atnasyan-gdz-10-11-2008 (546291), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1акич об>рг>)оч нгг,гг>.~окг>з»ть. иго ОА " ОВ Г)С . Г)Е) = !)..2с! ' '» иустьсрсл~ва.инин> тр;инни)и -- >н>.!Еб> !рис. 2!0). Тг>ьта Г)А.ьГ)В иОГ' Г)Е).— =- И)Е > 414 -Г)!Е -, > )ЕЕЕ ' Г>т > тГ'.! -ьОЛ .' ВЕ)= 203! > 2()У и. Ж 343. !Риал>сч и»ь) 0 — )кнор огрс >лиЛВ. ь>ьич обр > и>ь> >и >ли ! и В сич>)с ~ри и~>,> ии>осг) гс ),ио; > >ьи О. Тонга . )О = — АВ но >ьь. >рос»ио. 2 М 344,а) АВ= И .= — ГРк оо>гочу4 = — ! б) АС, = АОьОС -" 2 АО, »г>эгону).
=. 2. ! ' 1'- ! в)ОВ, = — Е)В, = — -В,О, ио>)очу4 = — -. '> 2 В С Я~ 114 Глава !К Векто ы в и осг анстве 1— № 345. а) ОА — ОС = СА = 2 ЕЕ, так как ЕЕ = -АС и лучи ЕЕ и 2 СА сонаправлсны. Таким образом ОА -ОС = — 2 ЕЕ(рис. 211).
! —" 1 — 1-" б) ОА — ОЕ = ЕА = — ВА = — С0 = = — РС. Таким образом 2 2 2 ! ОА — ОЕ = — РС, 2 0 В С № 346. Так как ОМ вЂ” ОЛ! = ФМ, то надо выразить ФМ через А 0 и ВС, ~4М = ЛЧ)+ 0А + АМ (рис. 212); А М В ММ =ЛГС+СВ+ ВМ Сложим полученные равенства, Р"' 2!2 учитывая, что /тВ = — ЛГС, АМ = — ВМ 2 Л(М = РР+ РА + АМ) + (Л(С+ +СВ+ ВМ) = РА+СВ = — АΠ— ВС.
Т.о ЙМ=-АР-ВС.поэтомуОМ-ОН= АР+ВС № 347. Хддданние. Использовать свойства умножения вектора на число из п. 38. № 348. Так как АС, и В 0 — диагонали параллелепипеда, то они пересекаются в точке О. Тогда АС, + В, 0= АО+ОС, + ВО+00= = АО+ 00+ В О+ ОС, = А0+ В С, = ВС + ВС = 2 ВС. Таким образом АС, + В,Р = 2 ВС, что и требовалось доказать. № 350. Отложим вектор АВ, равный й, от точки А, вектор ВС равный Ь, от точки В, и вектор СР, равный с, от точки С. Тогда АР = Л. Заметим, что точки А, В, С, 0 нс лежат на одной прямой, так Ь 3. Комплвна ные векто 115 № 35 !. а) Так как й колл инсарсн с, то суснествует число /с такое, чтой=/с с,аналогичноЬ=п с.Тоглаа+Б=/ссс илс=(Ь+п)с Таким образом вектора а+ Ь и с колли нсарны.
б, в, г) А>салогично и. а). № 352, Так как а+ Б ий — Б коллинсарны, то а+ Б =/с (й — Б), таким образом й+ Б = Ьа — /сЬ, значит (Ь+ ))Ь = (/с — !)й, значи г Б = /с -! = — й (если /с и — !), й = 0 Ь (/с = -!), но зго и означает, что /с ч ! вектора й и Ь коллинсарны. № 353. Указание: аналогично залачс 352. № 354. а) Прслположим, чтой и Ь коллис/ арны.
Тоглай=/с Ь. )(о тогда а+ Б=/сЬ+ Ь = (/с+ 1)Б, й — Б = (Ь вЂ” !)Ь. Значит й+ Ь =(/с+ сс + ! ж. + !)Ь = — (чй-Ь). Таким образом а+ Ь и й — Ь коллинеарны, что Ь вЂ” ! противоречит ус/сонию, значит й и Ь нс коллинеарссы. б) Аналогично и. а). р 3. Компланарные вектора и, № 355. а) Отложим зтн вектора от точки А. Тог/та полсчится Л 1„ ЛЛ, ЛА,, но зги вектора, очевилно, Ар лежат в олнои плоскосш. Поэтому ЛЛ„СС,, ВВ, комплаиарные вектора(рис. 2!3). б! Эти векторы уже отложены от одной точки А. Векторы АВ и /тсс.
2/3 как иначе векторы а, Ь и с были бы сонаправлсны. По неравенству многоугольссика: АР < А В+ ВС+ СР, поэтому )/( < )й) + !Б) + (с), Глава !)т. Нектары в пространстве 116 т!Рлсанг и п госкости ЛВ( О. з вскзор АА неловки~ н этой п инскости. 10о лому АА„АВ. ЛО не кгнп!запер~пел в) !)лнокг~лг этн вел !орл! от ~очки А.
Тгптгз полу сатен пск!оры А,А„.1С. !т!, тле А, — спммс~ргнппп! точка к А, относите.!ьпо точки г! . Очспи.гнгл что лзншыс три вектора г!етк!гт в плоскости АА СС!)от!ему и исхо.п!ыс вектора комглтапарнв!. г) Олвл«ин эгн нск!о!чг от !очки т! получим вектора АО. ЛЛ . ЛВ, ко~орые ~!с копит пснр!~ы (см. и. В).1)оэ!ому и вектора АО СС, А В нс лом~с«отар!нз, М 35(л !',лл кзк (рис. 214) )Е= )В- ВА тАЕн ГЕ, = !О ОС а СЕ Слозппг т~и равенства получаем: С 2 ГЕ = ( ГВ + ВА + А Е) + ( Г!) + ОС + СГ) = = ВА а ОС(та«как ГВ= — ГРи АЕ= -СЕ). 0 Риг 2!4 Век~орг! ВА, ГГ, ОС ломпланарны по при- знаку лгмнспгнзрностн векторов. .В в 357. !20 = ОА + А О,; ВВ =.
ВА — АВ, (рис. 2! 5). Рко 2)3 ВЗ. Ко!лавана ные некто а 117 РР + В!/, = РА л. АР Ь ВА ' АВ, =- РА+ ВА !- л1Р ! АВ, = =СВ лСР+ АР + АВ, =СА+ АС =-СС . иовом> СС, =- Р!) л- ВВ,, зив !ит, вскторь! ВВ,,СС„ /)Р ко!некии!ри!,!. ,Ло 358. ЬЛ.ЯШК. ()испо.!Ько нятьсв правилом иараллслсииисла ело ксива трек век !оров.
В )!/в ВВ9, а) ВР;о!в!,и„„, „„ раллс/!свивала, а во!.и В!) = ВВ, в + ВС+ В:1 (рис. 2(6), б) В Р = А, Р— л1 В . ио А В, =,1 = А В+ ВВ = А В л- АА /Вв 7/В Такач об!рлов! В Р = А,Р— А,В+ А .4. № Збб. а) (рис. 2(7) В С Вс/ ' /и/ ! Е„= — —, А,А е — —," !/А+ А Р, А А' ' ВА' ! ! /и/ В!/ ! + — — РА = —.(А А + ВА + !),А) = ! РА' а' А. л = —,(АА, ' АВ+ АР) = —. АС .
!/ ., ка/ "В С а С!' Р /«/ - / ц Ео=, АС,+ — —, ВС,+ Рыс. 2!7 А!С' ' ' ВС,' — РС, = — — — (А,С +ВС,+РС,)=,, (А Р, +РС,+ В!7 — — В!) -' ': /и/ РС,' ' 2 Да' ' 2 + ВС+СС, + РР, + РС ) =,(2АР+2АА, + 2АВ) = —, АС, /«/ ' /,/ 2 /2а' а ч~2 1!В Главаl(( Векто ывп ос енстве 1+ — а 49 !Е,.~ = —, а = —,~49~.4~3 а' О Абсолютная величина результируюгней напряженности в остальных точках очи гается аналогично.
№ Зб!. Аналогично задаче 359, № ЗбЗ.ОО=ОС+СО, ноСО= = ВА = ОА — ОВ, т. о. ОВ = с + а — б, т. к. М вЂ” ссрелина АС, то — 1 ОМ = — (ОА + ОС), т. о. 2 1 С, ОМ = — (а+ с) (рис. 218). 2 Рис 2!8 В К № 364. Так как К вЂ” середина В,С„ 1 то АК = — (АВ + АС' ), но 2 С АВ, = АА + АВ= с+ а АС, = АА, + В+АО= с+й+Ь 1 - 1- АК= — (2й+ Б+ 2с) = а е — Ь+ с, 2 2 Рис.
2!Р Ец — ~ц — Ь| - Кд(,ГЗ вЂ” ( (3') Ь)Е, = —, А С+ —, ВС+ —, ОС = —; — А,А+ ~1+ — х ЗчГЗа' ' а' а' а'~ 9 ' ~ 9~ хВСе 1+ — ВС . Еи-диагональпрямоуголыюгопараллелепипеда, построснно- ед.(3 — еа( ~(31 дд( 43)— го на векторах —,— А,А, —,~1+ — ~ ВС, —,~1+ — ~ ВС, поэтому В 3.
Компланарные векто а 119 Π— 1 — ' -- 1 № 365.ОМ =-(ОА+ОВ) = — (й+ Ь) и 2 2 г. к. К вЂ” середина Мд, то — 1 ОК= — (ОМ+ Од), ио 2 О 0 = ОС + Сд = ОС н ВА = ОС + + ОА — ОВ = с+ а — Ь. Поэтому 1 1.. 1- ОК = — (-И+ -Ь + с+ й — Ь) = э 2 2 3. 1 1- = -й+ — с — — Ь. 4 2 4 Рис. 220) №Зб7, АК= — КА =миозалаче349; В 3 ..' 7 3-- 7 0А ~- 3 0А С 0К 7 3 1О Рис. 2Л 7 1 Но 0А, = — (0В+ 7)С), зак какА — ссрелииа ВС. Поэтому 2 3-. 3 70х!.г 0Ва ' ОС !)К = — — — -- — = — 0А + — 0В + - - 0С. 10 10 20 20 № Зб8.
а) АС = А В + Ад 1 "" — -' 1;' — .' 1 б) СМ = — (СА + СВ) = — ((Сд+ дА) ь СВ) = — (2 1)А + ВА) = 2 2 2 !в — Ад — — АВ. 2 АК вЂ” диагональ прямоугольного параллелепипеда, иостросн- 2 Згл ногона аскторах Ь К. В А, В В,~~АК) = )гл'+и' +~ — ) 120 Глава !)т. Ввкто ьг в и тостранстве г в) Ласло~ ично ~ь 0). г) Это псвозможпо, так как векторы АВ, АВ и АС ие ком плапср1 п ь С вЂ”. ! — ! л)А Л'=- А,1), = — Ай 2 ' ' 2 с) тЗпатнп ичгн> г).
ж) Ан;ьчо~ ичио б). Рвс. 222 кба 369. ~кч2гигпигеь Воспоги зоватьсв залачсй 366. Лб 370. ! очки У п М вьчп1кзтси псптрамп т)зс)чольииков АВС и ВСВ(рпс. 223). РЛе 2 Г)Л ВЛ+!)В+ ВС а+ Ь е с 3 3 3 б) Очевидно, по тЗКМ)у- сзКВА, причем коэг)к)зипис~гг поло- ФЛХ ! ЮМ ЛФ ! бив равен — = —, т, к. 2',А,Л!М вЂ” 2уЛ,АВ и "— = АВ 3 ,40 АА 3 Клг )УМ ! Л Поэтому. — = — = —. Значит ВК АВ 3 ВК= 3 В =-"'Ь' с 4 4  — АВ 2 )Л ЛВ+ АС+ АВ в) ЛМ— 3 3 С В — РА+ ВС- ВА- ВЛ с + Ь вЂ” За Рас. 223 ! ' ! За — Ь вЂ” с г) МК -' — Л)Л = -- АЛ1 = 4 4 )2 № 37 !. лкдзапбьч Восиользовагьсн залачами Збб и 350. 2чь 373.
Локажсм, что М, — точка пересечения мслиаи тЗА,В,С, СК вЂ” мслиапа ЬЛВС. В 3. Комплана))ные векго а К, — проскиии чочки К иа плоскость гь Так как К е АВ, иг К е А В, и ~ак как е1К = КВ, то А,К вЂ”" КВ,. Поэточу СК вЂ” мслиыя г"А ВС. 1(о М е СК и иоэгочу М. е С,К..
Поэтому Л(, лсжгп иа:побой чслиаис ЛЛ,ВС Таким обрааоч М, — гочка пересечения чслиаи.г)А ВС. ММ =Л)А+АА, ьАМ,; В ММ = МВ+ НВ + В,Лт',: ММ = ЛЛС+СС, +С,Л(н Симкин иолу кими и рг)всисгиа, учитыыы, чго МА+ МВ ч ЛЕС--Ои А,М,+В,М +С,М,=О, получаем 3 ММ .—. АА, + ВВ, +СС,. Рлг. 224 Так как вскгоры ЛгЛ(,. АА,, ВВ„СС, соиаправлсиьк то 3ММ, =АА + ВВ + СС„ч.
т.л. Если какие-то с~ ороиы Р Аг7С иере<скате~си с илоскост) к> и. то векторы ММ, ЛА . ВВ, СС, ие Оулу~ соиаиравлеиы, поэтому требуемое равенство ис булс г верно. 1 .чв 374. По залггче 356 ЛИ' = — (АС - В!)), ио векторы АС' и ВО ~ы 2 соиалравлеиы, игк как А, В, С, 0 ие лежат в о мгой плоское иь Поэтому (МЛГ! < -- ()АС! + )В(2), т.с. ММ < -- (АС ч Вг)), ч.
т. л. 1 2 2 ))(а 375. Пусть точки Л:, l; 6, 0 — середич)ы КС, ВМ, К(2, АЛ( (рис. 225), 1 Тогла ЕГ =ОК вЂ” ОГ, аОЛ = — (ОМ +ОВ) и ОЕ = --(ОК+ ОС). 2 2 ! ' 1 1 — 1 ' 1 Пол гому ~' К = — ОМ + — О — — ОК вЂ” — ОС = — (ОО+ ОС) + — ОВ— 2 2 2 2 4 2 (гг Глава 1(Г. Векто ыа п ест анстве В !.' ' ! ' 1- 1-. --(ОА+ ОВ)--ОС= -ОР--ОС+ 4 2 4 4 М +-ОВ--ОА =-(ОР-ОС+ 1 — !- — !— сг и: 4 4 4 + ОВ-ОА). г ! к ИО =ОО-ОН =-(ОР+ОК)— 2 В ! -' ! — - ! — — (ОА+ ОМ) = — ОР+ -(ОА+ 2 4 Рис.
225 1 — ! + ОВ) — -ОА — — — (00+ОС) = 2 4 Г>0ь ОВ ! ОА .(.ОС=.)(ОР ОС+ОВ ОА), 4 4 4 4 4 поотому 1и = НС и апачи г ГГОН вЂ” параллслограчм. Вопросы к главе!у' 1. а) Да, так как они лсжп пв параллельных прямых. б) 1!ст. они опи мог)и быть прогиволожно направлены. и) Да. г) 1!ст, например си 2а. л) !1ст,а 1' с. с) Ла. папримср три с|оравы параллелограмма. А 2. Да, так как АВСР— па- раллслограчч и ВР— ого диаго- 0 А П валь, а Г> — пситр. 3. а) Да, (рпс. 226 а). б) Да, (рис. 226 б). 4. а)Да; б)Да. 5. Да, так как а и й — (и + Ы Гис.
>га коллиисариы. 6. Да, папримсра+( — й) =О. 7. Дв, соли все векторы сопаправлспы. 123 Дополнительные задачи 8. Да, если зти векторы противоположно направлсньь 9. Да, если зти векторы сонаправлены. 10, Да, сели эти векторы псрпснликулярны. 11. а) На); б) на — 3; в) на — /г; г) на О. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
