alimov-10-gdz (546276), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

1) sin α = , < α < π;cos α = − 1 −5 22553  424= 2⋅ ⋅−  = − ;5  52543π163= − ;sin 2α = 2sin α cos α =2) cos α = − , π < α < ;sin α = − 1 −52255 3   4  24 .= 2⋅−  ⋅−  = 5   5  2541617504. 1) cos α = ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2cos 2 α − 1 = 2 ⋅ − 1 =52525352) sin α = − ;cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 1 − 2sin 2 α = 1 − 2 ⋅97=25 25505. Если tgα = 1 : tg2α = 2tgα = 1 = 4 .2121 − tg α1−43506. 1) 2cos 40o ⋅ cos50o = 2cos 40o cos(90o − 40o ) = 2cos 40o sin 40o = sin80o ;140www.5balls.ru2) 2sin 25o ⋅ sin 65o = 2sin 25o sin(90o − 25o ) = 2sin 25o cos 25o = sin 50o ;3) sin 2α + (sin α − cos α )2 = sin 2α + sin 2 α + cos 2 α − 2sin α cos α == sin 2 α + 1 − sin 2 α = 1 ;4) cos 4α + sin 2 2α = cos 2 2α − sin 2 2α + sin 2 2α = cos 2 2α .507.

1)sin 2α2(sin α + cos α) − 1=sin 2α22sin α + cos α + 2sin α cos α − 1=sin 2α=1;sin 2α21 + cos 2α 1 + cos α − sin 2 α 2cos 2 α=== ctg 2α .1 − cos 2α 1 − cos2 α + sin 2 α 2sin 2 α508. 1) sin2α = 2sinαcosα = sin2α + 2sinαcosα + cos2α – 1 = (sinα ++cosα)2 – 1, что и треб.

док-ть.2) (sinα – cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1 – sinα, что и треб. док-ть.3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)(cos2α + sin2α) = cos2α, что и треб. док-ть.4) 2cos2α–cos2α =2cos2α–cos2α + sin2α=cos2α + sin2α=1, что и треб. док-ть.1132509. 1) sin α + cos α = ; sin 2α = (sin α + cos α ) − 1 = − 1 = − ;24411822) sin α − cos α = − ; sin 2α = − (sin α − cos α ) + 1 = − + 1 = .399cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin αcos 2α(510. 1)===sin α (cos α + sin α )sin αsin α cos α + sin 2 α2)= ctgα − 1 , что и треб.

док-ть.2cos αsin 2α − 2cos α 2cos α (sin α − 1)2)= −2ctgα , ч.т.д.== −sin αsin α (1 − sin α )sin α − sin 2 α3) tgα (1 + cos 2α ) = tgα(1 + cos2 α − sin 2 α) = 2cos 2 α ⋅sin α= 2sin α cos α =cos α= sin 2α , ч.т.д.4)⋅2sin2 α + sin2α2sin α(cos α + sin α)1 − cos 2α + sin 2α⋅ ctgα =⋅⋅ ctgα =2cos α(cos α + sin α)1 + cos 2α + sin 2α2cos2 α + sin2αcos α= 1 , ч.т.д.sin α(1 − 2cos 2 α)(2sin 2 α − 1)(− cos 2α)(− cos 2α)cos2 2α= ctg 2 2α , ч. т. д.4sin 2 α cos2 αsin 2 2αsin 2 2απ απ6) 1 − 2sin 2  −  = cos  − α  = sin α , что и т. д.4 22sin α + sin 2αsin α (1 + 2 cos α ) sin α (1 + 2cos α )7)=== tgα , ч.т.д.1 + cos α + cos 2α 2cos 2 α + cos αcos α (1 + 2cos α )5)==141www.5balls.ruπ2 2 sin(α − )sin 2 αcos 2 α4 ;511.−=cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα)sin 2αsin 2 αcos 2 αsin 3 αcos3 α−=−=cos α(1 + ctgα) sin α(1 + tgα) cos α(sin α + cos α) sin α(cos α + sin α )=sin 4 α − cos 4 αsin α − cos α=;sin α(cos α + sin α)cos αsin α cos απ22−2 2 ⋅ (sin α ⋅cos α) sin α − cos α4 =22левая и правая=2 2 sin(α − )sin 2α2sin α cos αsin α cos αчасти совпадают, значит, тождество верно.512.

1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx(sinx – 1) = 0; cos x = 0 или sin x = 1;ππx = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (входит в 1-ю серию корней)22πОтвет: x = + πk , k∈Z.22) cos2x+sin2x=1; cos2x– sin2x+sin2x=1; cos2x=1; cos x=1 или cosx=–1:x=π + 2πk, k∈Z или x = 2πk, k∈Z, обобщая x = 2πk, k∈Z.Ответ: x = 2πk, k∈Z.3) 4cos x = sin2x; 2cos x(2 – sin x) = 0; cos x = 0 или sin x = 2;ππx = + πk , k∈Z, а во втором случае решения нет. Ответ: x = + πk , k∈Z.22π4) sin2x = – cos2x; sin2x = sin2x – cos2x; cos x = 0; x = + πk , k∈Z.2πОтвет: x = + πk , k∈Z.2πxx 15) sin cos + = 0 ; sin x + 1 = 0; sin x = – 1; x = − + 2πk , k∈Z.22 22πОтвет: x = − + 2πk , k∈Z.2πxxxx6) cos 2 = sin 2 ; cos 2 − sin 2 = 0 ; cos x = 0; x = + πk , k∈Z.22222πОтвет: x = + πk , k∈Z.2513.

1) sin 2 15o =1 − cos 30o;2ππ 1 + cos( 2 − 2α)3) cos 2  − α  =;2412) cos 21 1 + cos 2;=42ππ 1 + cos( 2 + 2α)4) sin 2  + α  =;24142www.5balls.ru514. 1) 2 cos 22) 1 + 2sin 23)πππ2− 1 = 1 + cos − 1 = cos =;8442πππ3;= 1 −  1 − cos  = cos =12662()3333+ 2 sin 2 15o =+ 1 − cos 30o =+1−= 1;22223333+ 2 cos 2 15o = −+ 1 + cos 30o = −+1+=1.22224) −331−1+1 − cos αα2 + cos αα5 = 15 = 2 ;=515. 1) sin =; 2) cos ==2222225531−α1 − cos α5 =1;3) tg ==3 221 + cos α1+5516. 1) sin2) cos31+α1 + cos α5 =2.4) ctg ==321 − cos α1−51+ 1−1 − cos α1 + 1 − sin 2 αα===2222925=3;10α1 + cos α1 − 1 − sin 2 α1;===2221043) tg1+α1 − cos α1 + 1 − sin 2 α5 =3;===421 + cos α1−1 − 1 − sin 2 α544) ctg1−1 + cos α1 − 1 − sin 2 αα5 =1.===4 3221 − cos α1+1 + 1 − sin α531−1 − cos 30o2 =517.

1) sin15 ==22o2) cos15o =1 + cos 30o==213;+242o1−2 = 2− 2 =3) tg22o30′ = 1− cos45 =o1+ cos454) ctg 22 o30′ =2+ 221+21 + cos 45o1 − cos 45o=13;−2 42 +1=2 −12 −1=2 +1(()22 −1 = 3 − 2 2 ;2 +1)2=3+ 2 2 ;143www.5balls.ru518. 1) 1 − cos α =2sin 2α2=α2 = tg α 1 ;α22cos2sinαα22ααα2sin cossin22 =2 = tg α ;2) sin α =α2α1 + cos α22coscos22sin α2sin cos22sin α (sin α + cos α )3) 1 − cos 2α + sin 2α = 2sin α + 2sin α cos α == tgα ;21 + cos 2α + sin 2α4) 1 + cos 4α =sin 4α2cos α (sin α + cos α )2cos α + 2sin α cos α2cos 2 2αcos 2α== ctg2α ;2cos 2α sin 2α sin 2α1 + cos2α + sin 2α 2 sin α cosα + 2 cos2 α 2 cosα(sin α + cosα)=== 2 cosα ;sin α + cosαsin α + cosαsin α + cosαcos α6) (1 – cos2)ctgα = 2sin2α⋅= 2 sin α cos α = sin 2α .sin α5)519. 1) 2 cos 2  π − α  = 1 + cos  π − α  = 1 + sin α , ч.т.д.4 22απ2) 2sin  −  = 1 − cos  − α  = 1 − sin α , ч.т.д.4 222π23)3 − 4cos2α + cos4α 2cos2 2α − 4cos2α + 2  cos 2α − 1 4== = tg α , ч.т.д.3 + 4cos2α + cos4α 2cos2 2α + 4cos2α + 2  cos 2α + 1 4)1 − sin2α + cos2α 2 cos2 α − 2 cosα sinα 2 cosα(sinα + cosα)= ctgα , ч.т.д.==1 + sin2α − cos2α 2 sin2 α + 2sinα cosα 2sinα(sinα + cosα)1 − cos 2α2sin 2 α ⋅ cos α⋅ ctgα == 1 ,ч.т.д.sin 2α2sin α cos α sin αsin 2α2sin α cos α sin α2)=== tgα ,ч.т.д.1 + cos 2αcos α2cos 2 α520.

1)3)=1 − 2sin 2 α (cos α − sin α)(cos α + sin α)==1 + sin 2α cos 2 α + 2cos α sin α + sin 2 α(cos α − sin α )(cos α + sin α )(cos α + sin α ) 224)=cos αsin αcos αcos αcos α − sin α cos α − cos α 1 − tgα, ч.т.д.===cos α + sin α cos α + sin α 1 + tgα21 + sin 2α sin α + 2sin α cos α + cos α(sin α + cos α) 2===22cos 2α(cos α − sin α)(cos α + sin α)cos α − sin αsin α + cos α 1 + tgαtg45o + tgαπ=== tg 45o + α = tg  + α  , ч.т.д.cos α − sin α 1 − tgα 1 − tg45o ⋅ tgα4(144www.5balls.ru)521. Т.к.

0 < α <sinααπα π, то 0 < <и, следовательно sin > 0,cos > 0,2222 4αα< cos , значит, sin α + cosα − sin α − cosα = sin α + cosα − sin α + cosα = 2sin α .22222222222522.tg2αtg2α − cos4α cos2αsin2α⋅ cos4α⋅ cos2α=== cos4α .tg4α − tg2α sin4α cos2α − sin2α cos4αsin2α cos2αxxxxx523. 1) 1 − cos x = 2sin ; 2sin 2 − 2sin = 0; 2sin  sin − 1  = 0;22222 xxxx πsin = 0 или sin = 1; = πk , x = 2πk, k∈Z или= + 2πk2222 2x = π + 4πk, k∈Z.Ответ: x = 2πk, x = π + 4πk, k∈Z.xxxxx2) 1 + cos x = 2 cos ; 2 cos 2 − 2 cos = 0;2 cos  cos − 1 = 0;22222 xxx πcos = 0 или cos = 1; = + πk , x = π + 2πk, k∈Z или22 22x= 2πk x = 4πk, k∈Z.Ответ: x = π + 2πk, x = 4πk, k∈Z.2x x 3π  x 3π 2x3) 1 + cos = 2sin  −− 2sin  −  = 0; ; 2cos24244 2  x 3π  x 3π  x 3π    x 3π  2sin 2  −  − 2sin  −  = 0;2sin  −   sin  −  − 1 = 0;4 2 4 2  4 2   4 2  ππππ+α+ −α+α− +αππ33=sin  + α  + sin  − α  = 2sin 3cos 33322x 3π x 3π или sin  −  = 1; −= πk , x = 6π + 4πk, k∈Z4 24 2 или x − 3π = π + 2πk , x = 8π + 8πk, k∈Z.422Ответ: x = 6π + 4πk, x = 8π + 8πk, k∈Z.4) 1 + cos8x = 2cos4x; 2cos24x – 2cos4x = 0; 2cos4x(cos4x – 1) = 0;ππ πcos4x = 0 или cos4x = 1, 4 x = + πk , x = + k , k∈Z или28 4ππ ππОтвет: x = + k , x = k , k∈Z .4x = 2πk, x = k , k∈Z.28 42x15) 2 sin 2 + sin 2x = 1 ; sin x cos x – cos x = 0; cos x(sin x – 1) = 0; cos x = 02 2ππили sin x = 1, x = + πk , k∈Z или x = + 2πk , k∈Z (вход.

в 1 – ю с.к.)22145www.5balls.ruОтвет: x = π + πk , k∈Z .26) 2 cos x − 1 sin 4x = 1 ; cos2x – cos2x sin2x = 0; cos2x(1 – sin2x) = 0;22cos2x = 0 или sin2x = 1; 2 x =2x =π ππ+ πk , x = + k , k∈Z или24 2ππ+ 2πk , x = + πk , k∈Z (входит в первую серию корней)24Ответ: x = π + π k , k∈Z .42524. 1) cos 75o = cos(90o − α); α = 15o ; 2) sin150o = sin(90o + α); α = 60o ;3) sin150o = sin(180o − α); α = 30o ; 4) cos310o = cos(270o + α ); α = 40o ;5πππ3π6) tg = tg( − α); α =;5) sin π = sin(π + α); α = ;4452107) cos 7 π = cos( 3 π + α ); α = π ;4248) ctg 4 π = ctg(2π − α); α = π .66525. 1) cos150o = cos(180o − 30o ) = − cos 30o = −2) sin 135o = sin(90o + 45o ) = cos 45o =3;23;23) ctg135o = ctg(90o + 45o ) = − tg 45o = −1 ;4) cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −1;22;25) cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° = –6) sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° = –7) ctg240° = ctg(180° + 60°) = ctg60° =131;2;2.27πππ15πππ526.

1) tg= sin  π +  = − sin = − ;= tg π +  = tg = 1 ; 2) sin66624448) sin315° = sin(270° + 45°) = – sin45° = –3) cos5ππ15πππ 1 π;= cos 2π −  = cos = ; 4) ctg = ctg 2π  = −ctg = −33333 23 3ππ1 13π 5) sin  − = sin  − 2π −  = − sin = − ;662 6 146www.5balls.ruππ 1 7π 6) cos − = cos − 2π −  = cos = ;33 2 3 ππ 2π 7) tg − = tg − π +  = tg = 3 ;33 3 ππ 7π 8) ctg − = ctg − 2π +  = ctg = 1 .44 4 ctg527. 1)2)π23π−α2cos( π + α )π23πtg( − α )2sin ( π − α ) + cos( + α ) + ctg ( π − α )sin528. 1)2)( − α ) − tg (π + α ) + sin (sin2(3π+α2) ⋅ tg (π+α2( π + α ) + sincos(( + α)3π+ α)22− cos α=sin α − sin α − ctgα= −1 .ctgα) = − cos α ⋅ −ctgα = ctgα ;ctg(2π − α ) sin(π + α )2 π) = tgα − tgα − cos α = 1 ;− ctgα − sin α221 3π sin α + cos α.⋅ ctg − α =⋅ tgα =sin αcos α 2529.

1) cos 750o = cos(720o + 30o ) = cos 30o =2) sin 1140o = sin(1080o + 60o ) = sin 60o =3;23;23) tg 405o = tg (360o + 45o ) = tg 45o = 1 ;4) cos 840o = cos(720o + 120o ) = cos120o = cos(90o + 30o ) = − sin 30o = −1;247ππ1π = sin(8π − ) = − sin = − ;666225ππ27ππ6) tg π = tg (6π + ) = tg = 1 ; 7) ctg π = ctg (7 π − ) = −ctg = −1 ;4444445) sin8) cos21ππ2.π = cos(5π + ) = − cos = −4442() ()530.

1) cos 630o − sin 1470o − ctg1125o = cos 720o − 90o − sin 1440o + 30o −13− ctg 1080o + 45o = cos 90o − sin 30o − ctg 45o = 0 − − 1 = − ;22()147www.5balls.ru()()2) tg1800o − sin 495o + cos 945o = 0 − sin 540o − 45o + cos 900o + 45o =oo= 0 − sin 45 − cos 45 = − 2 ;()()()3) 3 cos 3660o + sin − 1560o + cos − 450o = 3 cos 3600o + 60o +() ()3333= − sin (90 + 30 )+ 0 = − cos 30 = −;22224) cos 4455 − cos(− 945 )+ tg1035 − ctg (− 1500 ) = cos(4500 − 45 )−− cos(− 900 − 45 )+ tg (1080 − 45 )− ctg (− 1440 − 60 ) =oo+ sin − 1440 − 120 + cos − 360 − 90 = 3 cos 60 − sin 120 + cos 90o =oooooooooo= − cos 45o + cos 45o − tg 45o − ctg 60o = −1 −531. 1) cosoooooo13ooo.23π15πππ 11π − sin− ctg − = cos 6π −  − sin 4π −  −4444 2 ππππ− ctg − 6π +  = cos + sin − ctg = 2 ;24422) sinππ25π10π 17π − cos −= sin 8π +  − cos − 8π −  − − tg323322π ππ2π33;− tg 4π −=− 3=− = sin − cos + tg3 323223) sin (− 7 π ) − 2 cosππ31π7π− tg= 0 − 2 cos10π +  − tg 2π −  =3434ππ+ tg = −1 + 1 = 0 ;34π 49π  21π 4) cos(− 9) + 2 sin  − − ctg − = −1 + 2 sin  − 8π −  −6 6  4 = −2 cosπππ− ctg − 5π −  = −1 − 2 sin + ctg = −1 − 1 + 1 = −1 .464ππ532.

Характеристики

Список файлов книги