alimov-10-gdz (546276), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

1) cos2x + cos22x = cos23x + cos24x;(cos2x – cos23x) + (cos22x – cos24x) = 0;(cosx – cos3x)(cosx + cos3x) + (cos2x – cos4x)(cos2x + cos4x) = 0;2sinxsin2x ⋅ 2cosxcos2x + 2sinxsin3x ⋅ 2cosxcos3x = 0;sin2xsin4x + sin2xsin6x = 0;sin2x(sin4x + sin6x) = 0;2sin2x ⋅ sin5xcosx = 0;sin2x = 0 или sin5x = 0 или cosx = 0;πππ2x = πk или 5x = πk или x = + πk , k ∈ Z ; x = k или x = k или225πππx = + πk (входит в первую серию корней), т.е.

x = k или x = k , k ∈ Z ;2252) sin 6 x + cos6 x = 1 ; (sin 2 x + cos 2 x)3 − 3sin 4 x cos 2 x − 3cos 4 x sin 2 x = 1 ;43 231;sin2x=±1;− sin 2 x = −1 − 3sin x cos x(sin x + cos x) =444ππ π2 x = + πk , x = + k , k ∈ Z .24 2cos2x cosxcos 2x12641. 1)+= 1;= a ; a + = 1 ; а –а+1=0; D<0 — решений нет.cosx cos2xcos xa2) sin x + 1 = sin 2 x + 1 ;sinx = a;sin xsin 2 x11a4 – a3 – a + 1 = 0;a3(a – 1) – (a – 1) = 0;a + = a2 + 2 ;aaπ(a3 – 1)(a – 1) = 0; a = 1;sinx = 1;x = + 2πk , k ∈ Z .242222642. 1) sinxsin5x = 1; т.к. |sinx| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, то |sinxsin5x| ≤ 1, а;sinxsin5x = 1, только если sinx = sin5x = 1 или sinx = sin5x = – 1, т.е.176www.5balls.ruπsin x = 1  х = 2 + 2πk, k ∈ Z;;sin 5x = 1 5x = π + 2πn, n ∈ Z2 x = π + 2πk, k ∈ Zπ2; x = + 2πk , k ∈ Z или22ππ x = + n, n ∈ Z105ππsin x = −1  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z;;;sin 5x = −1 5x = π + 2πn, n ∈ Z  x = − π + 2π n, n ∈ Z2105ππx = − + 2πk , k ∈ Z , т.е.

x = + πk , k ∈ Z ;222) sinxcos4x = – 1;возможно, лишь при sinx = 1, а cosx = – 1 или при sinx = – 1, а cos4x = 1, т.е. x = π + 2πk,k ∈ Z x = π + 2 πk, k ∈ Z2;— решений нет, или2 4x = π + 2 πn, n ∈ Z  x = π + π n,n ∈ Z4 2 x = − π + 2πk, k ∈ Zπsin x = −1  x = − + 2πk, k ∈ Z 2; ; ; x = − π + 2πk , k ∈ Z .2=cos4x12π 4x = 2πn, n ∈ Z x = n, n ∈ Z2sin x = 1;cos 4x = −15 cos x − cos 2 x = −2 sin x ;643. 1)5 cos x − cos 2 x ≥ 0:sin x ≤ 025 cos x − cos 2 x = 4 sin x5 cos x − cos 2 x ≥ 0;sin x ≤ 0225 cos x − 2 cos x − 1 − 4 + 4 cos x = 05 cos x − cos 2 x ≥ 0; решаем последнее уравнение в системе, полагаяsin x ≤ 022 cos x + 5 cos x − 5 = 0cosx = a;cos x =2a2 + 5a – 5 = 0;a1 =−5 + 65−5 − 65, т.е.,a 2 =44π−5 + 65−5 − 65  x = − 2 + 2πk, k ∈ Z; ;, или cos x −44 x = π n, n ∈ Z2Подставляем в первое неравенство системы:5cosx – 2cos2x – 1 ≥ 0 вместо cosx число65 − 5;4 65 − 5  − 2 ⋅ 90 − 10 65 − 1 = − 74 + 10 65 ≥ 0 , т.е. корни5⋅4164177www.5balls.ru5 cos x − cos 2 x ≥ 0; удовлетворяют первому неравенству системы,sin x ≤ 022 cos x + 5 cos x − 5 = 0из второго неравенстве следует, что х ∈ III, IV четверти, значит,x = − arccos2)65 − 5+ 2πk , k ∈ Z ;4cos x + cos 3x = − 2 cos x ;2 cos x cos 2 x = − 2 cos x ;2cos x(2cos x − 1) = − cos x ;a(2a 2 − 1) = −a ;cosx = a;a ≤ 02, т.е.

а=0 или a = − 1 ;a(2a − 1) ≥ 021a = 0,a = − ,a = 12π2π+ 2πk , k ∈ Z .x = + πk или x = ±23a ≤ 0a ≤ 022;;a(2a − 1) ≥ 0a(2a − 1) ≥ 022 2a(2a − 1) = aa(2a − a − 1) = 0cosx = 0 или cos x = − 1 ;2644. 1) 4|cosx| + 3 = 4sin2x;4|cosx| + 3 = 4 – 4cos2x;cosx = a;4cos2x + 4|cosx| – 1 = 0;4a2 + 4|a| – 1 = 0;a ≥ 0−4+4 2;,−4 − 4 2−4 + 4 2 a =8,a 2 =a1 =88a < 0a < 0т.е. a = − 1 + 2 или ,4−4 24+ 4 2224a 2 − 4a − 1 = 0 a =,a =88a ≥ 0; 24a + 4a − 1 = 0т.е.

a = 1 − 2 т.е. a = ± 1 − 2  ,2222 т.е. cos x = ± 1 − 2  , т.е. x = ± arccos 2 − 1 + 2πk или2x = ± ( π − arccos2) tgx + 1 =22 −1) + 2 πk, k ∈ Z , т.е.21cos2 2xa) |tgx| = tg22x;tgx = t;2 x = ± arccos2 −1+ πk , k ∈ Z ;2;tgx =4tg 2 x2(1 − tg x)2;tgx ≥ 0; t 4 − 2t 2 − 4t + 1 t=0;(1 − t 2 )2 (1 − tg 2 x) 2 − 4tgx tgx =0;(1 − tg 2 x)2t = 0, а второе уравнение (t4 – 2t2 – 4t + 1 = 0) не имеет положительныхкорней, т.е. tgx = 0;x = πk, k ∈ Z;178www.5balls.ru (1 − tg 2 x) 2 + 4tgx tgx  = 0;(1 − tg 2 x) 2б) tgx < 0;tgx = 0 не удовлетворяет требованию tgx < 0 т.е. x = πk, k ∈ Z.cos(x + y ) = 0645.

1) ;cos(x − y ) = 1 x + y = π + πk, k ∈ Z;2 x − y = 2πn, n ∈ Zπ ππ π+ k + πn , k ∈ Z, n ∈ Z ;y = + k − πn , k ∈ Z, n ∈ Z ;4 24 2sin x − sin y = 1222) ;sin x + cos y = 1 только при sinx = ±1 и cosy =sin 2 x + cos2 y = 1x== ±1, но при sinx = – 1 получим siny = – 2 (из первого уравнения), значит,sin x = 1, а cos y = ±1 и sin y = = 0 (из первого уравнения), т.е.x=π+ 2πk , k ∈ Z , а y = πn, n ∈ Z.2646.

4 – 4cos2x + 2(a – 3)cos x + 3a – 4 = 0;cos x = b;4b2 – 2(a – 3)b – 3a = 0.4cos2x – 2(a – 3)cos x – 3a = 0;Уравнение имеет действительные корни, если D ≥ 0;D = 4(a – 3)2 + 16 ⋅ 3a = 4(a + 3)2 ≥ 0 при любом а.;2(a − 3) − 2(a + 3)и b 2 = 2(a − 3) + 2(a + 3) .883Для любых а один из b = − , другой b = a .223Уравнение cos x = − не имеет корней, а уравнение cos x = a — имеет22b1 =корни, только если |a| ≤ 2.Т.е. исходное уравнение имеет корни x = ± arccos a + 2πk , k ∈ Z , только2если – 2 ≤ а ≤ 2.647. (1 – a)sin2x – sin x cos x – (2 + a)cos2x = 0 |: cos2x;(1 – a)tg2x – tg x – (2 + a) = 0;tg x = b; (1 – a)b2 – b – (2 + a) = 0.Уравнение не имеет решений, если D < 0;D = 1 + 4(2 + a)(1 – a) < 0;1 + 8 – 4a – 4a2 < 0; 4a2 + 4a – 9 > 0, ;т.е.

− 1 − 1 10 > a или − 1 + 1 10 < a .2222Значит, исходное уравнение не имеет корней приa<−10 + 1или при a > 10 − 1 .22648. 1) cos x ≥ 2 ;22) cos x < 3 ;2−ππ+ 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ;44π11π+ 2πk < x <+ 2πk , k ∈ Z ;66179www.5balls.ru5π5π+ 2πk < x <+ 2πk , k ∈ Z ;663) cos x > − 3 ;−4) cos x ≤ − 2 ;3π5π+ 2πk ≤ x ≤+ 2πk , k ∈ Z .44222) cos x < – 1 — решений нет;649. 1) cos x ≤ 3 — x ∈ R;3) cos x ≥ 1 — выполняется только при cos x = 1, т.е.

x = 2πk, k ∈ Z;4) cos x ≤ – 1 — выполняется только при cos x = – 1, т.е.x=π+2πk, k ∈ Z.π5π+ 2πk < x <+ 2πk , k ∈ Z ;66650. 1) sin x > 1 ;22) sin x ≤ 2 ;−π5π+ 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ;443) sin x ≤ − 2 ;−π3π+ 2πk ≤ x ≤ − + 2πk , k ∈ Z ;444) sin x > − 3 ;−π4π+ 2πk ≤+ 2πk , k ∈ Z .33222651. 1) sin x ≥ − 2 – x ∈ R;2) sin x > 1 — нет решений;3) sin x ≤ – 1 — выполняется только при sin x = – 1; x = − π + 2πk , k ∈ Z ;2π4) sin x ≥ 1 — выполняется только при sin x = 1; x = + 2πk , k ∈ Z .2652. 1)2 cos 2 x ≤ 1 ; cos 2 x ≤ 2 ; π + 2πk ≤ 2 x ≤ 7 π + 2πk ;442π7π+ πk ≤ x ≤+ πk , k ∈ Z ;882) 2sin3x > – 1; sin 3x > − 1 ; − π + 2πk < 3x < 7 π + 2πk ;662π 2π7 π 2π− ++k<x<k, k ∈ Z ;18 31833) sin(x + π ) ≤ 2 ; − 5π + 2πk ≤ x + π ≤ π + 2πk ; − 3π + 2πk ≤ x ≤ 2πk , k ∈ Z ;4424424) cos(x − π ) ≥ 3 ; − π + 2πk ≤ x − π ≤ π + 2πk ; 2πk ≤ x ≤ π + 2πk , k ∈ Z .66 6623x1ππx653.

1) cos( + 2) ≥ ; − + 2πk ≤ + 2 ≤ + 2πk ;33332πx π;–π–6+6πk≤ x ≤ π – 6 + 6πk, k ∈ Z;− − 2 + 2πk ≤ ≤ − 2 + 2πk33 32) sin x − 3  < − 2 ;4−2−π3πx+ 2πk < − 3 < − + 2πk ;444π3πx+ 3 + 2πk < < − + 3 + 2πk ; – 3π + 12 + 8πk < x < – π + 12 + 8πk, k∈Z.444180www.5balls.ru654. 1) sin2x + 2sin x > 0;sin x(sin x + 2) > 0;sin x + 2 > 0 для всех x ∈ R, т.е. sin x > 0; 2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z;2) cos2x – cos x < 0; cos x(cos x – 1) < 0; cos x – 1 ≤ 0 для всех x ∈ R,cos x > 0т.е. cos x − 1 ≠ 0; − π + 2πk < x < 2πk , k ∈ Z и 2πn < x < π + 2πn , n ∈ Z .22655. 1) 2 arcsin 3 + 3 arcsin − 1  = 2 ⋅ π + 3 ⋅ 2π = 8π ;23 2πππ72) arcsin;− 4 arcsin 1 = − 4 ⋅ = −42423313) arccos − 1  − arcsin 3 = 2π − π = π ; 223334) arccos(− 1) − arcsin (− 1) = π −  − π  = 3π ; 2 25) 2arctg1 + 3arctg − 1  = 2 ⋅ π + 3 − π  = 0 ;34 66) 4arctg(− 1) + 3arctg 3 = 4 ⋅  − π  + 3 ⋅ π = 0 . 4656.

1) cos(4 − 2x ) = − 1 ;22π;+ 2 πk2x = 4 ±32) cos(6 + 3x ) = − 2 ;23x = ±3π− 6 + 2πk ;434 − 2x = ±x = 2±2π+ 2πk ;3π+ πk , k ∈ Z ;33π+ 2πk ;4π2πx = ± −2+k, k ∈ Z ;436 + 3x = ±ππ2;2 cos(2x + ) + 1 = 0 ;cos(2x + ) = −424ππ3π+ 2πk , k ∈ Z ;2x + = ±2 x = + 2πk или 2x = – π + 2πk, k ∈ Z;442ππx = + πk или x = − + πk , k ∈ Z ;423)πππ3;− 3x = ± + 2πk , k ∈ Z ;cos( − 3x) =36332π 2ππ ππ 2π;илиx= +k, k ∈ Z .3x = + + 2πk , k ∈ Zx= +k3 62 36 3π1657.

1) 2sin(3x − π ) + 1 = 0 ;sin(3x − ) = − ;442πππ πk +1 π+k1+ πk ;3x − = (− 1)++ k, k ∈ Z ;x = (− 1)18 12 3464) 2cos( π − 3x) − 3 = 0 ;181www.5balls.rux πsin  +  = 1 ;2 3πx πx = + 4πk , k ∈ Z ;= + 2 πk ;2 633sin (2 x + 1) = − ;43 1 πk +1 1x = (− 1)arcsin − + k , k ∈ Z ;24 2 22sin (2 x − 1) = ;52 1 πk 1x = (− 1) arcsin + + k , k ∈ Z .25 2 22) 1 − sin  x + π  = 0 ;2 3x π π+ = + 2πk ;2 3 23) 3 + 4sin(2x + 1) = 0;2 x + 1 = (− 1)k +1 arcsin3+ πk ;44) 5sin(2x – 1) – 2 = 0;2 x − 1 = (− 1)k arcsin2+ πk5658.

1) (1 + 2 cos x)(1 − 4sin x cos x) = 0 ;(1 + 2 cos x)(1 − 2sin 2x) = 0 ;2или sin 2 x = 1 ; x = ± 3π + 2πk или 2 x = (− 1)k π + πk , k ∈ Z ;cos x = −2246π π3πk+ 2πk или x = (− 1)+ k, k ∈ Z ;x=±412 22) (1 − 2 cos x)(1 + 2sin 2x cos 2x) = 0 ;(1 − 2 cos x)(1 + sin 4x) = 0 ;2ππили sin4x = – 1;x = ± + 2πk или 4 x = − + 2πk , k ∈ Z ;242ππ πили.x = ± + 2πkx = − + k, k ∈ Z48 2π659. 1) tg(2x + ) = −1 ; 2 x + π = − π + πk ; x = − π + π k , k ∈ Z ;4444 25π ππ π5ππ12) tg(3x − ) =; 3x − = + πk ; 3x =+ πk ; x =+ k, k ∈ Z ;4 61236 3433) 3 − tg(x − π ) = 0 ; tg(x − π ) = 3 ; x − π = π + πk ; x = 8π + πk , k ∈ Z ;555 315πππ π3π4) 1 − tg(x + ) = 0 ; tg(x + ) = 1 ; x + = + πk ; x =+ πk , k ∈ Z .28777 4cos x =660. 1) 2sin2x + sin x = 0;sin x(2sin x + 1) = 0;x = πk или x = (− 1)k +1 π + πk , k ∈ Z .sin x = 0 или sin x = − 1 ;22) 3sin2x – 5sin x – 2 = 0;1a1 = − , a2 = 2;3x = (− 1)k +1 arcsin6sin x = a;sin x = −3a2 – 5a – 2 = 0;1или sin x = 2;31+ πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет.33) cos2x – 2cos x = 0; cos x(cos x – 2) = 0; cos x = 0 или cos x = 2;πx = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет.24) 6cos2x + 7cos x – 3 = 0;cos x = a;6a2 + 7a – 3 = 0;182www.5balls.ru1331cos x = − или cos x = ;a1 = − ,a 2 = ;32231x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет.3183www.5balls.ru661.

1) 6sin2x – cos x + 6 = 0;6cos2x + cos x – 12 = 0;6(1 – cos2x) – cos x + 6 = 0;cos x = a; 6a2 + a – 12 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 4 ;2343— в обоих случаях решений нет.cos x = − или cos x =232) 8cos2x – 12sin x + 7 = 0;8(1 – sin2x) – 12sin x + 7 = 0;8sin2x + 12sin x – 15 = 0; sin x = a;8a2 + 12a – 15 = 0;a=− 12 − 4 39− 12 + 4 39, т.е. sin x = − 3 − 39 или sin x =,a =16164x = (− 1)k arcsin39 − 3;439 − 3+ πk , k ∈ Z , а в первом случае решений нет.4662. 1) tg2x + 3tg x = 0; tg x(tg x + 3) = 0;tg x = 0 или tg x = –3; x = πk или x = –arctg3 + πk, k ∈ Z;2) 2tg2x – tg x – 3 = 0;tg x = a;2a2 – a – 3 = 0;33a1 = –1, a 2 = ;tg x = –1 или tgx = ;22x=−π3+ πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ;423) tg x – 12ctg x + 1 = 0 | ⋅ tg x; tg2x – 12 + tg x = 0; tg x = a;a2 + a – 12 = 0;a1 = –4, a2 = 3; tg x = –4 или tg x = 3;x = –arctg4 + πk или x = arctg3 + πk, k ∈ Z;4) tg x + ctg x = 2 |⋅tg x; tg2x – 2tg x + 1 = 0; (tg x – 1)2 = 0; tg x = 1;x=π+ πk , k ∈ Z ;4663.

Характеристики

Список файлов книги