alimov-10-gdz (546276), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Эти графики пересекаются в трех точках, абсцис2y=сы которых х1, х2 и х3 являются корнями уравненияx1 =7π9π .π, x2 =, x3 =444cos x =2;2у3) cos x = − 2 .2Построим графики функций y = cos xх197www.5balls.ruи y = − 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех точках, абс2циссы которых х1, х2 и х3 являются решением уравнения cos x = − 2 ;23π5π11π.x1 = , x 2 =, x3 =4444) cos x = − 1 .2ухПостроим графики функций y = cos xи y = − 1 .

Эти графики пересекаются в трех точках, абсциссы которыех2х1, х2 и х3 являются корнями уравнения cos x = 1 ; x1 = 2π , x 2 = 4π , x 3 = 8π .2333713. 1) cos x ≥ 1 .2График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = 1 при2х ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства 0; π  и  5π ; 7π  . 3  3 3 2) cos x ≥ − 1 .2График функции y = cos x лежит не ниже графика функции y = − 1 при24π 8π 2π x ∈ [0; x1], x ∈ [x2; x3]. Значит, решение неравенства — 0;  и  ;  .3 3 33) cos x < − 2 .2График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = − 2 при23π 5π π11x ∈ [x1; x2], x ∈ [x2; x3].

Значит, решение неравенства —  ;  и ;3π  . 4 4  44) cos x < 3 .2График функции y = cos x лежит ниже графика функции y = 3 при2π11π13π и x ∈ [x1; x2], x ∈ [x3; 3π]. Значит, решение неравенства —  ;;3π  .6 6  6ππ π3πππ714. 1) cos и sin ;sin = cos  −  = cos .510552 5198www.5balls.ruТ.к. cos x убывает на [0; π], и π < 3π , то cos π > cos 3π , т.е. cos π > sin π .5 1051055π5ππ π.sin = cos  −  = cos7142 7Т.к. cos x убывает на [0; π], и π < 5π , то cos π > cos 5π , т.е.

cos π > sin π .7 14714773ππ 3π π3π3π3) cosи sin ;sin= cos  −  = cos .88882 8 3π π3ππ3π3π.Т.к. cos x убывает на [0; π], и> , то cos< cos , т.е. cos< sin8 888882) sin π и cos π ;773ππи cos ;553πππ π = sin  +  = cos .510 2 10 Т.к. cos x убывает на [0; π], и π > π , то cos π < cos π , т.е.

cos π < sin 3π .5 10555105πππππ5π5) cos и sin ;sin= sin  −  = cos .1461472 7π ππТ.к. cos x убывает на [0; π], и > , то cos < cos π , т.е. cos π < sin 5π .676 76143ππ ππ3ππ6) cos и sin ;sin= sin  −  = cos .8101052 5ππ πТ.к. cos x убывает на [0; π], и < , то cos > cos π , т.е.

cos π > sin 3π .858 5810π3π1715. 1) cos 2x = . Обозначим 2x = t, т.к. − ≤ x ≤, то – π ≤ 2x = t ≤ 3π.222Построим графики функции y = cos t и y = 1 на отрезке [–π; 3π]. Эти24) sinsinграфики пересекаются в четырех точках, абсциссы которых t1, t2, t3, t4 являются решением уравнения cos x = 1 .2ππ5π7π, т.е. x1 = − π , x 2 = π , x 3 = 5π , x 4 = 7 π .t1 = − , t 2 = , t 3 =, t4 =33336666у2) cos3x = 3 .2tОбозначим 3x = t, т.к.−π3π, то − 3π ≤ 2x ≤ 9π .≤x≤2222Построим графики фукнций y = cos t и y = 1 на отрезке  − 3π ; 9π  . Эти2 2 2графики пересекаются в шести точках t1, t2, t3, t4, t5, t6, абсциссы которыхявляются решением уравнения cos x = 3 ;2199www.5balls.ruππ11π13π23π25π, т.е.t1 = − , t 2 = , t 3 =, t4 =, t5 =, t6 =666666ππ11π13π23π25π.x1 = − , x 2 = , x 3 =, x4 =, x5 =, x6 =181818181818у716.

1) cos 2x < 1 . Обозначим 2x = t, тогда –π ≤ t ≤ 3π.2График функции y = cos t лежит ниже графика функции y = 1 при2t ∈ [–π; t1) ∪ (t2; t3) ∪ (t4; 3π], т.е. t ∈  −π; − π  U  π ; 5π  U  7π ;3π ,3 3 3   3π π   π 5π   7 π 3π а x ∈ − ; −  U  ;  U  ;  . 2 6 6 6   6 2 2) cos3x > 3 . Обозначим 3x = t; − 3π ≤ t ≤ 9π .222График функции y = cos t лежит выше графика функции y = 3 при2ππ11π13π23π25π , аt ∈ (t1; t2) ∪ (t3; t4) ∪ (t5; t6), т.е.

t ∈  − ;  U ;;U6  6 6  6 6   6 π π   11π 13π   23π 25π  .x ∈ − ;  U ;;U 18 18   18 18   18 18 717. 1) y = 1 + cos x.а) Область определения x ∈ R.;б) Множество значений 0 ≤ у ≤ 2;ухв) Функция периодическая с периодом 2π;г) Функция четная;д) принимает наименьшее значение, равное 0, при x = π + 2πk, k ∈ Z;принимает наибольшее значение, равное 2, при x = 2πk, k ∈ Z; функция неотрицательная;е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z;убывает при x ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.2) y = cos2x.уа) Область определения x ∈ R.xб) множество значений –1 ≤ у ≤ 1.в) периодическая с периодом π.г) четная.д) принимает наименьшее значение, равное –1, при x = π + πk, k ∈ Z ;2200www.5balls.ruпринимает наибольшее значение, равное 1, при x = πk, k ∈ Z принимает по-ложительные значения при x ∈ ( − π + πk; π + πk), k ∈ Z принимает отрица44тельные значения при x ∈ ( π + πk; 3π + πk), k ∈ Z ;44е) возрастает при x ∈  π + πk; π + πk  ,k ∈ Z ; убывает при x ∈  πk; π + πk  , k ∈ Z .223) y = 3cos x.а) Область определения x ∈ R;б) множество значений –3 ≤ у ≤ 3;в) периодическая с периодом 2π;г) четная;д) принимает наименьшее значение,равное –3, при x = π + 2πk, k ∈ Zxпринимает наибольшее значение, равное 3, при x = 2πk, k ∈ Z принимаетположительные значения при x ∈ ( − π + 2πk; π + 2πk), k ∈ Z принимает отри22π3πцательные значения при x ∈ ( + 2πk; + 2πk), k ∈ Z ;22е) возрастает при x ∈ [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z убывает приx ∈ [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.718.

1)  π ; π . Т.к. cos x убывает на [0; π], то cos π ≤ cos x ≤ cos π для всех33 π1x ∈  ; π  , т.е. −1 ≤ y ≤ .322)  5π ; 7 π  . 44 Т.к. cos x возрастает на [π; 2π], то cos 5π < cos x < cos 7 π4для всех x ∈  5π ; 7π  , т.е. − 44 422.< y<22719. 1) y = |cos x|.Т.к. при cos x ≥ 0; y = cos x, а приcos x < 0; y = –cos x, то отразим частиграфика функции y=cos x, расположен-уxные ниже оси абсцисс в верхнюю часть плоскости. Полученная кривая ибудет графиком функции y = |cos x|.уУ12) y = 3 – 2cos(x – 1).Построим график функции y = 2cos t,в системе координат 0′ty′. Графикомфункции y = 2cos(x – 1) является эта жекривая в системе координат 0ху, гдеx – 1 = t, а y′ = y (т.е.

0 = 0′ – 1). Затемtxзеркально отобразим полученный гра-201www.5balls.ruФик относительно оси 0х, получим график функции y = –2cos(x – 1). Поднявего на 3 единицы вверх, получим исходный график y = 3 – 2cos(x – 1).720. 1) Значение, равное 0, 1, –1;0 при 0, π, 2π, 3π;1 при π , 5π ;–1 при 3π ;2 222) положительные значения: (0; π), (2π; 3π);3) отрицательные значения: (π; 2π).721. 1)  3π ; 5π  — возрастает;2 23)  −π; − π  — убывает;22)  π ; π  — убывает;24) − 3π ; − π  — убывает;2 25) [2; 4] — убывает;6) [6; 7] — возрастает.722. 1) [0; π]; 0; π  — возрастает,  π ; π — убывает;2  22)  π ;2π ;  π ; 3π  — убывает,  3π ;2π  — возрастает;22 2 2 3) [–π; 0];  −π; − π  — убывает,  − π ;0 — возрастает; 224) [–2π; –π];  −2π; − 3π  — возрастает,  − 3π ; −π — убывает.2 27π13πи sin.723.

1) sin1010Т.к. sin x убывает на  π ; 3π  и 7 π < 13π , то sin 7π > sin 13π .10 1010102 2 2) sin11π13π.и sin77Т.к. sin x возрастает на  3π ; 5π  и 13π > 11π , то sin 13π > sin 11π .2277773) sin  − 8π  и sin  − 9π  . 7  8 Т.к. sinx убывает на − 3π ; − π  и − 8π < − 9π , то sin  − 8π  > sin  − 9π  .782 7  8  23π5π4) sin7 и sin6. Т.к.

sin x возрастает на  ;  и 7 > 6, то sin7 > sin6.2 2у724. 1) sin x = 3 .2Построим графики функций y = sin xи y = 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках,2202www.5balls.ruабсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 3 ;2π2π7π8π.x1 = , x 2 =, x3 =, x4 =3333у2) sin x = 2 .2хПостроим графики функций y = sin xи y = 2 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в четырех точках,2абсциссы которых х1, х2, х3, х4 являются корнями уравнения sin x = 2 ;2π3π9π11π.x1 = , x 2 = , x 3 =, x4 =44443) sin x = − 2 .у2хПостроим графики функций y = sin xи y = − 2 на отрезке [0; 3π].

Эти графики пересекаются в двух точках, абсцис2усы которых х1 и х2 являются корнями уравнения sin x = − 2 ; x1 = 5π , x 2 = 7 π .2444) sin x = − 3 .2хПостроим графики функций y = sin xи y = − 3 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в двух точках, абс2циссыкоторыхх1,х2являютсякорнямиуравненияsin x = −3;24π5π., x2 =33725. sin x > 1 .2x1 =График функции y = sin x лежит выше графика функции y = 1 при2x ∈ (x1; x2) U (x3; x4), т.е. x ∈  π ; 5π  U  13π ; 17 π  .6 6 6   6у1) sin x ≤ 2 .х2График функции y = sin x лежит не203www.5balls.ruвыше графика функции y = 2 при x ∈ [0; x1] U [x2; x3] U [x4; 3π], т.е.2. π   3π 9π  11πx ∈ 0;  U  ;  U ;3π 4  4 4   412) sin x ≥ − .2ухГрафик функции y = sin x лежит не1ниже графика функции y = − при x ∈ [0; x1] U [x2; 3π], т.е.

x ∈ 0; 7π  U 11π ;3π .2 6  63) sin x < − 3 .2График функции y = sin x лежит ниже графика функции y = − 3 при2x ∈ (x1; x2), т.е. x ∈  4π ; 5π  . 3 3 726. 1) sin π и cos π ;cos997π ;π π 7π = cos − = sin918 2 18 Т.к. sin x возрастает на 0; π  и π < 7 π , то sin π < sin 7 π , т.е. sin π < cos π ;9 1891899 22) sin 9π и cos 9π ;8cos89π11π ; 5π 11π = cos− = sin88 8 2Т.к. sin x убывает на  π ; 3π  и 9π < 11π , то sin 9π > sin11π , т.е. sin 9π > cos 9π ;2 2 3) sin π и cos 5π ;5cos148888885πππ π= cos −  = sin ;1472 7Т.к.

Характеристики

Список файлов книги