~08)-~9' 8' \с 1/ № 322.
а) 0,А, )! С,В„О,А, И СВ, С, В, !1 СВ, 0К 1! СМ б) АА, 1! СС„А01! 0,А„ А0!1С,В„А0 1! СВ, АВ11С0. а)СВ=С,В, =0,А„СМ=ОК. В, Рис, 203 Рис. 204 108 Глава 1)т. Векто ы а пространстве № 323. а) МЛ' = Г)Р, т. к. Мй! ) ОВ, 1, 1 М)т'= — Г)В, РЦ!! ВВ, РЯ = — ОВ. 11озтому 2 2 М т' = Ро и М!т' !! Р(). Лучи ММ и Ро сонаправлсны (рис. 205). А «»«ой =аМ, Г)Р= РС б) Так как МГт' !! РО и МЛ! = Р0, то МЮР() — параллелограмм, а так как Риг.
205 1 ! Мй! = — ВВ = — АС = МР, то ЛГУТ вЂ” ромб. Также из того, что 2 2 АС ). ОВ и МФ!) ВВ; !УР1АС слелует, что МФРС2 — кяалрат. № 324. а) Да, так как лес прямые, параллель!!ые треп сй, параллельные мсжлу собой, б) Да, они коллннеарны и сонаправлены. в) г!ст, так как можно рассмогрсгь лва противоположно направленные вектора; они коллинсаряы, но не сонаправлсны. № 325. а) Так как АА, = ВВ„то АА, = ВВ, и АА, )) ВВ„таким образом АА,В, — параллелограмм, слеловатсльноАВ)) А,Вк б) Так как плоскоть нрохолит через прямую А, В„то АВ либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. в) Эти плоскости могут пересекаться, могут быть параллельнымими, и могут совпалать.
№ 326. а) (рис. 204) Так как Г)1), !! СС,, то искомый вектор лсж!зт на прямой СС„причем направлен лолжен быть в ту же сторону, что и ЕЮп т.с. в сторону точки Сс А так как ллины совпалают, то искомый вектор — зто СС,. б) Так как Г)К= СКн !)К!! СК, то РК= СМ, таким образом ГЗК— искомый вектор. в, г, л) аналогично пп. а, 6). Ь2. Слоягениеивычиганиевокго ов Умножение на гусли 109 5 2, Сложение и вгачит ание векторов. Умножение вектора иа число № 327. а) (рис. Зич) Так как А 1) =- ВС. |о ЛВ - Л !) = (В ч ВС = АС б) АВ+ АВ =-' Лд -' ВС -" ЛС в)И(+В,В =!)Л 1)0=1)В-1)Л=ВА г)!Ю+И5" И) -' ОВ --ВВ и) !)В, + ВС - И1 " В С -= 1КС № 323.
Укг(щрвл: Восиоль301кпвсв !схк ни~ .~.!я ланч Р~ л трех точек М, В, Ь верно рлвснс ~ во 311Ч + гУК = .(1А'. № 329. а) ВС, Л1).. (!) . В С, (рис. 20б]. А с б) АВ,, ))С . 1(к. 2ЬВ в) Вектора рави ыс -!)С, рав- имСВ, такил1 обраиок в~о вскто- рыСВ, ВА, В А„С,В. ~ ) Аиа чогичио и. в). № 330.
а) Вектор а — Ь яго вектор, которьга при сложснии с А вскгорои Ь гост вскчор а ! рис, Зиад. Ь = ВА = С 1>„а =- С, 1) во мому й — Ь = С С. б, в, г, л) Аналог и'иго (ргк. 207). Глава ВА Векто ывп ест анстве № 33П а) По опрслелениюО — ОА = АВ. аОС-00= ВС (см, п. 36). Тогда так как АВ = РС (так как АВСР— параллелограмм), то ОВ -ОА = ОС вЂ” Од. б) О — ОС =СВ, аСВ = ВА.
ЗначитОВ -ОС = дА. с, № 332. По определению АВ,=А,В,— А,А, так как А,В, = А, А+ АВ,. Твк как ВК + КР, = М)„то дК= дд, — Кд, = д,К вЂ” 0,0. № 333. С помощью сочстательного и нсрсмсстительно)о кокона получаем пеночку равенств. а) ( А В + СА + РС) + ( ВС + СР) = ( ВС + СА + А В) + ( ВС + +СР) =(!)А+ АВ) ь В()= ВВ++ В!)= О. о) (А — АС) + ВС =СВ+ ВС = ВС+СВ= 0В № 334. а) МК + Мбт', = МК + КК, = МК, (рис. 209). М, МК вЂ” ММ, =М,К Ио )МК,' = (М, К), так как ото длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда, а они равны. к, б) К, ь, — У(ч = )т'М вЂ .'У(., = = (.,М МВ+ ММ, = МВ+ 1С, = МВ о гиг. 2УУ В 2.
Сложение и вычитание векто ов. Умножение на число 111 (Ь,М(= ~МЦ = М(., (рис. 209). Таким образом (К,(., — гУ(. (= ~М3. + ММ,! в) Й вЂ” М, Е = )П. + 0 М, = гУМ,; К, Ф вЂ” 0)У = К, гч'+ гчь = К, ). Но нтМ,! = 'рт',М(, так как НХ,М,М вЂ” прямоугольник, а у прямоугольника лиагонали равны. Также (гУ,М! = (К,Ц так как ФМ = КЕ. Таким образом ~ММ,(=(КЦ.
№ 335. а) АВ+ М(У + ВС + СА + Р0+ ФМ = (А В+ ВС + СА) + +(МЫ+ЯМ)+ РД=О+О+ РЦ= Р0 б) РХ+ МД+ КР+ АМ + ДК + РГ = (ГК + КР + РР) + (АМ + + М(."г+ДК) = О+ АК=.АК. в) КМ+ ОЕ+ АС+ РК+СО+СА+ МР= (СО+ ОГ + РК+ КМ+ ч МР) + (АС + СА) СР+ О = СР. г) АВ+ ВА + СО+ МФ + ОС + )чМ = (А В+ ВА) + (СО+ ОС) + + (Мт + ФМ) = О + О + О = О. № 336. а) Воспользуемся правилом многоугольника сложения векторов АВ = АС + СО+ ОВ = АС вЂ” ОС вЂ” ВО, это и есть требуемое разложение. б) АВ = А О+ ОС + СВ = — ОА — ОС + СВ = СВ + ОС вЂ” ОА. и) АВ= АО+ ОС+СВ=-ОА -СО- ВС. Глава ()>.
Векга(>ь> в прост эногве Хв 337. в)Г>Р— Г Р ': К — КА = (РŠ— РО> + (КГ> — КА) = = ОЕ+ >102 б) АО г МР 4 КК вЂ” ВР— ЛП) = Л)> 4. (4(Р— )Ю) ь (( К— — КР) =.4()+ ОР т РК = )К. и) .4Г' -- В(' — Рц — ЛР " В!( -'= А(' СВ.>. ВЧ ' 1(Р—,1Р = 1В ь ВР— АР:= ЛР -.
АР -- И й3338,.')окахгсч,чтоОЛ-ОА = ОГ ОС .,2сйстин>сиьнг>, (>!в — (И "- Л ~1- С Г' = Г>С вЂ” 0(, 11о>>оч)' нс!>с>и>сг> с.>ги>>с>>г>с ОА, >ари>о. вОС сс>оно но.>гни«ч, ноГ) ! (О(', -О(' > 04 .что итрсбгики ги>с ь . сок,> илъ. )т>> 339. и) Бьбри >ич и > иин>ого ривсиснгв иск >ор г'; х =. ()  — (>(' — Г> А — Г'Г>, — А,С, = à  — (> А — Г О, — А С = О В— — О г! - А С = =- А  —:1 Г. — -С В, >вкич обри>пах =С,В.
б) >игг.>ггн> гио и. о> Л' 340. и) !)>,>!к»ич вск>ор.г: .т =. АЛ "' ВГ' )И = И(, )' В С - В:! — ' (и — ВА '=-:!С, вакич о>>- ри>очл = АС. б) х = Л В вЂ” г1Г' + ВВ, =. С, В + ВВ С В - СС, = СС, + С, В = = СВ. >илии ибрагим.т =-СВ. и) .т' х = АС вЂ” и! В + ВС, =- В,С "; ВС = В. В + ВС'+ ВС+ СС, = В, В в 2ВС + И), = 2ВС. г, о., ? х .= 2ВС, >повит 4 = ВГ'. РС вЂ” Е>Г) ' Е>Е) — Е'0==0, Еаь. 2)ц Тал к >к !ЕА =: —.!ЕЕ). — 10 = — Л Е) и Г) !Š— -0 У, Тики ч обризоч 0 ! ИВ '. ГВС ОЕ) - И.
>г>ноч) Е>~! - РВ РГ' ". Е Е).- 4 ЕО. Л'. 342. Улааццас. „!»и,> ьгн. > и учча иск~ирои, обри авиа)ьг< оокоиычи рсори>и г ии'и >и>~н) . »о с)ччи гпуь аск>орои. оГ>р:! >иоганна> ин»!>с>ии) ! Р)ссчотрич .)Π— г!Г) — ' -- АВ— 2 — — . !В =. О, такич обри>оч 00 =. О, Е>>гг 2>ЕЕ 2 ио >точу гочки 0 и О, со)наг>гаг>н. Значи), А и Вс >ччс: ри ) ны огносгпс.>ьно точки О. Л!) 341.210кггкс>г. Что РА — РО-ь РВ - Е>Г).~ ин> и оуис»н>г»огь грсбусчос рги>сна>ао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
