alimov-10-gdz (546276), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

sin x возрастает на 0; π  и π > π , то sin π > sin π , т.е. sin π > cos 5π ;4) sin π и cos 3π ;108257557143πππ πcos= cos −  = sin ;10255Т.к. sin x возрастает на 0; π  и π < π , то sin π < sin π , т.е. sin π < cos 3π .285885у101.2Построим графики функций у= sin 2x и1у= − на данном отрезке. Эти графики пересекаются в шести точках,2абсциссы которых являются корнями уравнения sin 2x = − 1 . На отрезке27π11π[0; π] имеем два решения: х1=; х2=.1212727. 1) sin 2x = −204www.5balls.ruПериод функции у= sin 2х равен π, поэтому так же будет решениемх= 7π + πn и х= 11π +πk;1212n, k ∈Z.Согласно графику имеем следующие решения:13π5ππ;;х= − 17π ;−−− ;121212127π;12у2) sin 3x = 3 .11π.122Постройте графики функций у= sin 3x и у= 3 на данном отрезке.

Эти гра2фики пересекаются в восьми точках. Период функции у= sin 3x равенотрезке [0,π2π2π] имеем два решения: 3х= и 3х=;333Согласно графику, учитывая периодх= −11π;98π9−10π;9−5π ;9−х=2π. На3π2πи х=.992π, получаем все решения:34π;9π;92π;9у7π;9205www.5balls.ru728. 1) sin 2x ≥ −1.2Построив графики у= sin 2x и у= − 1 , видим, что график функции2у=sin 2x лежит выше графика функции у= − 1на промежутках217π  3π − 2 ; − 12  ;5π  13π − 12 ; − 12  ;Значит, − 3π ≤ x ≤ − 17π ,2127π  11π π. − 12 ; 12  ;  12 ; π 7 π , 11π13π5π , π− ≤x≤−≤x≤−≤ x ≤π.12121212 12у2) sin 3x < 3 .2Построив графики у=sin 3x и у= 3 , видим, что график функции у=sin 3x2лежит ниже графика функции у= 3 на промежутках:25π   4π π   2π 7π   8π  , значит, 3π 11π   10π− 2 ; − 9 ;  − 9 ; − 9 ;  − 9 ; 9 ;  9 ; 9 ;  9 ; π    π 2π7 π 8π3π11π , 10π5π , 4π,< x ≤ π.− ≤x<−−<x<−−<x< ,<x<2999999 99729.

у=1–sin x;1) область определения — множество R всех действительныхчисел;2. множество значений — [0;2];3. функция у=1–sin x периодическая, Т=2π;4. функция у=1–sin x не нечетная и не четная;5. функция у=1–sin x принимает:значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z;2yнаименьшее значение, равное 0, при х= π +2πn, n∈Z;23πнаибольшее значение, равное 2, при х=+2πn, n∈Z;2положительные значения на всей области определения;отрицательных значений не принимает;возрастает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z;22ππубывает на отрезках [– +2πn;+2πn], n∈Z.222) у = 2 + sin x;y205www.5balls.ru1.

область определения — множество R всех действительных чисел2. множество значений – [1; 3];3. функция у = 2 + sinx периоди-ческая, Т = 2π;4. функция у = 2 + sinx не нечетная и не четная5. функция у = 2 + sin x принимает:значение, равное 0, не принимает;наименьшее значение, равное 1, при х= – π +2πn, n∈Z;2πнаибольшее значение, равное 3, при х= +2πn, n∈Z;2положительна на всей области определения;отрицательных значений не принимает;возрастает на отрезке [– π +2πn; π +2πn], n∈Z;22убывает на отрезке [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z.223) у=sin 3x;1. область определения — множествоR всех действительных чисел;2. множество значений — [–1; 1];3.

функция у=sin 3x периодическая,Т=y2π;34. функция у=sin 3x нечетная;5. функция у=sin 3x принимает:значение, равное 0, при х= nπ , n∈Z;3наибольшее значение, равное 1, при х= π + 2πn , n∈Z;63π 2πnнаименьшее значение, равное –1, при х= – +, n∈Z;63положительные значения на отрезках  2πn ; π + 2πn  , n∈Z;33  3отрицательные значения на отрезках  π + 2πn ; 2π + 2πn  , n∈Z;возрастает на отрезках  − π + 2πn ;3 6π 2πn πубывает на отрезке  +;+326333π 2πn , n∈Z;+63 3 2πn , n∈Z.3 4) у = 2sin x;1. область определения — множество Rвсех действительных чисел;2.

множество значений — [–2; 2];206www.5balls.ruy3. функция у = 2sin x периодическая, Т=2π;4. функция у=2sin x нечетная;5. функция у=2sin x принимает:значение, равное 0, при х=πn, n∈Z;наибольшее значение, равное 2, при х= π +2πn, n∈Z;2наименьшее значение, равное –2, при х= – π +2πn, n∈Z;2положительные значения на отрезках [2πn; π+2πn], n∈Z;отрицательные значения на отрезках [–π+2πn, 2πn], n∈Z;возрастает на отрезках [– π +2πn; π +2πn], n∈Z;22убывает на отрезках [ π +2πn; 3π +2πn], n∈Z.22730. 1) множество значений [0; 1]; 2) множество значений  − 2 ;731.

1)22 .2 2)732. I=A sin (ωt+ϕ);π1) A=2; ω=1; ϕ= ; I=2 sin (t + π ) ;44ππ2) A=1; ω=2; ϕ= ; I= sin (2t + ) .33733. 1) tg x =0 при х=πn, n∈Z;2) tg x >0 при х∈[πn;IIπ+πn], n∈Z;2π+πn; πn], n∈Z.2734. 1) возрастает;3) возрастает;2) возрастает; 4) возрастает.ππππ π π735. 1) tg x возрастает на [0; ) и 0< < < , следовательно, tg >tg ;2577 5 2ππ 7π 63π 64π 8π2) tg x возрастает на ( ; π] и <=<=< π следовательно,22 88⋅9 8⋅997πtg> tg 8π ;98π3) tg x возрастает на [–π;– ) и23) tg x <0 при х∈[–207www.5balls.ru–π< − 8π = − 64π < − 63π = − 7π < − π98⋅98⋅982следовательно,tg  − 7 π  > 8 tg  − 8π  ;9 4) tg x возрастает на (–π; 0] и − π < − π < − π < 0 следовательно,2257tg  − π  <tg  − π  ; 5 7π; π] и π < 4 =2<3<π следовательно, tg 2< tg3;22 2ππ6) tg x возрастает на [0; ) и 0<1<1,5< следовательно, tg 1< tg 1,5.22736.

1) tg x = 1;Постройте графики функций у=tg x и у=1 на промежутке (–π; 2π). На этом промежутке мы имеем 3пересечения. На промежутке  − π ; π  имеем реше 2 2πние tg x =1; х= .4Из периодичности функции tg x (Т = π) имеемостальные решения: х= = − 3π ; π ; 5π .4 4 42) tg x = 3 .5) tg x возрастает на (Аналогично 1) строим графики у=tg x и у= 3 .Имеем три пересечения на заданном промежутке.πЗная, одно решение х= и учитывая периодичность,32 π π 4π.находим решения: х= −; ;3 3 33) tg x = – 3 .Строим графики у=tg x и у= – 3 .

Имеем трипересечения на заданном промежутке. Зная одноπи учитывая периодичность, находимрешение х= –3решения: х= − π ; 2π ; 5π .3 3 3208www.5balls.ru4) tg x = –1.Строим графики у=tg x и у= –1. Имеем трипересечения на заданном промежутке. Зная, одноπрешение х= –и учитывая периодичность, находим4решения: х= − π ; 3π ; 7π .4 4 4737. 1) tg x ≥1.Строим графики у=tg x и у=1. Находим решенияtg x =1. Они и будут являться точками пересечения.График у=tg x лежит выше у=1 на промежуткахπ   π π   5π 3π  . Значит, решением нера 3π− 2 ; − 2 ,  4 ; 2 ,  4 ; 2   венства будут эти промежутки:−3ππ≤x<− ,22ππ≤x< ,425π3π.≤x<422) tg x < 3 .3Строим графики у=tg x и у= 3 .

По алгоритму за3дачи 736 находим решения уравнения tg x = 3 ;3х= − 5π ; π ; 7π . График у=tg x лежит ниже у= 3 на6 6 63573ππππππпромежутках − π; − ,  − ; ,  ; ,  ; 2π . Значит, решением6   2 6 2 6   2неравенства будут следующие промежутки.5π7π3ππππ,<x<< x ≤ 2π .−π≤ x < − , − < x < ,6262623) tg x <–1.Решение tg x = –1 приведено в № 736. График у=tg xлежитнижеу=–1напромежуткахπ   π 3π   3π 7π  , πзначит,решением − ; − ,  ; ,  ;4 2 4   2 4  2неравенства будут следующие промежутки:πππ3π3π7π.− <x<− ,<x<<x<,2424244) tg x ≥ − 3 .209www.5balls.ruРешение tg x = – 3 см.

№ 736. График у = tg x лежит выше у=– 3 напромежутках:π   π π   2π 3π   5π , значит, реше-нием неравенства −π; − 2  ,  − 3 ; 2  ,  3 ; 2  ,  3 ; 2π   будут следующие промежутки:π−π ≤ x < − ,2−ππ≤x< ,322π3π≤x< ,325π≤ x ≤ 2π .3738. 1) tg x <1.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2шением этого неравенства будет промежуток  − π ; π  . Учитывая периодич24ππность функции tg x, имеем общее решение: х∈ (− + πn;+ πn) , n∈Z.242) tg x ≥3.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  .

Очевидно, что 2 2решением этого неравенства будет промежуток  π ; π  . Учитывая перио3 2дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈  π + πn; π + πn  , n∈Z.33) tg x ≤ −23.3Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2шением этого неравенства будет промежуток  − π ; − π  .

Учитывая перио-6 2дичность функции tg x, имеем общее решение: х∈  − π + πn; − π + πn  , n∈Z.6 24) tg x >–1.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . Очевидно, что ре 2 2шением этого неравенства будет промежуток  − π ; π  . Учитывая периодич- 4 2ность функции tg x, имеем общее решение: х∈  − π + πn; π + πn  , n∈Z.2 4739. 1) tg x =3.Построим графики у=tg x и у=3. Имеем три точки пересечения.

Одно решение очевидно: х= arctg 3. Из пе210www.5balls.ruриодичности функции получим остальные решения: х= arctg 3 +πn, n=0,1,2.2) tg x = –2.Рассуждения, аналогичные рассуждениям в п.1,приведут к ответу:х= arctg (–2) +πn, n=1,2,3.740. 1) tg x > 4.Рассмотрим это неравенство на промежутке π π  . Решение х∈ (arctg 4, π ).

Характеристики

Список файлов книги