alimov-10-gdz (546276), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

sin 2 α + cos − α  cos + α  =33 ππππ2= sin α + (cos cos α + sin sin α )(cos cos α − sin sin α ) =3333111ππ= sin 2 α + cos 2 cos 2 α − sin 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α = , ч.т.д.33444111567. 1) (5 + 3cos 4α ) = (6 cos 2 2α + 2) = (6(cos 2 α − sin 2 α ) 2 + 2) =8881122222= (6(sin α + cos α) − 24sin α cos α + 2) = (8 − 24sin 2 α cos 2 α ) =88= 1 − 3sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 2 α + cos 2 α ) − 3sin 2 α cos 2 α == sin 4 α + cos 4 α − sin 2 α cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α )(sin 4 α + cos 4 α ) −− sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) = sin 6 α + cos 6 α + sin 2 α cos 4 α ++ sin 4 α cos 2 α − sin 2 α cos 4 α = sin 6 α + cos 6 α , ч.т.д.2) sin 8 α + cos8 α = (sin 4 α + cos 4 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α == ((sin 2 α + cos 2 α ) 2 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 − 2sin 4 α cos 4 α = (1 − 2sin 2 α cos 2 α ) 2 −1−2sin 4 α cos 4 α = 1 − 4sin 2 α cos 2 α + 2sin 4 α cos 4α = 1 − sin 2 α + sin 4 2α =8111 12(1 − cos 4α ) = 1 − + cos 4α += 1 − (1 − cos 4α ) +2322 21111cos 2 4α =cos 2 4α + 14 cos 4α + 17 , ч.т.д.+− cos 4α +32 163232(156www.5balls.ru)Глава VI.

Тригонометрические уравнения568. 1) arccos 0 =3) arccosπ;22 π= ;242) arccos1 = 0;4) arccos1 π= ;2 3π 5π3 35) arccos −;= π − arccos= π− = 2 266 22  = π − π = 3π .6) arccos −= π − arccos 2  2 44π569. 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1 = 2 ⋅ + 3 ⋅ 0 = π ;2π2) 3 arccos(− 1) − 2 arccos 0 = 3 ⋅ π − 2 ⋅ = 2π ;23) 12 arccos3π2π 1− arccos −  = 12 ⋅ − 3 ⋅=0;263 22 2 3π2π4) 4 arccos −− 6 arccos −= 4⋅−6⋅= 3π − 4π = −π . 2  2 433 π π311= < = arccos , т.е.

arccos< arccos ;26 3222332) arccos −  < π = arccos(− 1) , т.е. arccos −  < arccos(− 1) ; 4 4570. 1) arccos 2  3π 2π 2= , т.е. arccos − 2  > arccos − 1  .3) arccos −>= arccos − 2  2  4 2 3 2571. 1) cos x =2) cos x = −2;23;2x = ± arccos2+ 2πk ;23 x = ± π − arccos+ 2πk ;2x=±π+ 2πk , k ∈ Z ;4x=±5π+ 2πk , k ∈ Z ;61 3π + 2πk ;x = ± π − arccosx=±+ 2πk , k ∈ Z .4233572. 1) cos x = ;x = ± arccos + 2πk, k ∈ Z ;442) cosx = – 0,3;x = ±(π – arccos0,3) + 2πk, k ∈ Z3) cos x = −3) cos x = −12;3;23  ;x = ± π − arccos2x=±5π+ 2πk , k ∈ Z .6157www.5balls.ruπk, k ∈ Z .22) cos2x = – 1; 2x = ±(π – arccos1) + 2πk; 2x = ±π + 2πk;πx = ± + πk, k ∈ Z .2x1xx3π3) 2 cos = −1 ; = ± (− arccos) + 2πk ; = ±+ 2πk ;44442x = ±3π + 8πk, k ∈ Z.573.

1) cos4x = 1; 4x = ±arccos1 + 2πk; 4x = 2πk; x =4) 2 cosx3xxπ+ 2πk ; = ± + 2πk ;= 3 ; = ± arccos32336π+ 6πk , k ∈ Z .2πππ5) cos x +  = 0 ; x + = ± arccos 0 + 2πk ; x = − + 2πk , k ∈ Z .333x=±πππ6) cos 2x −  = 0 ; 2 x − = ± arccos 0 + 2πk ; 2 x = + 2πk ;444πx = + πk , k ∈ Z .8574. 1) cosxcos3x = sin3xsinx;cosxcos3x – sin3xsinx = 0;ππ πcos4x = 0;4 x = + πk ;x = + k, k ∈ Z .28 4π2) cos2xcosx + sin2xsinx = 0;x = + πk , k ∈ Z .2()575. 1) arccos 6 − 3 — имеет, т.к.6 −3 <1;( )7 −2 <1;3) arccos(2 − 10 ) — не имеет, т.к.

2 − 10 > 1 ;4) arccos(1 − 5 ) — не имеет, т.к. 1 − 5 > 1 ;2) arccos 7 − 2 — имеет, т.к.11 3ππ5) tg(3arccos ) — имеет, т.к. 3 arccos == π+ .2 322cos22x – sin22x = 1;576. 1) cos22x = 1 + sin22x;πcos4x = 1;4x = 2πk;x = k, k ∈ Z .22) 4cos2x = 3;cos x = ±3;2158www.5balls.ruπ5ππ+ 2πk и x = ±+ 2πk , k ∈ Z , т.е. x = ± + πk , k ∈ Z .6661cos2 x − sin 2 x = ;3) 2cos2x = 1 + 2sin2x;21ππ2 x = ± + 2πk ;x = ± + πk , k ∈ Z .cos 2 x = ;236x=±()2 2 cos 2 x − 1 = 1 ;4) 2 2 cos 2 x = 1 + 2 ;1ππcos 2 x =;2 x = ± + 2πk ;x = ± + πk , k ∈ Z ;4825) (1 + cosx)(3 – 2cosx) = 0;3cos = – 1 и cos x = ; x = π + 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет.246) (1 – cosx)(4 + 3cos2x) = 0;cosx = 1 и cos x = − ;3х = 2πk, k ∈ Z; во втором случае решений нет.117) (1 + 2cosx)(1 – 3cosx) = 0;cos x = − и cos x = ;232π1x=±+ 2πk и x = ± arccos + 2πk , k ∈ Z .33128) (1 – 2cosx)(2 + 3cosx) = 0cos x = и cos x = − ;232πx = ± + 2πk и x = ±( π − arccos ) + 2πk, k ∈ Z .33π12π577.

cos 2 x = − ;2x = ±+ 2πk ; x = ± + πk , k ∈ Z ;233 π 5π среди них отрезку − ;  принадлежат: 2 2x1 = −2π4π5π7πππ., x2 = , x3 =,x4 =, x5 =, x6 =333333ππ π+ 2πk ; x = ± + k , k ∈ Z ,416 2ππ.x1 = − , x 2 =161617ππ579. 1) arccos(2x − 3) = ;2x − 3 = ;x= ;2 x − 3 = cos ;3324x +1x + 1 2π2π5 1;2) arccos;x=− .= cos=x +1 = 3⋅−  ;3333222;2πсреди них с x < ;4578.

cos 4 x =4x = ±580. arccos a = α, такое, что cosα = a, и 0 ≤ α ≤ π, по определнию.159www.5balls.ruТогда cos(arccos a) = cosα = a, ч.т.д.2) cos(arccos(− 2 )) = − 2 ;1) cos(arccos0,2) = 0,2;33) cos(π + arccos 3 ) = − cos(arccos 3 ) = − 3 ;444π11 14) sin( + arccos ) = cos(arccos ) = ;233 35) sin(arccos 4 ) = 1 − cos 2 (arccos 4 ) = 1 − 16 = 3 , т.к.5525 54arccos ∈ [0; π] и sinα ≥ 0 для всех α ∈ [0; π];56) tg (arccos 3 ) =10arccos1cos 2 (arccos3)10−1 =101− 1 = , т.к.93 π> 0 и tgα > 0, для всех α ∈ 0;  .10 23160www.5balls.ru3581.

arccos(cosα) = β, 0 ≤ β ≤ π, что cos β = cosα, так что α = β иarccos(cosα) = α, ч.т.д.ππ2) 3arccos(cos2) = 6;1) 5arccos(cos ) = ;1028πππ6π3) arccos(cos ) = arccos(− cos ) = π − arccos(cos ) =;77774) arccos(cos4) = arccos( – cos(4 – π)) = π – arccos(cos(4 – π)) = 2π – 4.12 212 2582. 1) sin(arccos + arccos) = sin(arccos ) ⋅ cos(arccos)+333312 21 2 2 18 8 1+ cos(arccos ) ⋅ sin(arccos) = 1− ⋅+ ⋅ 1− = + = 1 .339 339 9 943432) cos(arccos − arccos ) = cos(arccos ) ⋅ cos(arccos ) +5555434 31694 3 3 4 24.+ sin(arccos ) ⋅ sin(arccos ) = ⋅ + 1 −= ⋅ + ⋅ =1−555 52525 5 5 5 5 25583. 1) cos(2arccosa) = 2cos2(arccosa) – 1 = 2a2 – 1;3π2) cos( + arcsin a) = sin (arcsin a ) = a .2584.

2 arccos 1 + a = arccos a ;22arccos1+ a1 + cos(arccos a)1= 2arccos= 2arccos(cos( arccos a)) =2221= 2 ⋅ arccos a = arccos a , ч.т.д.2585. 1) cosx = 0,35;x = ±arccos0,35 + 2πk, k ∈ Z,с помощью микрокалькулятора находим arccos0,35;2) cosx = – 0,27;x = ±(π – arccos0,27) + 2πk, k ∈ Z,с помощью микрокалькулятора находим arccos0,27.586. 1) arcsin0 = 0;2) arcsin 1 = π ;3) arcsin 3 = π ;4) arcsin 1 = π ;5) arcsin − 2  = − π ; 2 46) arcsin − 3  = − π . 2 322263587. 1) arcsin1 – arcsin(– 1) = 2arcsin1 = π42) arcsin 1 + arcsin − 1  = 0 ;223) arcsin 1 + arcsin 3 = π + π = π ;24) arcsin − 3  + arcsin − 1  = − π − π = − π .2 3 2588.

1) arcsin 1 и arcsin  − 1  ;4 462160www.5balls.ru2632arcsin11 1> 0 > − arcsin = arcsin  −  , т.е.44 4arcsin1 1> arcsin  −  ;4 42) arcsin  − 3  и arcsin( – 1); 4π 3arcsin  −  > − = arcsin(−1) , т.е.2 4589. 1) sin x = 3 ; 3arcsin −  > arcsin (− 1) . 4x = (− 1)k arcsin23+ πk ;22+ πk ;2x = (− 1)kπ+ πk , k ∈ Z ;3π+ πk , k ∈ Z ;42) sin x = 2 ;x = (− 1)k arcsin3) sin x = − 1 ; 1 π + πk ;x = (− 1)k +1 + πk , k ∈ Z .x = (− 1)k arcsin −422x = (− 1)k arcsin + πk , k ∈ Z ;71x = (− 1)k +1 arcsin + πk , k ∈ Z ;422590. 1) sin x = 2 ;72) sin x = − 1 ;43) sin x = 5 ;3x =591. 1) sin3x = 1;2) sin2x = – 1; 2 x = −2 sin4) 2 sin5+ πk , k ∈ Z .3x = (− 1)k arcsin33)x = (− 1)kπ+ 2πk ;2π+ 2πk ;2x=−x=π 2πk, k ∈ Z ;+6 3π+ πk , k ∈ Z ;4xx13πk +1= −1 ; = ( −1) arcsin+ 3πk , k ∈ Z ;+ πk; x = (− 1)k +13432x= 3;25) sin( x + 3π ) = 0 ;46) sin(2 x + π ) = 0 ;2x32π= (− 1)k arcsin+ πk ; x = (− 1)k+ πk , k ∈ Z ;3223π= 0 + πk ;4π2 x + = πk ;2x+3π+ πk , k ∈ Z ;4π πx = − + k, k ∈ Z .4 2x=−592.

1) sin4xcos2x = cos4xsin2x;sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0;sin2x = 0;2x = πk;x=πk, k ∈ Z .22) cos2xsin3x = sin2xcos3x;cos2xsin3x – sin2xcos3x = 0;sinx = 0;x = πk, k ∈ Z.593. 1) arcsin( 5 − 2) — имеет, т.к. 5 − 2 ≤ 1 ;2) arcsin( 5 − 3) — имеет, т.к.3) arcsin(3 –5 −3 ≤1;17 ) arcsin(3 − 17) — не имеет, т.к. 3 –17 < – 1;161www.5balls.ru10 ) — не имеет, т.к. 2 – 10 < – 1;11π5) tg(6arcsin ) — имеет, т.к. tg(6arcsin ) = tg(6 ⋅ ) = tgπ = 0 ;2264) arcsin(2 –6) tg(2srcsin2) — не имеет, т.к. tg(2arcsin 2 ) = tg(2 ⋅ π ) = tg π — не су2242ществует.594. 1) 1 – 4sinxcosx = 0;2 x = (− 1)kπ+ πk ;61 – 2sin2x = 0;x = (− 1)k3 + 4 sin x cos x = 0 ;2)sin 2 x =1;2π π+ k, k ∈ Z ;12 23 + 2 sin 2 x = 0 ;3ππ π2 x = (− 1)k +1 + πk ;x = (− 1)k +1 + k , k ∈ Z ;36 22xxx1x1 + 6 sin cos = 0 ; 1 + 3 sin = 0 ;sin = − ;2324411x = (− 1)k +1 arcsin + 2πk , k ∈ Z ;= (− 1)k +1 arcsin + πk ;33xx2x1 − 8 sin cos = 0 ; 1 − 4 sin= 0;333sin 2 x = −3)x24)sin2x1= (− 1)k arcsin + πk ;34x = (− 1)k31 3arcsin + πk , k ∈ Z .24 2595.

1) 1 + cos5xsin4x = cos4xsin5x;cos4xsin5x – cos5xsin4x = 1;sinx = 1; x = π + 2πk , k ∈ Z ;22) 1 – sinxcos2x = cos2xsinx;π+ 2πk ; x = π + 2π k , k ∈ Z .26 331596. 1) (4sinx – 3)(2sinx + 1) = 0; sin x = или sin x = − ;423kk +1 πx = (− 1) arcsin + πk или x = (− 1)+ πk , k ∈ Z ;46132) (4sin3x – 1)(2sinx + 3) = 0;sin 3x = или sin x = − ;42sinxcos2x – sin2xcosx = 1; sin3x = 1; 3x =3x = (− 1)k arcsin1+ πk , k ∈ Z , а во втором случае решений нет, значит,411 πarcsin + k , k ∈ Z .34 31π597.

sin 2 x = ;2 x = (− 1)k + πk ;26x = (− 1)k162www.5balls.rux = (− 1)kπ π+ k, k ∈ Z ;12 2из них промежутку [0; 2π] принадлежат: x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 13π , x 4 = 17π .12xk π 2 = ( −1) 3 + πk, k ∈ Z x3598. sin 2 = 2;  x − 4π < π;log π ( x − 4π ) < 1 x − 4π > 0Решением системы является x =121212 x = ( −1)k 2π + 2πk, k ∈ Z3. x < 5π x > 4π14π.3599. Пусть arcsina — α, тогда α ∈ − π ; π  и sinα = a. Следовательно, 2 2sin(arcsina) = sinα = a, ч.т.д.111 1 1) sin(arcsin ) = ;2) sin  arcsin −   = − ;775 5 3333) sin(π + arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ;4443π1114) cos( − arcsin ) = − sin(arcsin ) = − ;23334416 35) cos(arcsin ) = 1 − sin 2 (arcsin ) = 1 −= ;5525 516) tg(arcsin)(sin arcsin11110)=== .13310)cos(arcsin10 ⋅1010600.

Характеристики

Список файлов книги