alimov-10-gdz (546276), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

1) sin  + α  − cos  − α  =44π ππππ= sin  −  − α   − cos − α  = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д.4442 4ππ2) cos  − α  − sin  + α  =63π ππππ= cos − α  − sin −  − α   = cos − α  − cos − α  = 0 ; ч.т.д.6662 6148www.5balls.ru3)) ⋅ ctg ( + α) = − cos α ⋅ −tgα = − cos αtgα = −sin α ; ч.т.д.tg ( π + α ) tg α −( ) tgα −ctgαsin(3π−α2π23π2ππ7π533. 1) sin  + α  = sin  π +  + α   = −sin  + α  ;666 2) sin  5π + α  = sin  2π −  3π −α   = −sin  3π − α  ;444ππ2π3) cos α −  = cos −π+  + α  = −cos  + α  ;3332π4π  4π 4) cos  α −  = cos − 2π +  α +   = cos α +  ; ч.т.д.3 3 3 534.

Пусть α1α2,α3 — углы треугольника, тогда α1 + α 2 + α3 = 180o иsin (α1 + α 2 ) = sin(180o − α3 ) = sin α3 , ч.т.д.ππ535. 1) cos( − x) = 1;sin x = 1; x = + 2 πk, k ∈ Z .22 3π2) sin  + x  = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z . 2π3) cos ( x − π ) = 0;cos ( π − x ) = 0; − cos x = 0;cos x = 0; x = + πk, k ∈ Z .2ππ4) sin(x − ) = 1; − sin( − x) = 1; − cos x = 1;cos x = −1; x = π + 2πk, k ∈ Z .223π5) sin ( 2x + 3π )sin(3x + ) − sin 3x cos 2x = −1;2sin 2x cos 3x − sin 3x cos 2x = 0;sin ( − x ) = 0;sin x = 0; x = πk, k ∈ Z .3π) cos ( 2x + 4π ) − sin (5x + π ) sin 2x = 0;2ππ πcos 5x cos 2 x + sin 5x sin 2 x = 0 : cos 3x = 0 : 3x = + πk , x = + k , k ∈ Z .26 3536. Пусть β – любой угол.

Тогда β = πk + α, где k-какое-то целое число,а 0 ≤ α < π . И по формулам приведения sinβ = sinα, если k-четное и sinβ ==–sinα, если k-нечетное, cosβ = cosα, если k-четное и cosβ=–cosα, если k —ππнечетное, а tgβ = tgα и cgβ = ctgα. Тогда α = ± γ , где 0 ≤ γ ≤ . И по22формулам приведения : sin α = cos γ, cos α = ± sin γ ,6) sin(5x −tgα = ± ctgγ, ctgα = ± tgγ . Далее: sin γ = 2 sin γ cos γ ,22149www.5balls.ruγcos γ = cos 2γ2tg1 − tg 2γγ2 ,ctgγ =2,− sin 2 , tgγ =γγ221 − tg 22tg22γ πγт.е. зная значения sin, cos, tg, ctg для угла , где 0 ≤ ≤ , мы можем вы22 4числить значения sin, cos, tg, ctg для угла β. Ч.т.д.ππππ+α+ −α+α− +αππ33537. 1) sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3cos 3=2233π= 2 sin cos α = 3 cos α ;3ππππ−β+ +β−β− −βππ442) cos  − β  − cos  + β  = −2sin 4=sin 42244π= 2 sin sin β = 2 sin β ;4ππππ3) sin 2  + α  − sin 2  − α  =  sin  + α  − sin  − α   ×44  44 πππ×  sin  + α  + sin  − α   = 2sin α cos ⋅ 2sin444πcos α = 2sin α cos α = sin 2α ;4ππππ 4) cos 2  α −  − cos 2  α −  =  cos  α −  − cos  α +   ×44 44  ππ ππ× cos  α −  + cos  α +   = 2sin α sin ⋅ 2cos α cos = 2sin α cos α = sin 2α .44 44 538.

1) cos105o + cos 75o = 2 cos 90o cos15o = 0 ;2) sin 105o − sin 75o = 2 sin 15o cos 90o = 0 ;3) cosπ11π5π2π2+ cos= 2 cos cos =;12123424) cosπ11π5π2π6− cos= −2 sin;sin =12123425) sin7ππππ2− sin= 2 sin cos =;12124326) sin105o + sin165o = 2 sin135o cos 30o = −6.2130o + α30o − α;539. 1) 1 + 2sin α = 2( + sin α) = 2(sin30o + sin α) = 4sincos222150www.5balls.ru130o − α30o + α2) 1 − 2sin α = 2( − sin α) = 2(sin 30o − sin α) = 4sin;cos222160o + α60o − α3) 1 + 2cos α = 2( + cos α) = 2(cos60o + cos α) = 4cos;cos222 π +α π −απ24) 1 + sin α = sin + sin α = 2sin  2cos 2 .22sin α + sin 3α 2sin 2α cos(−α)540. 1)== tg2α , ч.т.д.cos α + cos3 2cos 2α cos(−α)2)sin 2α + sin 4α 2sin 3α cos(−α)cos α=== ctg α , ч.т.д.cos 2α − cos 4α −2sin 3α sin(−α) sin α541.

1)=4cos 2α cos α2cos 2α2cos 2αctg 2α===;2sin α cos α + 2sin 3α cos α sin α + sin 3α 2sin α cos(−α) cos α2)=2(cos α + cos3α)4cos2α cos(−α)4cos2α cos α===2sin 2α + sin 4α sin 2α + sin 2α + sin 4α sin 2α + 2sin3α cos(−α)1 + sin α − cos 2α − sin 3α22 sin α + sin α − 1=1 + cos2 α + sin 2 α + sin α − sin 3α2 sin 2 α + sin α − 1=2sin2 α + 2sin(−α)cos2α 2sin α(sin α − cos2α) 2sin α(2sin2 α + sin α −1)=== 2sin α .2sin2 α + sin α −12sin2 α + sin α −12sin2 α + sin α −1542.

1) cos 4 α − sin 4 α + sin 2α = cos 2α + sin 2α =ππππ= cos 2α + cos  − 2α  = 2cos cos  2α −  = 2 cos 2α −  , ч.т.д.24442π2π 2π2) cos α + cos + α  + cos − α  = cos α + 2 cos cos α =3 3 3= cos α − cos α = 0 , ч.т.д.sin 2α + sin 5α − sin 3α=3)cos α + 1 − 2sin 2 2α2sin α cos α + 2sin α cos 4α 2sin α(cos α + cos 4α)=== 2sin α , ч.т.д.cos α + cos 4αcos α + cos 4α543. 1) cos22o + cos24o + cos26o + cos28o = 2cos1ocos23o + 2cos1ocos27o == 2cos1o(cos23o + cos27o) = 4cos1ocos2ocos25o;ππ5ππππππ 12) cos + cos + cos= 2 cos cos − cos = 2 cos  cos −  =12466126612 2 ππππππ5π5π= 2 cos  cos − cos  = 4cos sin sin = 2 3 sin sin .62482486123151www.5balls.ru544.

tgα + tgβ =sin α sin β sin α cos β + sin β cos α sin(α + β)+==, ч.т.д.cos α cos βcos α cos βcos α cos βsin 360o1) tg267o + tg93o ==0cos 267o cos93o5π7πsin π2) tg + tg==0.1212 cos 5π ⋅ cos 7 π1212545. 1) 1 – cosα + sinα = cos0 – cosα + sinα =α  αααααα= −2 sin sin −  + 2 sin cos = 2 sin  sin + cos  ;22222222) 1 – 2cosα + cos2α = cos0 + cos2α – 2cosα = 2cosαcos( – α) – 2cosα == 2cosα(cosα – 1);cos α + sin α cos α − cos 2 α − sin α=cos αcos α(1 − cos α ) − sin α(1 − cos α ) (1 − cos α )(cos α − sin α )=== (1 − cos α )(1 − tgα ) ;cos αcos α1 sin α + cos α4) 1 + sin α + cos α + tgα = sin α + cos α += (sin α + cos α)1 +.cos αcosα3) 1 + sin α − cos α − tgα =546.

1) cosα, если sin α =3πи < α < π ; cos α = − 1 − 1 = − 2 ;233353π192 ;; tgα =, π<α<−1 =−1 =2325cos α5π3) sinα, если tgα = 2 2 и 0 < α < ;22) tgα, если cos α = −sin α = tgα cos α = tgα ⋅121 + tg α=2 2⋅1 2 2;=933π;21 = 2 ⋅− 1  = − 2 .cos α = ctgα ⋅ sin α = ctgα ⋅  − 1 + ctg 2 α 3 3ππ547.

1) 2 sin (π − α )cos − α  + 3 sin 2  − α  − 2 =224) cosα, если ctgα = 2 и π < α <= 2 sin α sin α + 3 cos 2 α − 2 = 2 cos 2 α + 3 cos 2 α = cos 2 α ;π 3π sin (π + α )cos− α  tg α − 22  − sin α(− sin α )(− ctgα ) ctg 2α .2)==− sin α ⋅ sin α ⋅ tgαπ  3π+ α  tg (π + α )cos + α  cos2  2152www.5balls.ru548. 1) sin 47π = sin 8π − π  = − sin π = − 1 ; 2) tg 25π = tg 6π + π  = tg π = 1 ;66642443) ctg 27π = ctg 7π − π  = −ctg π = −1 ; 4) cos 21π = cos 5π + π  = − cos π = − 2 .444444223π15πππππ549.

1) cos− sin= cos 6π −  − sin  4π −  = cos + sin = 2 ;4444442) sin25πππππ10π3;− tg= sin  8π +  − tg 3π +  = sin − tg = −43333323) 3cos3660o + sin(−1560o ) = 3cos(360o ⋅ 10 + 60o ) + sin(−180o ⋅ 9 + 60o ) == 3 cos 60 o − sin 60 o =()3− 3;2() ()4) cos − 945 o + tg1035 o = cos − 180 o ⋅ 5 − 45 o + tg 360 o ⋅ 3 − 45 o == − cos 45 o − tg 45 o = −2−1 .2 1 + cos2 α1 1 + cos2 α − sin2 α  sin α⋅550.

1) − sin α tgα = = sin α2 2 cosαsinα=2cos 2 α sin α⋅= cos α ;sin α 2cos α 1 + sin2 α cosα  1 + sin 2 α − cos2 α  cos α 2sin2 α=2) ctgα⋅= 2sin α.− cosα  = cosα sin α  sin α cos αcosα( + α) − cos( + α) = sin551. 1)sin ( + α) + cos ( + α) sinsinπ4π4π4π4ππππcos α + sin α cos − cos cos α + sin sin α4444=ππππcos α + sin α cos + cos cos α − sin sin α44442222cos α +sin α −cos α +sin α2 sin α2222=== tgα ;22222cos αcos α +sin α +cos α −sin α2222ππππππsin − α − cos − αsin cos α − sin α cos + cos α cos − sin sin α4444442)==ππππππα−α−α−αsincossincoscoscossinsinsin − α + cos − α444444( ) ( )( ) ( )=2 (cos α − sin α )2 sin α= 1 − ctgα552.

1) 1 + tgαtgβ = 1 +sin α sin β cos α cos β + sin α sin β cos(α − β), ч.т.д.==cos α cos βcos α cos βcos α cos β153www.5balls.ru2) tgα − tgβ =sin α sin β sin α cos β − sin β cos α sin(α − β), ч.т.д.−==cos α cos βcos α cos βcos α cos βππ 553. 1) 2 sin 6α cos 2  + 3α  − sin 6α = sin 6α 2 cos 2  + 3α  − 1 =44 5π 5ππ== sin 6α ⋅ cos + 6α  = − sin 2 6α =  α = = − sin 224 421ππ= − sin 2  π +  = − sin 2 = − ;442ππ2) cos3α + 2cos ( π − 3α ) sin 2  − 1,5α  = cos3α 1 − 2sin 2  − 1,5α   =4415π  1  5π  1π= cos3α cos  − 3α  = cos 3α sin 3α = sin 6α =  α = = sin   = .236  2  5  42554.

1)(3 cos75o − cos15o1 − 2sin2 15o) = −2 2sin45o sin30o = −2cos30o2⋅322 1⋅2 2=−2;3π2π−1cos28422).===πππ 1+141 + 8sin 2 cos21 + 2sin 28842cos 2555. 1)2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α(1− cos2α) 1− cos2α 2 sin2 α==== 2tg 2α , ч.т.д.2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α(1+ cos2α) 1+ cos2α 2 cos2 απ(1 − cos( − 2α)) 1 − sin2α 2 cos2α(1− sin 2α) 2 cos2α − sin 4απ22) tg2 ( − α) =,===π4(1 + cos( + 2α)) 1 + sin2α 2 cos2α(1+ sin 2α) 2 cos2α + sin 4α2ч.т.д.556. 1) sin35o + sin24o = 2sin30ocos5o = cos5o;2) cos12o – cos48o = – 2sin( – 18o)sin30o = – sin( – 18o) = sin18o. cos β sin β  1 − cos 4α557.

+=⋅ sin α cos α  cos(π − β + α )=(cos α cos β + sin α sin β) ⋅2 sin 2 2α2 cos(α − β )sin 2 2α== −4sin 2α .11− cos(α − β )sin 2α− sin 2α cos(α − β )22 7π7π7πsin(2α − 3π) + 2 cos + 2α −sin2α + 2cos cos2α − 2sin sin2α666558. 1)==πππ2 cos − 2α + 3 cos(2α − 3π) 2cos cos2α + 2sin sin2α − 3cos2α666154www.5balls.ru==− sin 2α − 3 cos 2α + sin 2α− 3 cos 2α== − 3ctg 2α , ч.т.д.sin 2α3 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2απ2 cos − 2α  − 3 sin(2,5π − 2α) 2cos π cos2α + 2sin π sin 2α − 3cos2α6662)==πππsin 2α + 2cos cos2α − 2sin sin 2αcos(4,5π − 2α) + 2 cos + 2α 6663 cos 2α + sin 2α − 3 cos 2αsin 2α + 3 cos 2α − sin 2α559. 1)2)=sin 2α3 cos 2α=tgα3, ч.т.д.1 − cos α + cos 2α2cos 2 αcos α(2cos α − 1)=== ctgα , ч.т.д.sin 2α − sin αsin 2α − sin α sin α(2cos α − 1)sin α + sinα21 + cos α + cosα2=α2ααα+ 1) sin (2cos + 1)α222== tg , ч.т.д.ααα2α22coscos (2cos + 1)+ cos2222sin (2cos31+π α π1 − cos α5 =2560.

< <и tgα ==34 2 21 + cos α1−5111 1 3561. sin α cos α = − (sin α − cos α )2 + = − + = ;228 2 81 11sin 2 α cos2 α sin3 α − cos3 α (sin α − cos α)(1 + sin α cos α) 2 ⋅ 8 11−==== .3cos αsin αsin α cos αsin α cos α688ctg 2α − 1 − 94562. ctg2α ===− ;22ctgα334sin 2α 5cos 2α202+4−−4sin 2α + 5cos 2αsin 2α = 4 + 5ctg2α =3 = 3 =−4 .= sin 2α2sin 2α − 3cos 2α 2sin 2α − 3cos 2α 2 − 3ctg2α 2 + 1269sin 2αsin 2α3563. 1) sin2(α + β) = (sinαcosβ + sinβcosα)2 = sin2αcos2β + sin2βcos2α ++ 2sinαsinβcosαcosβ = sin2α – sin2αsin2β + sin2βsin2α + 2sinαcosαsinβcosβ == sin2α + sin2β + 2sinαsinβ(cosαcosβ – sinαsinβ) = sin2α + sin2β+2sinαsinβ × ⋅× cos(α + β), ч.т.д.2) sinα + 2sin3α + sin5α = 2sin3αcos2α + 2sin3α = 2sin3α(cos2α + 1) == 4sin3αcos2α, ч.т.д.sin α + sin3α + sin5α 2sin3α cos2α + sin3α564.==cos α + cos3α + cos5α 2cos3α cos2α + cos3αsin3α(2cos2α+1) sin3α== tg3α , ч.т.д.cos3α(2cos2α+1) cos3α155www.5balls.ru565.=sin α33sin α + 3cos α()1sin αtgα  2  tgα 1 + tg 2α3 cos α cosα====33tg α + 3tg α + 33tg α + 32 ⋅ 5 10= .8 + 3 11π π566.

Характеристики

Список файлов книги