alimov-10-gdz (546276), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Значит, х≈ 0,4 есть решение уравнения.чит х = 3 — решение уравнения.ууy1 = log3 xхх390. 1) 34х = 10; 4х = log3 10; x = 1 log3 10. Ответ: x = 1 log3 10.442) 23х = 3; 3х = log2 3; x = 1 log2 3.Ответ: x = 1 log2 3.33х – 23) 1,33= 3; 3х – 2 = log1,3 3; x = 1 (log1,3 3 + 2).3Ответ: x = 1 (log1,3 3 + 2).34)  1 5+ 4 х 3= 1,5; 5 + 4х = log 1 1,5; х = 1 ( log 1 1,5 – 5).343Ответ: х = 1 ( log 1 1,5 – 5).5) 16х – 4х + 1 – 14 = 0; 4х = а; а2 – 4а – 14 = 0;43а1 = 4 + 6 2 , а2 = 4 − 6 2 ; 4х = (2 + 3 2 ); х = log4 (2 + 3 2 )224−6 2< 0; решений нет.Ответ: х = log4(2 + 3 2 ).26) 25х + 2 ⋅ 5х – 15 = 0; 5х = а; а2 + 2а – 15 = 0; а1 = 3, а2 = – 5;или 4х =113www.5balls.ru5х = 3; х = log5 3 или 5x = – 5 < 0 — решений нет.Ответ: х = log5 3.111111391.

1) log3 x + log9 x + log27 x =; log3 x +log3 x +log3 x =;12231211111log3 x =; log3 x = ; x = 3 .6122Ответ: x = 3 .2) log3 x + log 3 х + log 1 х = 6; log3 x + 2log3 x – log3 x = 6;3log3 x = 3; х = 27.Ответ: х = 27.log3 x= 4 log3 2;3) log3 x ⋅ log2 x = 4 log3 2; log3 x ⋅log3 2log32 x = 4 log32 2 ; log3 x = 2 log3 2 или log3 x = – 2 log3 2;х1 = 4 или х2 =1.4Ответ: х1 = 4; х2 =1.44) log3 x ⋅ log3 x = 9 log5 3; log5 х ⋅ log5 x = 9 log5 3;log5 3log52 x = 9 log52 3 ; log5 x = 3log5 3 или log5 x = – 3 log5 3;1.272392. 1) log3 (2 – x ) – log3 ( – x) = 0;x < 0− x > 02; − 2 < x < 2 ;2 − x > 0 22log3 x − 2 = log3 1  x − 2 = xxх1 = 27 или х2 =Ответ: х1 = 27; х2 =1.27x < 0− 2 < x < 2, x = −1 . x = 2, x = −1Ответ: х = – 1.2) log5 (x2 – 12) – log5 ( – x) = 0; 2 x < − 2 3, х > 2 3  x < − 2 3, x > 2 3 x − 12 > 0; x < 0;  x < 0,;− x > 022 x = − 4, x = 3 log 5 12 − х = log 5 1 12 − x = xxх = – 4.Ответ: х = – 4.3) log 2 x − 3 + log 2 3x − 7 = 2 ;x − 3 > 0;3x − 7 > 0log(x−3)(3x−7)=log42 2x > 37;x > 3(x − 3)(3x − 7) = 16114www.5balls.rux > 37;x > 323x − 16x + 5 = 0x > 31; x = 5, x = 3х = 5.Ответ: х = 5.4) lg (x + 6) – lg 2 x − 3 = lg4;x + 6 > 0;2x − 3 > 0(х + 6) = 4 2х − 3x > 32; х 2 + 12х + 36 = 32х − 48x > 3; x1 = 14, х2 = 6.2 x = 14 , х = 6393.

1) log2x > 32; x 2 − 20x + 84 = 0Ответ: x1 = 14, х2 = 6.1x + 4 log 4 x + log8 x = 13; 2 log 2 x + 2 log 2 x + log 2 x = 13 ;3log 2 x = 3; х = 8.Ответ: х = 8.12) log 0,5 (x + 2) − log 2 (x − 3) = log 1 (−4x − 8);22− log2 ( x + 2) − log2 ( х − 3) = − log2 (−4x − 8) ;x + 2 > 0x − 3 > 0;−4x − 8 > 0(x + 2)(x − 3) = −4x − 8 x > −2x > 3; решений нет. x < −2 2 x + 3x + 2 = 0Ответ: решений нет.111394. 1) log 1 5 + log 1 12 + logx 3 = 1; − logx 5 − logx 12 + logx 3 = logx x ;222xx23= log x x;12 ⋅ 5log x2)x = 11.;х=1010 x ≠ 1, x > 0Ответ: х = 0,1.111logx 7 − log 1 9 − logx2 28 = 1; log x 7 + 2log x 3 − log x 28 = log x x;222xlog x9⋅ 7= log x x;28x = 92; x = 4,5 . x > 0, x ≠ 1 2 >0 x −1395. 1) log 2 = log x;  x > 0 ;22x −1 2=x x −1Ответ: х = 4,5.x > 1x > 1;; x > 0 x = 2, x = −1 2x − x − 2 = 0х = 2.Ответ: х = 2.115www.5balls.ru 10 > 0 7− x2) log 1 10 = log 1 x;  x > 0 ;2 7−x2 10=x 7− xx < 7;x > 0 2 x − 7x + 10 = 0х1 = 2, х2 = 5. x +8 > 0 x −13) lg x + 8 = lg x;  x > 0 ;x −1 x +8=x x −1 x < −8, x > 1;x > 0 2 x − 2x − 8 = 0 x −4 > 0 x −24) lg x − 4 = lg x;  x > 0 ;x−2 x −4=x x −2 x < 2, x > 4;x > 0 2x3x40 − + =Ответ: х1 = 2, х2 = 5.x > 1; x = 4, x = −2х = 4.решений нет.396.

1) log 6 ( x − 4) + logx − 4 > 0x + 1 > 0log ( x − 4)( x + 1) ≤ log6Ответ: х = 4. x < 2, x > 4;x > 0 решений нетОтвет: решений нет.( x + 1) ≤ 2;6x > 4; x > −1; 266x − 3x − 4 ≤ 6x > 4; 4 < x ≤5.− 2 ≤ x ≤ 52) log32( x − 5) + log 32x < 7;x > 0 x = 2, x = 5x > 4; 2x − 3x − 10 ≤ 0Ответ: 4 < x ≤ 5 .( x + 12) ≤ 2;x − 5 > 0x + 12 > 0log 3 2 ( x − 5)( x + 12) ≤ log3x > 5x > 5; x > −12; ;− 13 ≤ x ≤ 6 2182x + 7 x − 78 ≤ 05< x ≤ 6.3) log3 (8x 2 + x ) > 2 + log3 x 2 + log3 x;8x 2 + x > 0;x > 023log3 (8x + x ) > log3 9 x1x < − 8 , x > 0;x > 02x (9 x − 8x − 1) < 0x < 0; 0 < x < 1. 1− 9 < x < 14) log2 x + log2 ( x − 3) > log2 4; x > 0; 29 x − 8x − 1 < 0116www.5balls.ruОтвет: 5 < x ≤ 6 .x > 0;x (9x 2 − 8x − 1) < 0Ответ: 0<x<1.x > 0;x − 3 > 0log x ( x − 3) > log 42 2x > 0x > 3; ;x > 3x < −1, x > 4 2x − 3x − 4 > 0x > 4.5) log 1 (x − 10) − log 1 (x + 2) ≥ −1;5Ответ: x > 4.5 x − 10 > 0 x > 10 x > 10;  x > −2; ;x + 2 > 0 x − 10 ≤ 5x + 10  x ≥ −4x −10≥ log 1 5 log 15 5 x+2x > 10.6) log 1 (x + 10) + log 1 (x + 4) > −2;7Ответ: x > 10.7x + 10 > 0x + 4 > 0log ( x + 10)( x + 4) > log171x > −4x > −4;  2; ;x + 14 x + 33 < 0 − 11 < x < −37 7– 4 < x < – 3.Ответ: – 4 < x < – 3.397.

1) 4 log4 x – 33 logx 4 ≤ 1;4log x − 33 − 1 ≤ 0  4 log 24 −log 4 x −33≤04log 4 x; ; обозначим log 4 x = а;log 4 x x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 04a 2 − a − 33 ≤ 0;a > 0 x ≠ 1, x > 01< x ≤ 41− 2651+ 265 8 ≤a≤ 81+ 2650 < log 4 x ≤; 8 ;a > 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 01+ 2658или 1− 2651+ 2654a 2 − a − 33 ≥ 0 a ≤ 8 , a ≥ 81− 265log x ≤; a < 0;  48 ;a < 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 0 x ≠ 1, x > 01− 2650<x≤4 8 .2) logх 3 ≤ 4 (1 + log 1 х);1− 2658Ответ: 0 < x ≤ 4и 1< x ≤ 41+ 2658.3117www.5balls.ru 1 ≤ 4 − 4log x3 log x; 3 x > 0, x ≠ 1 4 log 2 x − 4 log x +133≤0;log3 x x > 0, x ≠ 1т.к.

4 log32 x − 4 log3 x + 1 ≥ 0 при любых х ∈ R, тоlog3 x < 0; 0 < x <1x > 0, x ≠ 14 log32 x − 4 log3 x + 1 = 0;или1Ответ: 0 < x < 1, x = 3 ., x= 3.2398. Пусть а1, а2, … — геометрическая прогрессия из положительныхчисел; тогда ai + 1 = ai ⋅ q. Рассмотрим последовательность logba1, log ba2, … Вэтой последовательностиlogbai + 1 = logb (ai ⋅ q) = logbai + logbq, т.е это арифметическая прогрессия сразностью d = logbq.399. Пусть a1, a1q, a1q2 — искомая последовательность, тогдаa1 + a1q + a1q2 = 62,lga1 + lga1 + lgq + lga1 + 2lgq = 3lga1 + 3lgq = 3 (lga1q) = 3,lga1q = 1, a1q = 10.log3 x =a1 (1 + q + q2) = 62; a1q = 10; a1 = 10 ; 10 (1 + q + q2) = 62;qq10 + 10 + 10q = 62; 10 + 10q – 52 = 0; 10q2 – 52q + 10 = 0;qqq1 = 5 или q2 = 1 ; a1 = 2 или a1 = 50.5В обоих случаях искомые числа: 2, 10, 50.400.

1)2)ууххlog x 91401. 1) x lg 9 + 9lg x = 6; x log x 10 + 9lg x = 6; 9 log x 10 + 9lg x = 6 ;9lg x = 3; lg x =2) x23 lg3 x − lg x31; x = 10 .2Ответ: x = 10 .27= 100 3 10; lg x(3lg3 x − lg x) = ; lg 2 x = a;33118www.5balls.ru9а2 – 2а – 7 = 0; а1 = 1 или а2 = –7; lg2x = 1, lgx = ± 1, x1 = 109или x2 = 1 или lg2x = – 7 — решений нет.109Ответ: х1 = 10, х2 = 1 .10402. 1) 3 + 2 logx + 13 = 2 log3 (x + 1); log3 x + 1 = a;21 2a = + 3  2a 2 − 3a − 2 = 0 a = 2, a = −a2;; ;  x ≠ 0 x ≠ 0 x + 1 ≠ 1log (x + 1) = 2, log (x + 1) = 1 332; x ≠ 0x = 8, x = 3 − 1; x1 = 8, x 2 = 3 − 1 .x ≠ 0Ответ: х1 = 8, x 2 = 3 − 1 .2) 1 + 2 logx + 2 5 = log5 (x + 2); log5 (x + 2) = a;2a = + 1 a 2 − a − 2 = 0 a = −1, a = 2 log5 (x + 2) = −1, log5 (x + 2) = 2;a; ; ;  x ≠ −1x ≠ −1 x + 2 ≠ 1  x ≠ −199x1 = 23; x2 = – .Ответ: x1 = 23; x2 = – .55403.

1) log2 (2x – 5) – log2 (2x – 2) = 2x; x2 − 5 > 0 x > log 2 5x x;  x2 − 2 > 04 ; 2 = a;x25(22)−=−⋅x2xlog 2 2x −5 = log 2 22 − x2 −2 x > log 2 5 x > log 2 5 x > log 2 5; ;8 ;  2a − 5 = 4 − a a − 9a + 8 = 0 a = 1, a = 8x > log 2 5x > log 2 5; ; х = 3. x2 = 1, 2 x = 8 x = 0, x = 32) log1 – x (3 – x) = log 3 – x (1 – x);3 − x > 0, 3 − x ≠ 1;1 − x > 0, 1 − x ≠ 11log1− x (3 − x) =log1−x (3− x)Ответ: х = 3. x < 3, x ≠ 2 x < 1, x ≠ 0;;  x < 1, x ≠ 0log (3 − x) = ±1 3 − x = 1 − x 1− x x < 1, x ≠ 0;3 = 1нет решений.x < 1, x ≠ 0 x < 1, x ≠ 0;1 ; 3− x =(3 − x)(1 − x) = 11−xx < 1, x ≠ 0; 2x − 4x + 2 = 0x = 2− 2 .x < 1, x ≠ 0;x = 2 + 2, x = 2 − 2Ответ: x = 2 − 2 .119www.5balls.ru3) log2 (2x + 1) ⋅ log2 (2x + 1 + 2) = 2; log2 (2x + 1) ⋅ (1 + log2 (2x + 1)) = 2;log2 (2x + 1) = a; a2 + a – 2 = 0; a = 1, a = – 2; log2 (2x + 1) = 1или log2 (2x + 1) = – 2; 2x + 1 = 2 или 2x + 1 = 1 ; 2x = 1, x = 04или 2 = – 3 — решений нет.4xОтвет: х = 0.4) log 3x + 7 (5x + 3) = 2 – log 5x + 3 (3x + 7), log 3x + 7 (5x + 3) = a;3x + 7 ≠ 1, 3x + 7 > 05x + 3 ≠ 1, 5x + 3 > 0 ;1a = 2 −ax ≠ − 2 , x > − 355 ;log 3x + 7 (5x + 3) = 1 x ≠ −2, x > − 732323 x ≠ − , x > −55 ;x ≠ − 5 , x > − 5 ; a = 1a 2 − 2a + 1 = 0x ≠ − 2 , x > − 3 x ≠ − 2 , x > − 355 ; 55.3x + 7 = 5x + 3 x = 2Ответ: х = 2.404.

1) log 1 (2x + 2 − 4x ) ≥ −2 ; 2 x = a ; log 1 (4a − a 2 ) ≥ log 1 9 ;33 4a − a 2 > 0 0 < a < 4;  2;2 4a − a ≤ 9 a − 4a + 9 ≥ 00 < 2x < 4; x < 2.2) log 1 (6x +130 < a < 4 ; 0 < a < 4;a ∈ RОтвет: x < 2.xx− 36 ) ≥ −2 ; 6 = a ; log 1 (6a − a 2 ) ≥ log 1 5 ;5556a − a 2 > 0 a 2 − 6a < 00 < a < 6; ; ; 0 < a ≤ 1, 5 ≤ a < 6 .226a − a ≤ 5 a − 6a + 5 ≥ 0 a ≤ 1, a ≥ 50 < 6 x ≤ 1, 5 ≤ 6x < 6; x ≤ 0 и log6 5 ≤ x < 1 .Ответ: x ≤ 0, log6 5 ≤ x < 1 .405.

log2 x ⋅ log2 (x – 3) + 1 = log2 (x2 – 3x);log2 x ⋅ log2 (x – 3) = log2 x + log2 (x – 3) – 1;log2 x (log2 (x – 3) – 1) = log2 (x – 3) – 1;(log2 (x – 3) – 1)( log2 x – 1) = 0;log 2 ( x − 3) = 1x = 5;х=5; −>>x30,x0x > 3log x = 1или  2;x > 3Ответ: х = 5.113406.+< − ; log a x = b;log a x − 1 log a x 2 + 12x > 0x > 03; 113 ;  2b +1+ b −1+ (b −1)(2b +1)+<−2 b −1 2b +1<02(b −1)(2b +1)120www.5balls.ruнет решений.x > 0 2 3 3; 3b + b −2 2 <0 (b −1)(2b +1)x > 0; 2b2 + b −1 (b −1)(2b +1) < 0x > 0;1 1 −1 < log a x < − 2 , 2 < log a x < 1x > 0;1 1−1 < b < − 2 , 2 < b < 1x > 0 11;a < x <aa > 1илиx > 0x > 0x > 0 11или  a > x > a . a < x < a или  a > x >aa > 10 < a < 10 < a < 111и a >x>a,Ответ: при 0 < a < 1: > x >aa11и a <x<a.а при a > 1: < x <aa121www.5balls.ruГлава V.

Тригонометрические формулы°407. 1) 40° = 40 ⋅ π = 2π ;°918018012°9°4) 2 = 2 ⋅180 =  360  ;3) 3π = 3 ⋅ 180 = 135° ;π4°πа)°π π в π °6) 0,36 ≈ 0,36 ⋅ 180 =  64,8  .5) 3 = 3 ⋅ 180 =  540  ;409.9°°°92) π = 180 = 20° ;64180°408. 1) π = 180 = 30° ;66) 140° = 140 ⋅ π = 7π .°451806180°5) 32° = 32 ⋅ π = 8π ;°4) 75° = 75 ⋅ π = 5π ;°1803°°°3) 150° = 150 ⋅ π = 5π ;°°2) 120° = 120 ⋅ π = 2π ;°равностороннемтреугольнике π всетриугларавны°π= ;3180°б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен60° =60 ⋅ ππ , а два других равны45 ° ⋅ π π ;45 ° ==24180180 °π°в) в квадрате все углы равны 90 = ;290 ° =90 ° ⋅ π°=°г) в правильном шестиугольнике все углы равны 120° = 120 ⋅ π = 2π .3180°l 0,36м= 0,4м.410.

ℓ = 0,36м, α = 0,9рад. R — ? ℓ = αR, R = =0,9α411. ℓ = 0,03м, R = 0,015м, α — ?ℓ = αR, α = l = 0,03м = 2рад.R 0,015м412. α =3πрад., R = 0,01м, S — ?4S=R20,00032α=πм .282413. R = 0,025м, S = 0,000625м2, α — ? α = 2S = 2 ⋅ 0,000625м = 2рад.22R0,000625м414.Градусы0,53615910815054450π324πРадианыπ360π5159 π1803π55π63π102,51,8415.Угол, °303690π720π360π180πУгол, рад.π6π50,5421122www.5balls.ruРадиус, см210π105510Длина дуги, смπ325201010Площадь сектора, см2π310π2550255022ℓ = αR, S = R α , S = l .22α416. 1) 4π – (1; 0);4)2) –π–  2; 2; 242 417.π1) − M 1 ;43π− M3 ;3) −455) − π − M 5 ;4418.π1) ± 2π − M1 ;42π3)± 6π − M 3 ;33π– (0; 1); 3) – 6,5π – (0; – 1);2π– 1; 3 ;232 5)6) – 45° –  2 ; − 2  . 22 π− M2 ;34π4) −− M432) −6) − 225o − M5 .π± 2π − M 2 ;33π4) −± 8π − М 4 .42) −419.3π1)+ 2πk , k ∈ Ζ − M1 ;43π2) −+ 2πk , k ∈ Ζ − M 2 ;43) − π + 2πk , k ∈ Ζ − M3 ;4) −π+ 2πk , k ∈ Ζ − M 4 .4420.

Характеристики

Список файлов книги