alimov-10-gdz (546276), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Из периодичности получили: х∈ (arctg− 2 ; 2 2π4+πn, +πn), n∈Z.22) tg x < 5.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . 2 2ππРешение х∈ (– ; arctg 5]. Общее решение: х∈ (– +πn, arctg 5+πn], n∈Z.223) tg x < –4.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . 2 2πРешение х∈ (– ; arctg (–4)).2πОбщее решение: х∈ (– +πn, –arctg 4+πn], n∈Z.24) tg x ≥ –5.Рассмотрим это неравенство на промежутке − π ; π  . 2 2Решение х∈ [–arctg 5;ππ). Общее решение: х∈ [ –arctg 5+πn; +πn), n∈Z.22741. 1) tg x≥3.Построив графики у=tg x и у=3, найдем решения tg x=3 на этом промежутке: х=arctg 3, arctg 3+π, arctg 3+2π.График у=tg x лежит выше у=3 на промежутках211www.5balls.ruarctg 3≤x<π5π, arctg 3+π≤x< 3π , arctg 3+2π≤x<.2222) tg x<4.Построив графики у=tg x и у=4, найдем решения tg x=4 на этом промежутке: х=arctg 4, arctg 4+π, arctg 4+2π..График у=tg x лежит ниже у=4 на промежуткахππ<x<arctg 4+π ,<x<arctg 4+2π,0≤x< arctg 4,225π<x≤3π.23) tg x≤ –4.Решим уравнение tg x = –4 с учетом, что х∈[0; 3π]:х= –arctg 4+π, –arctg 4+2π, –arctg 4+3π.График у=tg x лежит ниже у= –4 на промежуткахπ<x≤–arctg 4+π , 3π <x≤–arctg 4+2π,225π<x≤–arctg 4+3π.24) tg x> –3.Решим уравнение tg x = –3 с учетом, что х∈[0; 3π]:х= –arctg 3+πn, n=1,2,3.График у=tg x лежит выше у= –3 на промежуткахπ5π,0≤x< , –arctg 3+π <x< 3π , –arctg 3+2π<x<222arctg 3+3π<x≤3π.742.

1) tg 2х= 3 .Построим графики у=tg 2x и у= 3 . Пересечениесостоит из трех точек, значит, три решения. Одноπочевидно — х= . Учитывая периодичность, которая в6πданном случае равна T= , получили х= – π , π , 2π .3 6 322) tg 3х= –1.Построим графики у=tg 3x и у= –1. Пересечение —пять точек. Одно решение очевидно: х= – π . Учитывая12период π , получаем:3х= – 5π , π , π , 7π , 11π .12 12 4 12 12212www.5balls.ru743. 1) tg 2x ≤1.Решение уравнения tg 2x =1 будет: х= – 3π , π , 5π . График у=tg 2x ле8 8 8жит ниже у=1 на промежутках  − π ;− 3π ,  − π ; π ,  π ; 5π ,  3π ; π  . 28   4 8  48  42) tg 3x <– 3 .Решением уравнения tg 3x = –3 будет: х= − 4π , − π , 2π , 5π , 8π .99График у=tg 3x лежит ниже у= – 3 на промежуткахπ4πππ π2ππ5π− <x<− ,− <x<− , <x< ,<x< ,2969 6929π744.

1) у=tg (х+ ).41. Область определения — вседействительные числа, исключаяπточки +πn, n∈Z;42. множество значений — (–∞; +∞);π3. функция у= tg (х+ ) периодична T=π;49995π8π .<x<694. функция у= tg (х+ π ) не обладает четностью–нечетностью;4π5. функция у= tg (х+ ) принимает:4πзначение 0 при х= – +πn, n∈Z;4ππ+πn, +πn), n∈Z;44π3πотрицательные значения на промежутках ( +πn,+πn), n∈Z;44πвозрастает на (– 3π +πn, +πn), n∈Z.44положительные значения на промежутках (–2) у=tg х .21. Область определения — все действительные числа, исключая точки π+2πn, n∈Z2.

множество значений — (–∞; +∞)3. функция у= tg х периодична T=2π2x4. функция у= tg нечетна2213www.5balls.ru5. функция у= tg x принимает:2значение 0 при х=2πn, n∈Z;положительные значения при х∈(2πn, π+2πn), n∈Z;отрицательные значения при х∈(–π+2πn, 2πn), n∈Z;возрастает на (–π+2πn, π+2πn) , n∈Z.745. 1) [–1; 3 ];3) (–∞; 0)∪(0; +∞);746. 1)2) (–1; +∞);4) (–∞; –1)∪(1; +∞).2)3)4)y = tg ⋅ ctqxy = ctqxy=747. 1)1ctq2)YY748. 1)2)y = sin ⋅ ctqxy = tg(3x– π )4y = ctg(3(x + π ))6749. 1) tg 2х <1.Построим график функции tg 2х=у и у=1на промежутке − π ; π  . Видим, две точки 2 2214www.5balls.ruпересечения с абсциссамиππи – .

График у= tg 2х лежит ниже у=1 на44промежутке  − π ; π  . Значит, в общем случае решение неравенства — 4 4промежутки (− π + πn; π + πn) , n∈Z.442) tg2 x ≥3.На том же графике построим у=3. Опятьна промежутке − π ; π  видим, две точки 2 2ππпересечения с абсциссами – ии график33у= tg2 x лежит выше у=3 на промежутках  − π ; − π  и  π ; π  . Общее ре 2 33 2 шение  − π + πn; − π + πn  и  π + πn; π + π , n∈Z.32 233) ctg x≥–1.Построим графики у=ctg x и у= –1.

Рассмотримпромежуток [0,π]. Имеем на нем одно пересечениех= 3π и график у= ctg x лежит выше у= –1 на4промежутке (0; 3π ]. Общее решение (πn; 3π +πn],44n∈Z.4) ctg x > 3На том же графике построим у= 3 . На промежуткеπ[0;π] имеем одно пересечение х=и график функции6πу= ctg x лежит выше у= 3 на промежутке (0; ) и6πобщее решение: (πn, +πn), n∈Z.6750. 1) 1 < 2 ,31 2< ;3 51056< .15 15Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin 1 <arcsin32) − 2 > − 3 ;34−210.89>− .1212Функция у=arcsin х возрастающая, значит, arcsin −2>arcsin − 3 .34215www.5balls.ru751. 1) 1 > 1 .35Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos 1 <arccos 1 .53411252) − < − , т.к.

− < − .531512Т.к. функция у=arccos х убывающая, то arccos  − 4  >arccos  − 1  . 3 5752. 1) 2 3 <3 2 , т.к. 12<18.Т.к. функция у=arctg х возрастающая, то arctg 2 3 <arctg 3 2 .2) − 1 < − 1 .25Т.к. функция у=arctg х возрастает, то arctg  − 1  <arctg  − 1  .52π π  π ππ 1753.

1) arcsin (2–3х)= ; ∈  − ;  , следовательно, 2–3х=sin; = ;6 6  2 26 2112–3х= х= .22ππ  π ππ22) arcsin (3–2х)= ;;∈ − ; , следовательно, 3–2х=sin =244  2 2 42; х= 6 − 2 .24ππx−23) arcsin= – ; – ∈  − π ; π  , следовательно, по определению444  2 23–2х=x−2=sin42; π−  = −2 4x−22; х= 2 − 2 2 .=−42π  π π4) arcsin x + 3 = − π ; – ∈  − ;  , следовательно, по определению233  2 23;x+3 π= sin  −  = −22 3754. 1) arccos (2х+3)=2х+3=cosπ 1= ;3 22) arccos (3х+1)=3х+1 =cosπ=0;2π;2x +33; х= − 3 − 3 .=−22π π; ∈[0;π], следовательно, по определению3 3152х+3= ; х= − .24π∈[0;π], следовательно, по определению23х+1=0; х= − 1 .3216www.5balls.ru3) arccos x + 1 = 2π ;33x +12π1= cos=− ;3322x − 1=π;4) arccos3π  π π1− x π∈ − ; , следовательно, по определению= ;433  2 2 π1− x= tg = 3 ;432) arctg 1 + 2x = π ;34π1 + 2x= tg = 1;343) arctg (2х+1)= –2х+1=tg −π∈[0;π], следовательно, по определению2x − 1= –1; х= –1.32x − 1=cos π= –1;3755.

1) arctg2π∈[0;π], следовательно, по определению35x+31= − ; х= − .2221− x= 3 ; х= 1− 4 3 .4π  π π∈  − ;  , следовательно, по определению4  2 21 + 2x= 1; х=1.3π; – π ∈  − π ; π  , следовательно, по определению33  2 2π=– 3 ;32х+1= – 3 х= − 3 − 1 .2ππ  π π4) arctg (2–3х)= – ; – ∈  − ;  , следовательно, по определению44  2 22–3х= –1; х=1.2–3х=tg  − π  = –1; 4756. 1) –1≤ x − 3 ≤ 1, следовательно, 1≤х≤5.22) –1≤2–3х≤1, следовательно, 1≥x≥3) –1≤х2 x –3≤1;24) –1≤ 2x − 5 ≤ 1;31.31≤ x ≤2;21≤х ≤41≤х≤4. 1≤ x ≤ 2 −2 ≤ x ≤ −1 .757. Проведем параллельный перенос графика у=arccos х нау так, чтобы совпала точка (0,f(x)=arccos х–πвниз по оси2π) с точкой (0,0).

Теперь он имеет вид2π2217www.5balls.ruРассмотрим f(–x), учитывая, что arccos х + arccos (–х)=π,получим f(–x) =ππ ππ=arccos (–х)– =π–arccos х – = –arccos х= –(arccos х– )= –f(x). Следова22 22πтельно, это функция нечетна и симметрична относительно точки (0, ).2758. 1) у=sin x +cos x. Область определения — множество действительныхчисел.2) у=sin x + tg x.

Область определения — множество действительныхπчисел, исключая точки +πn, n∈Z.23) у = sin x . Область определения — х∈[2πn; π+2πn], n∈Z.ππ4) y = cos x . Область определения — х∈[– +2πn, +2πn], n∈Z.225) y =2x; 2sin x ≠1. Область определения — множество действи2sin x − 1тельных чисел, исключая точки6) y=cos x2sin 2 x − sin xπ5π+2πn, и+2πn, n∈Z.66sin x (2sin x –1) ≠0;; sin x ≠ 0.2sin x ≠ 0Область определения — множество действительных чисел, исключаяπ5π+2πn, πn, n∈Z.точки +2πn, и66759. 1) у=1–2sin2 x;sin x ∈[–1;1]; sin2 x∈[0;1]; 2sin2 x∈[0;2]; 1–2sin2 x∈[–1;1];2) y=2cos2 x –1; cos2 x∈[0;1]; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x –1∈[–1;1];3) у=3– 2sin2 x; 2sin2 x∈[0;2]; 3– 2sin2 x∈[1;3];4) y=2cos2 x +5; 2cos2 x∈[0;2]; 2cos2 x +5∈[5;7];5) y=cos 3x sin x –sin 3x cos x +4; у=sin (х–3х)+4=4–sin 2x;sin 2x∈[–1;1]; 4–sin 2x ∈[3; 5];6) y=cos 2x cos x + sin 2x sin x –3; у=cos (2х–x)–3=cos x –3;cos x ∈[–1;1]; cos x –3∈[–4;–2].760.

1) y=x2+ cos x;у(–х)=(–х)2+cos(–х)=х2+cos x = у(х) — четная;2) у=х3–sin x4у(–х)=(–х)3–sin (–х) = –х3+sin x = –( х3–sin x)= –у(х) — функция нечетная;3) у=(1–х2)cos x;у(–х)=(1–(–х2))cos (–х)= (1–х2)cos x=у(х) — четная;4) у=(1+sin x)sin x;у(–х)=(1+sin (–х))⋅sin (–х)=(1–sin x )⋅(–sin x );Не является четной и нечетной.761.

1) у=cos 7x.Период функции у=cos 7x T=2π; cos (7х+2π)=cos 7x = cos 7(x+Т1);7х+2π=7х+7Т1;2π=7 Т1;Т1= 2π .7218www.5balls.ru2) у=sin x .7Период функции у=sin t T=2π;sin ( x +2π)= sin x =sin x + Т1 ;772π= Т1 ; T1=14π.x+2π= x + Т1 ;77 777762. 1) 2cos x + 3 =0; cos x = – 3 .у2Построим графики у=cos x и у= – 3 . Рассмотрим2их пересечения на промежутке[0;3π].

Точек пересечения три. Два решения5π7π.и66х= 5π , 7 π , 17 π .666очевидны:3 –sin x =sin x;2)Учитываяпериодичность,получаемответ:у2sin x = 3 ; sin x = 3 .2Рассмотрим пересечение графиков у=sin x и у= 3 на промежутке [0; 3π].2Имеем четыре пересечения. Два очевидны и два — из периодичности:х= π ; 2π ; 7π ; 8π .3333tg x = 3 .3) 3tg x = 3 ;3Рассмотрим пересечение графиков у= tg x и у = 3 на3промежутке [0; 3π]. Имеем три пересечения. Одноочевидно, остальные — из периодичности: х= π ; 4π ; 7 π .34) cos x +1=0;у33cos x = –1.Рассмотримпересечениеграфиков у=cos x и у=–1 на промежутке [0; 3π]. Имеем два пересечения.

Одно очевидно, остальные — из периодичности:х=π, 3π.763. 1) 1+2cos x ≥0;cos x ≥– 1 .2Найдем решение уравнения cos x = – 1 на промежутке [–2π; –π]: х= – 4π .34π1].На этом промежутке график у=cos x лежит выше у= – при х∈[–2π; –322) 1–2sin x <0;sin x > 1 .22219www.5balls.ruНайдем решение уравнения x= 1 на промежутке [–2π; –π]. х= − 11π ; − 7 π .261ππ117График функции у= sin x выше у= на промежутке х∈  −; −.26  663) 2+tg x >0;tg x >–2.Рассмотрим решение уравнения tg x = –2 на промежутке [–2π; –π]:х= –arctg 2–π.

Характеристики

Список файлов книги