alimov-10-gdz (546276), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

1) 2sin2x = 3cos2x |:cos2x;2 x = arctg3+ πk ;2x=2tg2x = 3;tg 2 x =3;213 πarctg + k , k ∈ Z ;22 22) 4sin3x + 5cos3x = 0 | : cos3x;4tg3x + 5 = 0;tg3x = −5;415 πx = − arctg + k , k ∈ Z .34 3664. 1) 5sin x + cos x = 5; 10 sin x cos x + cos 2 x − sin 2 x = 5 sin 2 x + 5 cos 2 x ;222222xxx2 x2 x2 x2;6 sin6 tg+ 4 cos− 10 sin cos = 0 : cos− 10 tgx + 4 = 0 ;2222223x = −arctgtgx=a;25+ πk ;46a2 – 10a + 4 = 0;3a2 – 5a + 2 = 0;a1 =2, a2 = 1;3x 2или tg x = 1 ; x = arctg 2 + πk или x = π + πk , k ∈ Z ;=22 3232 42πили;x = 2arctg + 2πkx = + 2πk , k ∈ Z32tg183www.5balls.ru426sin x + cos x = ;5552) 4sin x + 3cos x = 6 |:5;sin (x + α ) =6, где α = arccos 4 решений нет.55665.

1) sin3x = sin5x;2sin x cos4x = 0;sin5x – sin3x = 0;sin x = 0 или cos4x = 0;x = πk или 4 x = π + πk , k ∈ Z ;x = πk или x = π + π k , k ∈ Z ;284cos3x(cos3x – cos5x) = 0;2) cos23x – cos3xcos5x = 0;2cos4x sin x sin4x = 0; cos3x = 0 или sin x = 0 или sin4x = 0;π+ πk или x = πk или 4x = πk, k ∈ Z;2π πx = + k или x = πk (входит в третью серию корней) или6 3π πππx = + k или x = k , k ∈ Z ;x = k , k ∈ Z , т.е.6 3443x =3) cos x = cos3x;cos x – cos3x = 0;2sin x sin2x = 0;sin x = 0 или sin2x = 0; x = πk или 2x = πk, k ∈ Z;πx = k или x = πk (входит в первую серию корней), т.е. x = π k , k ∈ Z ;22sin5x(sin x – sin5x) = 0;4) sin x sin5x – sin25x = 0;–2sin5x sin2x sin3x = 0;sin5x = 0 или sin3x = 0 или sin2x = 0;5x = πk или 2x = πk или 3x = πk, k ∈ Z,т.е. x = π k или x = π k или x = π k , k ∈ Z .523666.

1) sin(arccos 3 ) = sin  π  = 1 ; 2) tg(arccos 1 ) = tg  π  = 3 ;262233) tg(arccos 2 ) = tg  π  = 1 .24667. 1) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ π ) = 0 ;2) sin(3arccos 3 ) = sin(3 ⋅ π ) = 0 ;226π4) sin ( 4arcsin1) = sin(4 ⋅ ) = 0 .23) cos(6ar sin1) = cos(6 ⋅ π ) = −1 ;2668. 1) sin2x + 2cos2x = 1;2sin x cos x + 2cos2x – 2sin2x = sin2x + cos2x;223sin x – 2sin x cos x – cos x = 0 | : cos2x;3tg2x – 2tg x – 1 = 0;11a1 = − , a2 = 1; tgx = − или tg x = 1;tg x = a; 3a2 – 2a – 1 = 0;331πx = −arctg + πk или x = + πk , k ∈ Z .342) cos2x + 3sin2x = 3; cos2x – sin2x + 6sin x cos x = 3sin2x + 3cos2x;4sin2x – 6sin x cos x + 2cos2x = 0 | : 2cos2x; 2tg2x – 3tgx + 1 = 0;tg x = a;2a2 – 3a + 1 = 0;a1 =1, a2 = 1;2184www.5balls.rutgx =1или tg x = 1;2x = arctg1π+ πk или x = + πk , k ∈ Z .42669.

1) 3sin2x + sin x cos x – 2cos2x = 0 | : cos2x;3tg2x + tg x = 0;22tg x = a; 3a2 + a – 2 = 0; a1 = –1, a 2 = ; tg x = –1 или tgx = ;33x=−π2+ πk или x = arctg + πk , k ∈ Z ;432) 2sin2x + 3sin x cos x – 2cos2x = 0 |:cos2x;tg x = a;2tg2x + 3tg x – 2 = 0;11a1 = –2, a 2 = ; tg x = –2 или tgx = ;222a2 + 3a – 2 = 0;x = –arctg2 + πk или x = arctg 1 + πk , k ∈ Z .2670. 1) 1 + 2sin x = sin2x + 2cos x; sin2x + cos2x–2sin x cos x=2(cos x – sin x);(cos x – sin x)(cos x – sin x – 1) = 0;(cos x – sin x)2 = 2(cos x – sin x);tg x = 1 или cos(x + π ) = 2 ;cos x – sin x = 0 или cos x – sin x – 1 = 0;4πx = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет.42) 1 + 3cos x = sin2x + 3sin x;cos2x + sin2x – 2sin x cos x = 3(sin x – cos x);(sin x – cos x)2 = 3(sin x – cos x); (sin x – cos x)(sin x – cos x – 3) = 0;sin x – cos x = 0 или sin x – cos x = 3;tg x = 1 или sin(x − π ) = 3 ;42πx = + πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет.4671.

1) sin(x + π ) + cos(x + π ) = 1 + cos 2x ;633113sin x + cos x + cos x −sin x = 2 cos 2 x ;2222cos x = 2cos2x;cos x = 0 или cos x = 1 ;cos x(1 – 2cos x) = 0;2ππx = + πk или x = ± + 2πk , k ∈ Z .23ππ2) sin(x − ) + cos(x − ) = sin 2x ;442222sin x −cos x +cos x +sin x = 2 sin x cos x ;22222 sin x = 2 sin x cos x ;sin x = 0 или cos x =sin x( 2 − 2cos x) = 0 ;x = πk или x = ± π + 2πk , k ∈ Z .2;24672. 1) cos3 x sin x − sin 3 x cos x = 1 ; sin x cos x(cos 2 x − sin 2 x) = 1 ;44185www.5balls.ruππ π11 11sin 2 x cos 2 x = ; sin 4 x = ; sin4x = 1; 4 x = + 2πk ; x = + k , k ∈ Z ;8 224 442113322) sin x cos x + cos x sin x = ;sin x cos x(sin x + cos 2 x) = ;44ππ111π+ k, k ∈ Z .x = (− 1)ksin 2 x = ; sin 2 x = ; 2 x = (− 1)k + πk ;12 26224673.

1) sin2x + sin22x = 1; 4sin2x cos2x = cos2x; cos2x(1 – 4sin2x) = 0;1cos x = 0 или sin x = ± ; x = π + πk или x = ± π + πk, k ∈ Z ;2262) sin2x + cos2x = 1; sin2x + cos2x – sin2x = 1; cos x = ±1; x = πk, k ∈ Z;3) sin4x = 6cos22x – 4; 2cos2x sin2x = 2cos2x – 4sin22x;2sin22x + sin2x cos2x – cos22x = 0 |:cos22x; 2tg22x + tg2x – 1 = 0;11tg2x = a 2a2 + a – 1 = 0;a1 = –1, a1 = ; tg2x = –1 или tg 2 x = ;221π+ πk или 2 x = arctg + πk , k ∈ Z ;24π π11 πилиx=− + kx = arctg + k , k ∈ Z ;8 222 22x = −4) 2cos23x + sin5x = 1;cos6x + sin5x = 0;π 1π 11πcos 6x + cos( − 5x) = 0 ; 2cos( + x)cos( − + x) = 0 ;4 24 22π 1π 1ππ 11или;cos( + x) = 0+ x = + πk илиcos( − + x) = 04 224 24 2ππ 11π3π 2π+k, k ∈ Z .( − + x) = + πk, k ∈ Z x = + 2πk или x =222 114 2211674.

1) sin 2 x − cos x cos 3x = 1 ;sin 2 x − (cos 2 x + cos 4 x ) − = 0 ;4241222sin x − 1 − (cos 2x + 2cos 2x − 1) − + 1 = 0 ;2332− cos 2 x − cos 2 x − 2 cos 2 x + = 0 ; 2 cos 2 x + 2 cos 2 x − = 0 ; cos2x = a;224a2 + 4a – 3 = 0; a1 = − 3 ,a 2 = 1 ; cos 2 x = − 3 или cos 2x = 1 в первом слу2222ππчае решений нет, а во втором 2x = ± + 2πk ; x = ± + πk, k ∈ Z ;362) sin3x = 3sin x; sin3x + sin x = 4sin x; 2sin2x cos x – 4sin x = 0;cos2x sin x – 4sin x = 0; 4sin x(cos2x – 1) = 0; –4sin3x = 0;sin x = 0; x = πk, k ∈ Z;3) 3cos2x – 7sin x = 4; 3 – 6sin2x – 7sin x = 4; sin x = a 6a2 + 7a + 1 = 0;11a1 = –1, a 2 = − ; sin x = –1 или sin x = − ; x = − π + 2πk или662x = (− 1)k arcsin1+ πk , k ∈ Z ;6186www.5balls.ru4) 1 + cos x + cos2x = 0;cos x(1 + 2cos x) = 0;x=1 + cos x + 2cos2x – 1 = 0;1cos x = 0 или cos x = − ;2π2π+ πk или x = ±+ 2πk , k ∈ Z ;232cos x(5sin x + 2cos2x – 8) = 0;5) 5sin2x + 4cos3x – 8cos x = 0;2–2cos x(2sin2x – 5sin x + 6) = 0;2cos x(5sin x + 2 – 2sin x – 8) = 0;2cos x = 0 или 2sin x – 5sin x + 6 = 0;sin x = acos x = 0 или 2a2 – 5a + 6 = 0;D < 0;cos x = 0, а во втором случае решений нет, т.к.

D < 0,т.е. cos x = 0;x=π+ πk , k ∈ Z .2675. 1) sin x + sin2x + sin3x = 0;sin2x(2cos x + 1) = 0;x=2sin2x cos x + sin2x = 0;1sin2x = 0 или cos x = − ;22ππ илиx=±+ 2πk , k ∈ Z ;k322) cos x – cos3x = cos2x – cos4x;2sin x(sin3x – sin2x) = 0;sin x = 0 или sin–2sin(–x)sin2x = –2sin(–x)sin3x;4 sin x sinx5x=0;cos22x5x= 0 или cos= 0 ; x = πk или 2x = 2πk (входит в22первую серию корней) или 5x = π + πk , k ∈ Z ; x = πk или x = π + 2π k , k ∈ Z .2676. 1) sin(arcsin 1 ) = 1 ;3 35252) sin  arcsin − 1   = − 1 ;4 4 3) sin(π − arcsin 3 ) = sin(arcsin 3 ) = 3 4) sin( π + arcsin 2 ) = − sin(arcsin 2 ) = − 2 .44455677. 1) tg(π + arctg ) = tg(arctg ) = 5 ;444678.

1) sin 2 x = 0 ;sin2x = 0;sin xπ ,x≠ πn, k, n ∈ Z, т.е.x=x= k22) sin 3x = 0 ;sin3x = 0;sin xπx=x = k , x ≠ πn, k, n ∈ Z, т.е.33) cos 2x = 0 ;cos2x = 0;cos xπ ππx = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е.4 22333π2) ctg( − arctg2) = tg (arctg2 ) = 2 .2sin x ≠ 0;π+ πk , k ∈ Z ;2sin x ≠ 0;πk , k ∈ Z , k ≠ 3n, n ∈ Z;3cos x ≠ 0;x=π π+ k, k ∈ Z ;4 2187www.5balls.ru4) cos 3x = 0 ;cos x ≠ 0;cos3x = 0;cos x5πππ ππ+ πk, k ∈ Z ;x = + k , x ≠ + πn , k , n ∈ Z , т.е. x = + πk или x =6 3266π5) sin x = 0 ; sin x = 0; sin5x ≠ 0; x = πk, x ≡ n , k, n ∈ Z — нет решений;5sin 5x6) cos x = 0 ; cos x = 0; cos7x ≠ 0; x = π + πk , x ≠ π + π n , k, n ∈ Z — нетcos 7 x2147решений.679.

1) cos x sin5x = –1; возможно, только если cos x = 1, sin5x = –1 илиcos x = –1, sin5x = 1, т.е.x = 2πk , k ∈ Z— решений нет, илиπ2πx = − 10 + 5 n, n ∈ Zcos x = 1;sin 5 x = −1cos x = −1sin 5 x = 1x = π + 2πk, k ∈ Z— решений нет, т.е. решений нет.π2πx = − 10 + 5 n, n ∈ Z2) sin x cos3x = –1 — возможно только приsin x = 1;cos 3x = −1sin x = −1;cos 3x = 1πx = + 2πk , k ∈ Z2— решений нет, илиx = − π + 2π n , n ∈ Z33x=x =π+ 2πk , k ∈ Z22π n , n ∈ Z3— решений нет, т.е.

решений нет.680. 1) 2cos3x = 3sin x + cos x;2(cos3x + cos x) = 3(sin x + cos x);4cos2x cos x = 3(sin x + cos x);4(sin x + cos x)(cos x – sin x)cos x = 3(sin x + cos x);(sin x + cos x)(3 – 4cos2x + 4sin x cos x) = 0;(sin x + cos x)(3sin2x + 4sin x cos x – cos2x) = 0;sin x + cos x = 0 или 3tg2x + 4tg x – 1 = 0;tg x = a;a + 1 = 0 или 3a2 + 4a – 1 = 0; a1 = –1 или a 2 = −2 − 7 или a 3 = −2 + 7 ;337 −2π2+ 7+ πk , k ∈ Z ;+ πk или x = −arctg+ πk или x = arctg3432) cos3x – cos2x = sin3x;4cos2x – 3cos x – cos2x + sin2x = 3sin x – 4sin3x;4(sin x + cos x)(1 – sin x cos x) = 3(cos x + sin x) + (cos x + sin x)(cos x – sin x);(sin x + cos x)(4 – 4sin x cos x – 3 – (cos x – sin x)) = 0;x=−(sin x + cos x ) (4 + 4(cos x – sin x = a(sin x − cos x)2 − 1) − 3 − (cos x − sin x)) = 0 ;2sin x + cos x = 0 или 2a2 – a – 1 = 0;188www.5balls.rutg x = –1 или a1 = −1или а2 = 1, т.е.2tg x = –1 или cos x − sin x = − 1 или cos x − sin x = 1 ;2π1или sin( x − π ) = 1 ;tg x = –1 или sin( x − ) =4422 2ππ1πk πkx = − + πk или x = + (− 1) arcsin+ πk , k ∈ Z .+ πk или x = − (− 1)44442 2681.

1) sin2x + cos2x = 2tg x + 1; 2sin x cos x + 1 – 2sin2x = 2tg x + 1;2 sin x (1+ sin x − cos x ) = 0 ;cos x2sin x(tg2x + 1 + tg x – 1) = 0;2 sin x (1cos 2 x+ tgx − 1) = 0 ;2sin x ⋅ tg x(tg x + 1) = 0;2 sin 2 x(tgx + 1) = 0 ; sin x = 0 или tg x = –1; x = πk или x = − π + πk, k ∈ Z ;cos x42) sin2x – cos2x = tg x;2sin x cos2x – cos x(1 – 2sin2x) = sin x;222sin x cos x + 2sin x cos x = sin x + cos x; (sin x + cos x)(sin2x – 1) = 0;sin x + cos x = 0 или sin2x = 1;tg x = –1 или sin2x = 1;πππx = − + πk или x = + πk , k ∈ Z , т.е.x = ± + πk , k ∈ Z .444682.

cos 2 x + cos 2 2x + cos 2 3x = 3 ;211cos x + cos 2x + cos 3x = (cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 2x + sin 2 2x) +222221+ (cos 2 3x + sin 2 3x) ;2111(cos 2 x − sin 2 x) + (cos 2 2x − sin 2 2x) + (cos 2 3x − sin 2 3x) = 0 ;222cos2x + cos4x + cos6x = 0cos4x(1 + 2cos2x) = 02cos4x cos2x + cos4x = 0;cos4x = 0 или cos 2 x = − 1 ;2ππ π илиx= + kx = ± + πk , k ∈ Z .8 432ππ+ 2πk , k ∈ Z4 x = + πk или 2 x = ±32683.cos x ≤ 0;− 4 cos x cos 2 x = 7 sin 2x ; sin 2x ≥ 037 sin 2x + 4 cos x = 0Решаем 2–ое уравнение системы: cos x(4sin2x – 14sin x – 4) = 0cos x = 0 или 4sin2x – 14sin x – 4 = 0; sin x = a; cos x = 0 или 2а2–7а–2=0;cos x = 0 или a1 = 7 − 65 или a 2 = 7 + 65 ;44189www.5balls.rucos x=0илиx = (− 1)n +1 arcsinsin x =7 − 654илиsin x =7 + 65;4x=π+ πn265 − 7+ πn , n ∈ Z , в третьем случае решений нет;4cos x ≤ 0,sin x ≤ 0 или cos x = 0 x = π + πn или x = ( −1)n +1 arcsin 65 −7 + πn,n ∈ Z24т.е.

x = π + πk или x = π + arcsin 65 − 7 + 2πk , k ∈ Z .24684. |cos x| – cos3x = sin2x;cos x ≥ 0;2 sin x sin 2 x = sin 2xcos x ≥ 0;sin 2x (2 sin x − 1) = 0cos x ≥ 01;sin 2x = 0 или sin x = 2cos x ≥ 0π; x = k или x = π + 2πk , k ∈ Z илиπkπ26==−+π∈xkилиx1k,kZ()26cos x < 0cos x < 0; ;−2cos2xcosx=2sinxcosx2cos x(sin x + cos 2x) = 0cos x < 0cos x < 0; ;22 sin 2 x − sin x − 1 = 02cosx(sinx+1−2sinx)=0cos x < 0cos x < 0; ;π1k +1 πsin x = − 2 или sin x = 1  x = ( −1) 6 + πk или x = 2 + 2πk, k ∈ Zт.е. x = 7 π + 2πk , k ∈ Z , обощая, x = π k или x = π + πk , k ∈ Z .662π y = + πk, k ∈ Zsin 2 y = 14; ; ;sin 2x = −1π685. 1) sin y cos y = 21sin 2x + sin 2y = 0 sin x + sin y = 12) cos x − cos y = 3tgx−y=− 3 ;2 x = − + πn, n ∈ Z4x+yx−y=1cos22−2sin x − y sin x + y = 3222sin; x−y=−;2π+ 2πk ;3x = y−2π+ 2πk , k ∈ Z ;32π1313) + sin y = 1 ; − sin y −cos y + sin y = 1 ; sin y −cos y = 1 ;222235πππ+ 2πn , n ∈ Z , а x = + 2πk + 2πn , k ∈ Z, n ∈ Z .sin(y − ) = 1 ; y =663sin(y −190www.5balls.ruили sin x 5 sin x = 5 sin x 5=686.

1)  sin y 3 ;  sin y 3cosx1 sin( x + y )==;  sin y 3;x−yx +3y= 1 2sincos=0 cos y 3  sin 2y22Решаем 2–ое уравнение: sin x − y = 0 или cos x + 3y = 0 ;22x – y = 2πk или x + 3y = π + 2πk, k ∈ Z;а) x = y + 2πk, k ∈ Z ; подставляя в 1–ое уравнение системы:sin(y) 5 — противоречие, значит, решений нет;=sin y 3б) x = –3y + 2πk + π, k ∈ Z; подставляя в 1–ое уравнение:sin( π − 3y) 5 ;=sin y35= 4 sin 2 y ;33−y = ± arcsin133 sin y − 4 sin 3 y 5 ;=sin y3sin 3y 5= ;sin y 3sin 2 y =1;31 ;31x = π ± 3 arcsin+ πn + 2πk, n, k ∈ Z ;3sin y = ±+ πn, n ∈ Z , а1π x = + πk, k ∈ Z4;;1 sin 2x = 1sin x cos x =2 ; 2) 1cos x sin y = −2cos x sin y = − 2± 2 sin y = − 12 2 x = π + πk, k ∈ Z x = 3π + 2πk, k ∈ Z x = π + 2πk, k ∈ Z444,т.е.или;n +1 π2 y = ( −1) y = ( −1)n π + πn, n ∈ Zsin y = ±+ πn,n ∈ Z442687. sin4x + cos4x = a;1− a =1sin 2 2 x ;2(sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x = a;sin22x = 2 – 2a.Уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 ;sin 2 x = ± 2 − 2a ;22 x = ± arcsin 2 − 2a + πk , k ∈ Z ; x = ±1π1arcsin 2 − 2a + k , k ∈ Z , ≤ a ≤ 1 .22255688.

Характеристики

Список файлов книги