alimov-10-gdz (546276), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

1) cos α tg α – 2sin α = sinα – 2sinα = – sinα;2) cosα – sinα ctgα = cosα – cosα = 0;6)+ cos 2 α =3)sin 2 α1 − cos 2 α (1 + cos α )(1 − cos α )=== 1 − cos α ;1 + cos α 1 + cos α1 + cos α4)cos 2 α1 − sin 2 α (1 − sin α )(1 + sin α )=== 1 + sin α .1 − sin α 1 − sin α1 − sin αsin 2 α − 1sin 2 α − 11π= (α = ) = 1 −= 1 − 2 = −1 ;24 2 2  π222222) cos α + ctg α + sin α = ctg α = (α = ) = ( 3) = 3 ;6467. 1)3)1 − cos 2 α12cos α−1 ==sin 2 α1 − cos2 α2cos α==1−1sin 2 αsin2 απ= tg2α = (α = ) = ( 3)2 = 3 ;3cos α24) cos α + tg α ⋅ ctg2α + sin 2 α =1+1=2 при любом α, в частности при α = π .223468.

1) (1 – sin2α)(1 + tg2α) = cos2 α ⋅требовалось док-ть.2cos α + sin αчто и требовалось док-ть.2) sin2α(1 + ctg2α) = sin 2 α ⋅2cos2 αcos2 α + sin 2 αsin 2 α= cos2α + sin2α = 1,= 1, 1 – cos2α = sin2α,что и131www.5balls.ru469. 1) (1 + tg2α)cos2α – 1 =sin 2 α + cos2 αcos 2 α2) 1 – sin2α(1 + ctg2α) = 1 − sin 2 α3) 1 + tg2α +12sin α=sin2 α + cos2 α2cos α+cos 2 α − 1 = 1 – 1 = 0;sin 2 α + cos2 αsin 2 α12sin α== 1−1 = 0 ;sin2 α + cos2 α22sin α ⋅ cos α=12sin α ⋅ cos2 α;2224) 1 + tg α = 1 + tg α = 1 + tg α = tg 2α .221 + ctg α1+1tg 2α1+ tg αtg 2 α470.

1 (1 – cos2α)(1 + cos2α)=1 – cos22α= sin22α, что и требовалось доказать.sin α − 11sin α − 1 sin α − 12), что и требовалось==−=1 + sin αcos 2 α 1 − sin 2 α (1 + sin α )(1 − sin α )доказать.3) cos4α – sin4α = (cos2α + sin2α)(cos2α –sin2α) = cos2α – sin2α, что и требовалось док-ть4) (sin2α – cos2α)2 +2cos2αsin2α = sin4α + cos4α – 2sin2αcos2α ++ 2cos2αsin2α = sin4α + cos4α, что и требовалось доказать2 (1 + cos α )sin α1 + cos α sin 2 α + 1 + cos 2 α + 2cos α25)+===1 + cos αsin α(1 + cos α ) sin α sin α(1 + cos α )sin α, что и требовалось доказать.6)казать.sin 2 α(1 − cos α )(1 + cos α ) = 1 + cos α , что и требовалось до=(1 − cos α )sin αsin α(1 − cos α )sin α11cos 2 αsin 2 α= sin 2 α + cos 2 α = 11 + tg α 1 + ctg α sin α + cos α sin α + cos 2 α, что и требовалось доказать.2 1 − cos2 α  =sin2α ⋅ sin α =sin2α tg2α,8) tg2α–sin2α=sin2α ( 1 − 1) =sin2α 22 cos α cos 2 αcos αчто и требовалось доказать.119 1 16 8471.

sin α ⋅ cos α = − (cos α − sin α )2 + (cos2 α + sin 2 α) = − + = =2250 2 50 25472. Если cosα–sinα=0,2, то cos3α–sin3α=(cosα–sinα)3+3cosα sinα(cosα–1–sinα)=(cosα–sinα)3+3( − 1 (cosα–sinα)2+ (cos2α–sin2α))(cosα–sinα)=227)2+2=22+2= 1 + 3 ⋅  − 1 + 1  ⋅ 1 = 1 + 36 = 37 .125 5022 521251251252473. tg α + ctg α = (tgα + ctgα) – 2 tgα ctgα = ( tgα + ctgα)2 – 2 = 7.474.

1) 2sin x + sin2x + cos2x = 1; 2sin x = 0, x = πk, k∈Z.132www.5balls.ru2) 2sin2x + 3cos2x – 2 = 0; 2(sin2x + cos2x) – 2 + cos2x = 0; cos2x = 0;x=π+ πk , k∈Z.23) 3cos2x – 2sin x = 3 – 3sin2x; 3(cos2x + sin2x) – 3 = 2sin x; sin x = 0;x = πk, k∈Z.4) cos2x – sin2x = 2sin x – 1 – 2sin2x; cos2x + sin2x + 1 = 2sin x; sin x = 1,π+ 2πk , k∈Z.2x=3 37πππ π  π π475. 1) cos −  sin −  + tg −  = − cos sin − tg = −⋅−1 = − ;6342 24 6  3 4( ) = 1 + tg2)1 + ctg ( − ) 1 + ctg1 + tg 2 −2π6π62π11+6 =3 =1;2π1+ 3 36 π π π π3) 2 sin  −  cos  −  + tg  −  + sin 2  −  = 6 6 3 4= −2 sinπππ3 11 − 3 3 +1π;⋅ − 3+ =cos − tg + sin 2   = −266342222 4) cos(−π) + ctg − π  − sin − 3π  + ctg − π  = cosπ − ctg π + sin 3π − ctg − π  = 22 422 4= – 1 – 0 – 1 – 1 = – 3;5)( ) − cos (− ) = 3 − sin − cos2cos2cos ( − )3 − sin 2 −π32π32π3π42π3π4=343− −22214 =2;1313ππ6) 2sin  −  + 3 + 7,5tg ( −π) + cos π = −2sin + 3 − 7,5tgπ + cos π =82682 6= −1 + 3 − 0 + 0 = 2 .476.

1) tg( – α) cosα + sinα = – tgα cosα + sinα = – sinα + sinα = 0;2) cosα – ctgα( – sinα) = cosα + ctgα sinα = cosα + cosα = 2cosα;cos(−α ) + sin (−α )cos α − sin α13);==22cossincossincosα−αα+αα+ sin α()()cos α − sin α4) tg( – α)ctg( – α) + cos2( – α) + sin2α = 1 + cos2α + sin2α = 1 + 1 = 2.477. 1)( ) + cos (− ) = 2 − sin2cos2cos ( − ) + sin ( − )π6π32 − sin 2 −π32π62ππ1 1+ cos 22− +63 =4 4 =4;ππ11−− sin362ππ π π 3 3sin  −  − 2ctg  −  + 4cos  − π  = 3sin + 2ctg +34 3 4 2 3π31+4cos=− +2+0= .2222)133www.5balls.ru478.

1)=sin3 (− α ) + cos3 (− α ) − sin3 α + cos3 α==1 − sin(− α )cos(− α )1 + sin α cos α(cos α − sin α )(cos2 α + cos α sin α + sin 2 α ) = cos α − sin α ;1 + sin α cos α1 − (sin α + cos(− α ))2 1 − (sin α + cos α )2)==sin α− sin (− α )=()1 − cos2 α + sin 2 α + 2 cos α sin α− 2 sin α cos α== − cos α .sin αsin α sin2 α + cos2 α  cos α=479. 1) cos αsin(6π−α) ⋅ (1 + ctg2 (−α)) = cos αsin(−α) ⋅ =−sin αsin2 α= −ctgα = ctg(−α) , что и требовалось доказать.2)=1 − sin 2 ( −α ) sin(α − 2π) 1 − sin 2 α ( − sin(2π − α ))⋅=⋅=cos(4π − α ) 1 − cos 2 ( −α ) cos(−α )1 − cos 2 αcos2 α sin αcos α⋅== ctgα , что и требовалось доказать.cos α sin 2 α sin α480.

1) sin( – x) = 1; – sin x = 1; sin x = – 1; x = − π + 2πk , k∈Z.2π2) cos( – 2x) = 0; cos2x = 0; 2 x = + πk ; x = π + π k , k∈Z.24 23) cos( – 2x) = 1; cos2x = 1; 2x = 2πk, x = πk, k∈Z.4) sin( – 2x) = 0; – sin 2x = 0; sin 2x = 0; 2x = πk, x = π k , k∈Z.25) cos2( – x) + sin( – x) = 2 – sin2x; cos2x + sin2x – 2 = sinx; sinx = – 1;x=−π+ 2πk , k∈Z.26) 1 – sin2( – x) + cos(4π – x) = cos(x – 2π); cos2x + cos x = cos x;cosx = 0; x = π + 2πk , k∈Z.2()481.

1) cos135o = cos 90o + 45o = cos 90o ⋅ cos 45o − sin 90o ⋅ sin 45o = −()2.212) cos120o = cos 90o + 30o = cos 90o ⋅ cos 30o − sin 90o ⋅ sin 30o = − .2()= cos (180 + 60 ) = cos180 ⋅ cos 60 − sin 180 ⋅ sin 603) cos150o = cos 90o + 60o = cos 90o ⋅ cos 60o − sin 90o ⋅ sin 60o = −4) cos 240ooooooo3.21=− .2482. 1) cos57o30′ cos 27o30′ + sin 57o30′ sin 27o30′ = cos(57o30′ − 27o30′) =134www.5balls.ru= cos30o =3;22) cos19o30′ cos 25o30′ − sin19o30′ sin 25o30′ = cos(19o30′ − 25o30′) =2;27π11π7π11π 7 π 11π 3) coscos− sinsin= cos + = cos 2 π = 1 ;99999  9= cos45o =4) cos8ππ8ππ 8π π cos + sinsin = cos −  = cos π = − 1 .77777 71π12π483.

1) cos( + α ) , если sin α =;,0 < α < ;cos α = 1 − =23333πππ1 23 111cos( + α ) = cos cos α − sin sin α = ⋅−⋅=− ;3332 32 36 21 π1 2 2π2) cos(α − ) , если cos α == − и < α < π;sin α = 1 − =;43 2931 2 2 2 2πππ2 2 4− 2.cos(α − ) = cos α cos + sin α sin = − ⋅+⋅=−+ =4443 2326 36484. 1) cos 3α cos α − sin α sin 3α = cos(3α + α ) = cos 4α ;2) cos 5β cos 2β + sin 5β sin 2β = cos(5β − 2β ) = cos 3β ;5π5πππ3) cos( + α)cos( − α) − sin( + α)sin( − α) =714714π 5ππ= cos( ++ α − α ) = cos = 0 ;7 1427π2π7π2π7π2π4) cos( + α) cos( + α) + sin( + α)sin( + α) = cos( + α −− α) =555555= cos π = − 1 .485. 1) sin 73o cos17 o + cos 73o sin17 o = sin(73o + 17 o ) = sin 90 o = 1 ;2) sin 73o cos13o − cos 73o sin13o = sin(73o − 13o ) = sin 60 o =3) sin5πππ5π 5π π πcos+ sincos= sin + = sin   = 1 ;12121212 12 12 24) sin7πππ7π 7π π πcos− sincos= sin − = sin   = 1 .12121212121223;233π94π486.

1) sin(α + ),cos α = − , π < α <: sin α = − 1 −=− ;6522554 3 3 14 3 +3πππ;sin(α + ) = sin α cos + cos α sin = − ⋅− ⋅ =−6665 2 5 210135www.5balls.ru2 π27π2) sin( − α ),sin α =;, < α < π : cos α = − 1 − = −43 2932 72 214 − 2πππ.sin( − α ) = sin cos α − cos sin α = −⋅−⋅=−4442 32 36487. 1) sin(α+β) + sin( – α)cos( – β) = sinαcosβ + cosαsinβ – sinαcosβ == cosαsinβ.2) cos( – α)sin( – β) – sin(α – β) = – cosαsinβ – sinαcosβ + sinβcosα == – sinαcosβ.ππππ3) cos( − α )sin( − β) − sin (α − β ) = (cos cos α + sin sin α ) ×2222ππ×(sin cos β − cos sin β) − sin (α − β) = sin α cos β − sin α cos β + sin β cos α = sinβcosα .22πππ4) sin (α + β) + sin( − α)sin ( −β) = sin (α + β) − (sin cos α − cos sin α) ×222× sin β = sin α cos β + sin β cos α − sin β cos α = sin α cos β .3 3π8π488.

Если sin α = − ,< α < 2π и sin β =,0 < β < , то5 2172cos α = 1 −94= ;25 5cos β = 1 −6415;=289 17cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ = 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 8 = 84 ;5 17 5 17 85cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ = 4 ⋅ 15 − 3 ⋅ 8 = 36 .5 17 5 17 854 π489. Если cos α = − , < α < π и sin β = − 12 , π < β < 3π , то5 2132sin α = 1 −16 3= ;25 51445=− ;16913cos β = − 1 −sin(α – β) = sinαcosβ – sinβcosα = 3 ⋅  − 15  − 4 ⋅ 12 = − 63 .5  13 5 1365490. Вычислить tg(α + β), если4 π8 3sin α = , < α < π и cos β =, π < β < 2π ;17 25 2cos α = − 1 −163=− ;255sin β = − 1 −486415=− ;289173 15⋅ + ⋅sin α cos β + sin β cos α775.tg (α + β ) == 5 17 5 17 ==2cos α cos β − sin α sin β − 3 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 36365 1717 5491. 1) cos(α – β) – cos(α + β) = cosαcosβ + sinαsinβ – cosαcosβ ++ sinαsinβ = 2sinαsinβ136www.5balls.ruππ1ππ2) cos( + α ) cos( − α ) + sin 2 α = (cos cos α − sin sin α ) ×442441 211 211ππ2×(cos cos α + sin sin α) + sin α = cos α − sin α + sin 2 α = cos 2 α ;44222223) cos 3α + sin α sin 2α = cos(α + 2α ) + sin α sin 2α = cos α cos 2α −− sin α sin 2α + sin α sin 2α = cos α cos 2α ;4) cos 2α − cos α cos 3α = cos 2α − (cos α cos 3α + sin α sin 3α ) ++ sin α sin 3α = cos 2α − cos 2α + sin α sin 3α = sin α sin 3α .sin α cos βsin β cos αcos α cos βcos β cos α+sin (α + β ) sin α cos β + sin β cos αcos α cos β cos β cos α tgα + tgβ492.

1)===sin α cos β sin β cos α tgα − tgβsin (α − β ) sin α cos β − sin β cos α−, что и треб. док-ть.cos α cos β+1cos(α − β ) cos α cos β + sin β sin αctgαctgβ + 1sin α sin β, что и2)===cos α cos βcos(α + β ) cos α cos β − sin β sin α− 1 ctgαctgβ − 1sin α sin βтреб. док-ть2πππ3) cos( + α) = cos cos α − sin sin α =(cos α − sin α ) , что т. д.4442cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos β sin α4)==−= ctgβ − tgα , что и т. д.cos α sin βcos α sin βsin β cos α115) (cos (α + β) − cos (α − β)) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β =22= cos α cos β , ч.т.д.116) (cos (α − β) − cos (α + β)) = cos α cos β + sin α sin β − cos α cos β + sin α sin β =22= sin α sin β , ч.т.д.493. 1)2)3)4)tg 29o + tg31o1 − tg 29o tg31o()= tg 29o + 31o = tg 60o = 3 ;7π3π− tg1616 = tg  7 π − 3π  = tg π = 1 ;7 π 3π4 16 16 1 + tg tg16 16tg1 + tg10o tg55oootg55 tg101 − tg13o tg17otg17o + tg13o==1ootg(55 − 10 )1tg(17o + 13o )==1tg45o1tg30o=1;= 3.3494.

1) tg(α + β), если tgα = − , tgβ = 2,4 ;4137www.5balls.ru312334 520tgα + tgβ − 4 + 533tg (α + β ) =;== 20 =1 − tgαtgβ 1 + 3 ⋅ 12 56 56432) tg(α – β), если ctgα = , ctgβ = −1 ; tgα = , tgβ = −1 ;343ctg ( α − β ) =( ) − cos ( ) =sin () + cos ( )sin495.=111 + tgαtgβ 1 − 4 4 1=== = .tg(α − β) tgα − tgβ 3 + 1 7 7π+α6π+α6π+α3π+α341cos α +21cos α +2431sin α − cos α +2231sin α + cos α −223sin α2=3sin α23 sin α= 3tgα .cos α496. 1) sinαcos(2α)+sin(2α)cosα=sin(α+2α)=sin(3α).2) sin(5β)cos(3β)-sin(3β)cos(5β)=sin(5β-3β)=sin(2β).497.

1) cos(6x) cos(5x) + sin(6x) sin(5x) = – 1; cos(6x – 5x) = – 1; cos x=– 1;x = π + 2πk, k∈Z.2) sin(3x) cos(5x) – sin(5x) cos(3x) = – 1; sin(– 2х) = – 1; sin(2x) = 1 :ππ2 x = + 2πk , x = + πk , k∈Z.243)π2 cos + x  − cos x = 1 ;4sin x = 1; sin x = – 1; x = − 222cos x −sin x  − cos x = 1 ; 22π+ 2πk , k∈Z.2 2x2xx2cos −sin  + sin = 1 : 222224)xπ x2 sin  −  + cos = 1 ;422cosxx= 1 : = 2πk , x = 4πk , k∈Z.22498. 1) sin 48o = 2 sin 24o cos 24o ; 2) cos164o = cos 2 82o − sin 2 82o ;3) tg92o =2tg 46o1 − tg 2 46o;4) sin4π2π2π= 2 sin;cos3335π5π5π.= cos 2− sin 2366ππ απ α499.

1) sin  + α  = 2 sin  +  sin  +  ;24 24 25) cos138www.5balls.ru2) sin  π + β  = 2 sin  π + β  cos  π + β  ;5) sin α = 2 sin α cos α ;3) cos π − α  = cos 2  π − α  − sin 2  π − α  ;28 28 26) cos α = cos 2 α − sin 2 α .2248282224) cos 3π + α  = cos 2  3π + α  − sin 2  3π + α  ; 2 42 42139www.5balls.ru500. 1) 2 sin15o cos15o = sin 30o =3)2tg15o1 − tg 215o= tg30o =1;22) cos2 15o − sin2 15o = cos30o =3;2134) (cos75o − sin 75o )2 = cos 2 75o + sin 2 75o − 2cos 75o sin 75o = 1 − sin150o ==1−1 1=2 2πππ2cos = sin =;8842501. 1) 2 sin3)2tgπ8= tgπ1 − tg822) 2 cos 22πππ;− sin 2 = cos =8842π=1;424)=2  2ππππππ2 −  sin+ cos 2 + 2sin cos  =−  cos + sin  =2 882 88882 2 π2 = −1 .− 1 + sin  =− 1+2 42 2 502. 1) 2 sin 75o ⋅ cos 75o = sin150o =3)6 tg 75o2o1 − tg 75= 3tg150o = −3331; 2) cos2 75o − sin2 75o = cos(150o ) = − ;22= 3 ; 4)tg 2 22o30′ − 12=−= −2 .tg 22o30′tg 45o3 π94= − ; sin 2α = 2sin α cos α =503.

Характеристики

Список файлов книги