alimov-10-gdz (546276), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1) 3π-(-1,0);2) − 7 π − (0,1) ;3) − 15π − (0,1) ;4) 5π − (−1,0 ) ;5) 540 − (− 1,0 ) ;6) 810o − (− 1,0) .2421. 1) − 3π + 2πk − (0,1) ;22o2) 5π + 2πk − (0,1) ;2123www.5balls.ru3) 7 π + 2πk − (0,−1) ;4) − 9π + 2πk − (0,−1) .222) π ± π − (−422. 1) π ± π − (0,−1) ;24(0,1), k = ... − 4,−2,0,2,4...3π3) − + πk −; 4) − π + πk −(0,−1), k = ... − 3,−1,1,3...222,−);22(−1,0), k = ... − 4,−2,0,2,4...(1,0), k = ... − 3,−1,1,3....423. 1) (1;0) : +2πk , k ∈ Ζ ;π3) (0;1) : − + 2πk , k ∈ Ζ ;2424.
1) 1-I-четв.; 2) 2,75-II-четв.;2) (−1;0) : −π + 2πk, k ∈ Ζ ;π4). (0; -1): − + 2πk, k ∈ Z .23) 3,16-III-четв.;4) 4,95-IV-четв.425. 1) a=9,8π, x=1,8π , k=4;2) a = 7 1 π , x = 1 1 π , k=3 ;331754) a = π , x = π , k=2.333) a = 11 π , x = 3 π , k=2;22426.1) π ± 2π − M1 ;2) − π ± 2π − M 2 ;2π3)± 6π − M 3 ;35) 4,5π-M5;3π± 8π − M 4 ;46) 5,5π-M6;7) –6π-M7;8) –7π-M8.344) −427.
1) − 3π + 2πk ,−(0;1) ;2) 5π + 2πk ,−(0;1) ;3) 7 π + 2πk ,−(0;−1) ;4) − 9π + 2πk ,−(0;−1) .2222428. 1) 2 ;− 2 : − π + 2πk , k ∈ Z ;2) − 2 ;− 2 : − 3π + 2πk , k ∈ Z ;3) − 1 ;− 3 : − 2π + 2πk , k ∈ Z ;4) − 3 ;− 1 : − 5π + 2πk , k ∈ Z . 22 4 22 3429. 1) sin α = 1 − M1 ;2) sin α = 0 − M 2иM′2 ;3) cos α = −1 − M3 ;4) cos α = 0 − M 4иM′4 ;5) sin α = −0,6 − M5иM′5 ;6) sin α = 0,5 − M6иM′6 ;7) cos α = 1 ,− M 7иM′7 .3124www.5balls.ru222 2 46π3ππ π+ sin= 1 + (−1) = 0 ; 2) sin − + cos = (−1) + 0 = −1 ;22224) sin 0 − cos 2 π = 0 − 1 = −1 ;3) sin π − cos π = 0 − (−1) = 1 ;5) sin π + sin 1,5 π = 0 − 1 = − 1 ;6) sin 0 + cos 2 π = 0 + 1 = 1 .431.
1) β=3π, sinβ=0, cosβ=-1;2) β=4π, sinβ=0, cosβ=1;430. 1) sin4) β = 5π , sinβ=1, cosβ=0;3) β=3,5π, sinβ=-1, cosβ=0;25) β=πk, k ∈ Z , sinβ=0, cos β = (− 1)k ;6) β=(2k+1)π, k ∈ Z , sinβ=0, cosβ=-1.3π432. 1) sin 3π − cos= 0−0 = 0;22) cos 0 − cos 3π + cos 3,5π = 1 − ( −1) + 0 = 2 ;3) sin πk + cos 2πk = (k ∈ Z) = 0 + 1 = 1 ;( 2k + 1) π − sin ( 4k + 1) π = 0 − 1 = −1 .4) cos22433. 1) tgπ + cos π = 0 − 1 = −1 ;3) tgπ + sin π = 0 + 0 = 0 ;434. 1) 3 sin2) tg 0o − tg180o = 0 − 0 = 0 ;4) cos π − tg 2π = −1 − 0 = −1 .πππ133+ 2 cos − tg = 3 ⋅ + 2 ⋅− 3= ;6632222ππππ22) 5sin + 3tg − 5cos − 10ctg = 5 ⋅+ 3 − 5⋅− 10 = −7 ;224444111πππ3) (2tg − tg ) : cos = (2 ⋅;− 3) : =636233πππ13 3⋅ cos − tg =⋅−1 = .3642 22435.
1) 2sinx = 0; x = πk,k ∈Ζ ;4) sin1πcos x = 0; x = + πk, k ∈ Ζ ;223) cos x − 1 = 0; cos x = 1; x = 2 πk, k ∈ Ζ ;2)π+ 2πk, k ∈ Ζ .2436. 1) 0,049 может т.к. 0,049 ≤ 1 ; 2)-0,875-может т.к. 0,875 ≤ 1 ;4) 1 − sin x = 0; sin x = 1; x =3) − 2 не может, т.к. − 2 > 1 ;4) 2 + 2 - не может, т.к. 2 + 2 > 1 .22π437. 1) 2sin α + 2 cos α = (α = ) = 2 ⋅+ 2= 2 +1 ;4221 1352) 0,5cos α − 3 sin α = (α = 60o ) = ⋅ − 3 ⋅=− ;2 224125www.5balls.ruπ1 23) sin 3α − cos 2α = (α = ) = 1 − = ;63 34) cos2 1ααπ+ sin = (α = ) =+ =23222π4π4π32 +1.22 23 31π=⋅−⋅=− ;62 22 24221111ππππ2) 2 tg 2 ctg 2 − sin cos = 2 ⋅ 3 − 3 + ⋅ = ;36632 2 4ππππ1123) (tg − ctg )(ctg + tg ) = (1 − )(1 +)= ;4346333438.
1) sin cos − sin cos( ) ( )22πππ π 3 31 1 3 1 134) 2cos2 − sin2 + tg ctg = 2 − + ⋅ = + = .636 3 2 2 3 3 4 3 12π439. 1) sin x = −1 : x = − + 2πk , k ∈ Ζ ;22) cos x = −1 : x = π + 2πk, k ∈ Ζ ;π3) sin 3x = 0;3x = πk , x = k , k ∈ Ζ ;3xx π4) cos = 0; = + πk , x = π + 2πk , k ∈ Ζ ;22 2xxπ5) sin( + 6π) = 1: + 6π = + 2πk, x = −11π + 4πk, k ∈ Ζ ;2224π 2π6) cos(5x + 4π ) = 1 : 5x + 4π = 2πk , x = −k, k ∈ Ζ .+55440. Используя микрокалькулятор, проверить равенство.441.
1) sin 1,5 ≈ 1 ;4) cos 45o12′ ≈ 0,7 ;7) tg12o ≈ 0,21 ;442. 1) α = π ; I четв.;2) cos 4,81 ≈ 0,1 ;π5) sin ≈ 0,59 ;519 π8) sin≈ 0,34 .93) sin 38o ≈ 0,62 ;10 π6) cos≈ −0,22 ;72) α = 3π ; II четв.;3) α = − 3π ; III четв.;4) α = 7 π ; III четв.;645) α = − 7π ; II четв.;67) α=-1,31; IV четв.;8) α=-2,7; III четв.6443. 1) π − α ; I четв.;2) α − π ; III четв.;25) α − π ; IV четв.;4) π + α ; II четв.;225π444. 1) α =; sin α<0, т.к. α∈III четв.;4126www.5balls.ru46) α=4,8; IV четв.;3) 3π − α ; III четв.;26) π − α ; II четв.2) α = − 33π ; sin α<0, т.к.
α∈III четв.;743) α = π ; sin α<0, т.к. α∈III четв.;34) α=5,1: sin α<0, т.к. α∈IV четв.;5) α=-0,1π; sin α<0, т.к. α∈IV четв.;6) α = −470 o ; sin α<0, т.к. α∈III четв.445. 1) α = 2π ; cos α < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 7 π ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.362π3) α = − ; cos α > 0, т.к.α ∈ IV четв.; 4) α = 4,6; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.55) α = −5,3; cos α > 0, т.к.α ∈ I четв.;6) α = −150o ; cos α < 0, т.к.α ∈ III четв.446. 1) α = 5π ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.; 2) α = 12π ; tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.;65π3) α = − ; tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.;45) α = −1,3; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.;447.
1) π < α <54) α = 3, 7; tgα > 0, т.к.α ∈ III четв.;6) α = 283o ; tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.3π;sin α < 0,cos α < 0, tgα > 0 ;23π7π<α<;cos α > 0,sin α < 0, tgα < 0 ;247π3)< α < 2π;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0 ;44) 2π < α < 2,5π;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0 .448. 1) α = 1;sin α > 0,cos α > 0, tgα > 0, т.к.α ∈ I четв.;2) α = 3;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.;3) α = −3, 4;sin α > 0,cos α < 0, tgα < 0, т.к.α ∈ II четв.;4) α = −1,3;sin α < 0,cos α > 0, tgα < 0, т.к.α ∈ IV четв.ππ2) cos( + α) < 0 ;3) cos (α − π > 0 ) ;449. 1) sin( − α) > 0 ;223ππ5) tg( − α ) > 0 ;4) tg(α − ) < 0 ;6) sin (π − α ) > 0 .222)450.
1) 3π < α <10 π;sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0, т.к.α ∈ III четв.;85π11π<α<;sin α > 0, cos α < 0, tgα < 0, ctgα < 0, т.к.α ∈ II четв.24451. Знаки синуса и косинуса совпадают, если α ∈ I или III четверти, то3ππи π≤α≤.есть если 0 ≤ α ≤222)127www.5balls.ruЗнаки синуса и косинуса различны, если α ∈ II или IV четверти, то естьесли π ≤ α ≤ π и 3π ≤ α ≤ 2π .22π452.
1) sin sin 3π > 0 , т.к. 2π , и 3π ∈II четв. и sin 2π > 0 и sin 3π > 0 .3343442π2ππππ2) cos cos < 0 , т.к. ∈I четв. и cos > 0 , а∈II четв. и cos 2π < 0 .336636π5π5πππ5π3) tg + sin > 0 , т.к. ∈ I четв. и sin > 0 , а∈ III четв. и tg > 0 .4444442453. а) sin 0,7 и sin 4; sin 0,7>0, т.к. 0,7∈I четв., а sin 4<0, т.к. 4∈III четв.,значит, sin 0,7 > sin 4.б) cos 1,3 и cos 2,3; cos 1,3 >0, т.к. 1,3∈I четв., а cos 2,3 <0, т.к. 2,3∈IIчетв., значит, cos 1,3 > cos 2,3.454. 1) sin (5π+x)=1; 5π+x= π +2πk, k∈Z, x= − 9π +2πk, k∈Z.225ππ+πk, k∈Z.2) cos (x+3π)=0; x+3π= +πk, x= −223) cos ( 5π +x)=-1; 5π + x=π+2πk, x= − 3π +2πk, k∈Z.222π9π9π+x)=-1;+ x= − +2πk, x=-5π+2πk, k∈Z.4) sin (222455. 1) sinα + cosα=-1,4; т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα<0 и cosα<0,значит, α∈III четв.;2) sinα – cosα=1,4; т.к.
sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то sinα>0 и cosα<0, значит, α∈II четв.456. Т.к. sin α ≤ 1 и cos α ≤ 1 , то синус (косинус) может приниматьзначения 0,03; 2 ; 11 , и не может принимать значения 5 ;− 13 ; 2 .33 1311232 3 5и cos α =; не могут, т.к. sin2 α + cos2 α = + = ≠ 1 ,457. 1) sin α =339 9 9чтопротиворечитосновномутригонометрическомутождествуsin2 α + cos2 α = 1 ;4316 92) sin α = − и cos α = − ; могут, т.к. sin 2 α + cos 2 α =+=1;525 255323; не могут, т.к.и cos α =553 23 26sin 2 α + cos 2 α =+=≠ 1;25 25 254) sin α = 0,2и cos α = 0,8 ; не могут, т.к.3) sin α = −128www.5balls.rusin 2 α + cos 2 α =1 16 17+=≠ 1.25 25 253 π9 4= ;458.
1) sin α, tgα, ctgα , если cos α = − и < α < π;sin α = 1 −5 225 5sin α413tgα == − , ctgα ==− ;cos α3tgα423π42=−2) cos α, tgα, ctgα , если sin α = − иπ < α < ;cos α = − 1 −;52255tgα =sin α2121.=, ctgα ==cos ααtg2215 3π2512sin α12= − , tg ==− ,и < α < 2π;sin α = − 1 −13 216913cos α515ctgα ==− ;tgα12459. 1) cos α =163sin α4π32) sin α = 0,8и < α < π;cos α = − 1 −= − , tgα == − , ctgα = − ;2255cos α343) tgα =153π118иπ < α < ;cos α = ±,cos α = −=− ,222582171 + tg α1+64153sin α = tgα ⋅ cos α = − , ctgα = − ;1744) ctgα = −3и3π111,sin α = −< α < 2π;sin α = ±=−2219+101 + ctg αcos α = sin α ⋅ ctgα =310, tgα =11=− ;ctgα316 3sin α 3π145) cos α = 0,8и0 < α < ;sin α = 1 += , tg == , ctgα == ;225 5cos α 4tgα 35 3π2512sin α5и < α < 2π;cos α = 1 −= − , tgα ==− ,13 216913cos α12112ctgα ==− ;tgα56) sin α = −7) tgα = −2, 4и15π< α < π;cos α = −=−1442131+251215sin α = tgα ⋅ cos α = , ctgα ==− ;13tgα12129www.5balls.ru8) ctgα =73π1124и π<α<; sin α = −; sinα = ±=− ;49224251 + ctg2α1+576137; tgα==3 .cos α = sin α ⋅ ctgα = −25ctgα7460.
1) cos α, если sin α =2) sin α, еслиcos α = −3) sin α , если cos α =4) cos α, если sin α = −1512132 3;: cos α = ± 1 −=±2555: sin α = ± 1 −12;=±55245;: sin α = ± 1 − = ±39313: cos α = ± 1 −12.=±33sin α11=; cos α =и tgα =tgα524— верно, значит, может.461.
1) sin α =2) ctgα =24; sin 2 α + cos2 α = 1573cosα9;и cosα = ; sinα ==ctgα 4 754cos2 α + sin2 α =462. sin α =9 81 144+=≠ 1 — значит, не может.16 112 1122 10409sin α 2 10π; cosα = 1 −.= , т.к. 0 < α ≤ , tgα ==11121 112cos α91+2ctgα + tgα115463. 1)= (ctgα == )= 2=− .1ctgα − tgαtgα 23−22sin α cos αsin α − cos α cos α − cos α tgα − 1 2 − 1 12)==== .sin α + cos α sin α + cos α tgα + 1 2 + 1 3cos α cos αsin αcos α2+32 sin α + 3 cos αcos α = 2 tgα + 3 = 7 = 7 .= cos α3)3 sin α − 5 cos α 3 sin α − 5 cos α 3tgα − 5 1cos αcos αsin 2 αcos 2 α2+2 22cos αcos α = tg α + 2 = 6 = 2 .4)=sin 2 α cos 2 αsin 2 α − cos 2 αtg 2α − 1 3−cos 2 α cos 2 αsin 2 α + 2cos 2 α130www.5balls.ru111 13(cos α + sin α )2 − (cos2 α + sin 2 α) = − = − ;228 281 9 10 52) sin3 α + cos3 α = (sin α + cos α )3 − 3sin α cos α(cos2 α + sin 2 α) = + = = .8 8 8 4464.
1) sin α cos α =465. 1) (1 – cos α)(1 + cos α) = 1 − cos2 α = sin2 α , что и требовалось док-ть.2) (1 – sin α)(1 + sin α) = 1 − sin 2 α = cos 2 α , что и требовалось док-ть.3)4)5)sin 2 α1 − sin 2 αcos 2 α1 − cos 2 α12sin 2 α=cos 2 α=cos 2 αsin 2 α+ sin 2 α =1 + tg αтребовалось доказать.1= tg 2α , что и требовалось док-ть.= ctg 2α , что и требовалось док-ть.cos 2 α2sin α + cos 2 α22+ sin 2 α = cos α + sin α = 1 ,чтоиsin 2 α22+ cos 2 α = sin α + cos α = 1 ,1 + ctg 2 αsin 2 α + cos 2 αчто и требовалось доказать.466.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
