alimov-10-gdz (546276), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

sin10x + cos10x = a; (1 − cos 2x) + (1 + cos 2x) = a ;323232a = 2 + 20cos22x + 10cos42x;5cos42x + 10cos22x + (1 – 16a) = 0.Обозначим cos22x = b.Исходное уравнение имеет корни, если 0 ≤ b ≤ 1;5b4 + 10b + (1 – 16a) = 0;D = 100 – 20(1 – 16a);b=− 10 + D; b1 = −1 − D , b 2 = −1 + D ;1010100 ≤ b1 ≤ 1 или 0 ≤ b2 ≤ 110 ≤ D ≤ 20 ;100 ≤ 100 – 20 + 320a ≤ 400;191www.5balls.ru20 ≤ 320a ≤ 320;1≤ a ≤1.16Т.е.

исходное уравнение имеет корни при 1 ≤ a ≤ 1 .162689. sin 2x − 2a 2(sin x + cos x) + 1 − 6a = 0 ;ππcos(2x − ) − 2a 2 ⋅ 2 cos(x − ) + 1 − 6a 2 = 0 ;24πππ2cos(x − ) = b ;2cos (x − ) − 4a cos(x − ) − 6a 2 = 0 ;4442a ± 4ab2 – 2ab – 3a2 = 0;D = 4a2 + 12a2 = 16a2;b1 = –a, a b2 = 3a;ππcos(x − ) = −a или cos x −  = 3a .44b1, 2 =2;Уравнение имеет решения только при –1 ≤ –а ≤ 1 или –1 ≤ 3а ≤ 1.В общем, уравнение имеет решение при –1 ≤ а ≤ 1.π= ± arccos(− a ) + 2πk или4πx − = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z .411При − 1 ≤ a < и < a ≤ 1 x − π = ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z , т.е.343π11при − ≤ a ≤x = ± arccos(− a ) + 2πk или433πx = ± arccos(3a ) + 2πk , k ∈ Z , а411при − 1 ≤ a < − и < a ≤ 1 ; x = π ± arccos(− a ) + 2πn , n ∈ Z .343При − 1 ≤ a ≤ 13x−32 – 2sin2x + sin x – 1 < 0;690.

1) 2cos2x + sin x – 1 < 0;sin x = a2a2 – a – 1 > 0;2sin2x – sin x – 1 > 0;11или а > 1;sin x < − или sin x > 1;225ππ−+ 2πk < x < − + 2πk , k ∈ Z , а второе неравенство решений не имеет.66a<−2 – 2cos2x – 5cos x + 1 > 0;2) 2sin2x – 5cos x + 1 > 0;22a2 + 5a – 3 < 0;2cos x + 5cos x – 3 < 0; cos x = a−3 < a <1;2− 3 < cos x <1;2π5π+ 2πk < x <+ 2πk , k ∈ Z .33192www.5balls.ruГлава VII. Тригонометрические функции691. 1) y = sin2x, x ∈ R;2) y = cos x , x ∈ R;3) y = cos 1 , x ≠ 0;4) y = sin 2 , x ≠ 0;5) y = sin x , x ≥ 0;6) y = cos x − 1 , x − 1 ≥ 0 x < –1 и х ≥ 1.2xxx +1x +1692.

1) y = 1 + sin x;–1 ≤ sin x ≤ 1; 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2;2) y = 1 – cos x;–1 ≤ cos x ≤ 1; 0 ≤ 1 – cos x ≤ 2, т.е. 0 ≤ у ≤ 2;3) y = 2sin x + 3;–2 ≤ 2sin x ≤ 2;1 ≤ 2sin x ≤ 5, т.е.1 ≤ у ≤ 5;4) y = 1 – 4cos2x; –4 ≤ 4cos2x ≤ 4; –3 ≤ 1 – 4cos2x ≤ 5, т.е. –3 ≤ у ≤ 5;5) y = sin2xcos2x + 2;1sin 4x + 2 ;23 15≤ sin 4 x + 2 ≤ , т.е.2 221y = sin 2 x − 1 ;45 13− ≤ sin 2 x − 1 ≤ − , т.е.4 44πcos x ≠ 0; x ≠ + πk , k ∈ Z ;2y=1 11≤ sin 4 x ≤ ;2 2216) y = sin x cos x − 1 ;21 11− ≤ sin 2 x ≤ ;4 441693.

1) y =;cos xsin x ≠ 0;2) y = 2 ;sin xx3) y = tg x ;cos = ≠ 0 ;33−cos5x ≠ 0;4) y = tg5x;694. 1) y = sin x + 1 ;53≤y≤ ;22−53≤y≤− .44x ≠ πk, k ∈ Z;x π≠ + πk ;3 25x ≠π+ πk ;2sin x + 1 ≥ 0;x≠x≠3π+ 3πk , k ∈ Z ;2π π+ k, k ∈ Z .10 5sin x ≥ –1, x ∈ R;2) y = cos x − 1 ; cos x – 1 ≥ 0;cos x ≥ 1x = 2πk, k ∈ Z;3) y = lg sin x;sin x > 0;2πk < x < π + 2πk, k ∈ Z;4) y = 2 cos x − 1 ;2cos x – 1 ≥ 0cos x ≥1;2−1 – 2sin x ≥ 0;5) y = 1 − 2 sin x ;7ππ+ 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ;66ππcos x > 0;− + 2πk < x < + 2πk , k ∈ Z .221sin x ≤ ;2−6) y = ln cos x695. 1) y =ππ+ 2πk ≤ x ≤ + 2πk , k ∈ Z ;3312 sin 2 x − sin x;sin x(2sin x – 1) ≠ 0;193www.5balls.rusin x ≠ 0 и sin x ≠ 1 ;2x ≠ πk и x ≠ (− 1)k π + πk , k ∈ Z ;62;;2) y =y=cos 2 xcos 2 x − sin 2 xπ ππcos2x ≠ 0;2 x ≠ + πk ;x ≠ + k, k ∈ Z ;24 211;;3) y =y=2 sin x cos 2 xsin x − sin 3xsin x ≠ 0 и cos2x ≠ 0;x ≠ πk и x ≠ π + π k , k ∈ Z ;4 211; y=; cos x ≠ 0;4) y =cos3 x + cos xcos x(1 + cos 2 x)2x≠π+ πk , k ∈ Z .2696.

1) y = 2sin2x – cos2x; y = 2sin2x – (1 – 2sin2x) = 4sin2x–1, т.е. –1≤у≤3;2) y = 1 – 8cos2x sin2x; y = 1 – 2sin22x, т.е. –1 ≤ у ≤ 1;23) y = 1 + 8 cos x ;y=44) y = 10 – 9sin23x;5) y = 1 – 2|cos x|;6) y = sin x + sin(x + π ) ;191+ 2 cos 2 x , т.е. ≤ y ≤ ;4441 ≤ y ≤ 10;–1 ≤ y ≤ 1;3π π ;y = 2sin(x + ) cos  − 6 6πy = 3 sin(x + ) , т.е.

− 3 ≤ y ≤ 3 .634697. y = 3cos 2x − 4sin 2x = 5( cos 2x − sin 2x) = 5sin (ϕ − 2x ) , где ϕ = arcsin 3 ,555т.е. унаим = –5, а унаиб = 5.698. y = 26( 1 sin x − 5 cos x) = 26 sin ( x − ϕ ) , где ϕ = arcsin 5 ,262626т.е. − 26 ≤ y ≤ 26 .699. y = 10cos2x – 6sin x cos x + 2sin2x;y = 4cos2x – 3sin2x + 6;y = 4(2cos2x – 1) – 3sin2x + 6;y = 5sin(ϕ – 2x) + 6, где ϕ = arcsin 4 т.е. 1 ≤ у ≤ 11.5700. 1) y = cos3x;y(–x) = cos(–3x) = cos3x = y(x) — четная;2) y = 2sin4x;y(–x) = 2sin(–4x) = –2sin4x = –y(x) — нечетная;3) y = x tg 2 x ;24) y = x cos x ;2x 2xtg (− x ) = − tg 2 x = − y(x ) — нечетная;22x xy(− x ) = − x cos −  = − x cos = − y(x ) — нечетная;2 2y(− x ) = −5) y = x sin x;y(–x) = –x sin(–x) = x sin x = y(x) — четная;y(–x) = 2sin2(–x) = 2sin2x = y(x) — четная.6) y = 2sin2x;701. 1) y = sin x + x;y(–x)=–sin x–x =–(sin x + x) = –y(x) — нечетная;194www.5balls.ru2) y = cos(x − π ) − x 2 ;2y = sin x – x2;y(–x) = –sin x – x2 — не является четной или нечетной;3) y = 3 − cos( π + x)sin ( π − x ) ; y = 3 + sin2x; y(–x) = 3 + sin2x = y(x) — четная;214) y = cos 2x sin( 3 π − 2x) + 3 ;2211;y = − cos 3x + 3y(− x ) = − cos 2 2 x + 3 = y(x ) — четная;22sin xsin x5) y =+ sin x cos x ; y(− x ) =− sin x cos x — не является четнойxxили нечетной;6) y = x 2 + 1 + cos x ;2y(− x ) = x 2 +1 + cos x= y(x ) — четная.2702.

1) y = cos x – 1;y(x + 2π) = cos(x + 2π) – 1 = cos x – 1 = y(x);2) y = sin x + 1;y(x + 2π) = sin(x + 2π) + 1 = sin x + 1 = y(x);3) y = 3sin x;y(x + 2π) = 3sin(x + 2π) = 3sin x = y(x);cos(x + 2π) cos x== y (x ) ;22ππ5) y = sin(x − π ) ;y ( x + 2π ) = sin(x − + 2π) = sin(x − ) = y ( x ) ;4446) y = cos(x + 2π ) ; y ( x + 2π ) = sin(x + 2π + 2π) = cos(x + 2π ) = y ( x ) .3334) y = cos x ;y ( x + 2π ) =2703. 1) y = sin2x, T = π; y(x + T) = sin(2(x+π))=sin(2x+2π)=sin2x=y(x);2) y = cos x , T = 4π;23) y = tg2x, T = π ;2x + 4πxx= cos( + 2π) = cos = y ( x ) ;222πy ( x + T ) = tg(2(x + )) = tg ( 2x + π ) = tg2x = y ( x ) ;2y ( x + T ) = cos4x5454x4x4) y = sin, T = π ; y ( x + T ) = sin( (x + π)) = sin( + 2π) = sin= y (x ) .525255704.

1) y = 1 − cos x ;1 + cos x1 − cos x= y(x ) — четная;1 + cos xy(− x ) =sin 2 x= y(x ) — четная;1 + cos 2x23) y = cos 2 x − x ;y(− x ) =cos 2 x − x 2= − y(x ) — нечетная;− sin x34) y = x + sin 2 x ;cos xy(− x ) =− x 3 − sin 2 x= − y(x ) — нечетная;cos x2) y =sin 2 x;1 + cos 2xy(− x ) =cos x5) y = 3cosx;6) y = x|sin x|sin3x;y(–x) = 3cosx = y(x) — четная;y(–x) = –x|sin x| ⋅ (–sin3x) = y(x) — четная.705. 1) y = cos 2 x .

Т.к. наименьший период функции cos t равен 2π, и5195www.5balls.ruy(x + T) = y(x), то cos( 2 (x + T)) = cos( 2 x + 2π) , т.е. Т = 5π.52) y = sin 3 x .25Т.к. наименьший период функции sin t равен 2π, иy(x + T) = y(x), то sin( 3 (x + T)) = sin( 3 x + 2π),T = 4π .23) y = tg x .223Т.к. наименьший период функции tg t равен π, иy(x + T) = y(x), то tg x + T = tg( x + π) , т.е. Т = 2π.224) y = |sin x|.Т.к. у(х + π) = |sin(x + π)| = |–sin x| = |sin x| = y(x), тоТ = π — наименьший период функции y = |sin x|.706. 1) y = sin x + cos x.Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, и наименьший положительный период функции cos x равен 2π, значит, значенияфункции будут повторены через 2π единиц.2) y = sin x + tg x.Наименьший положительный период функции sin x равен 2π, а наименьший положительный период функции tg x равен π, то значения функции будут повторены через 2π единиц.707.

1) f(x) + f(–x) — четная функция.Пусть F1(x) = f(x) + f(–x); F1(–x) = f(–x) + f(x) = F1(x), ч.т.д.2) f(x) = f(–x) — нечетная функция.Пусть F2(x) = f(x) – f(–x); F2(–x) = f(–x) – f(x) = –F2(x), ч.т.д.Используя эти функции, представить f(x) в виде суммы четной и нечетной функции.Т.к. F1(x) + F2(x) = f(x) + f(–x) – f(x) – f(–x) = 2f(x), то f ( x ) = F1 (х) + F2 (х) .2708.

1) значения, равные 0, 1, –1;0 при π , 3π , 5π ;22–1 при π, 3π;1 при0, 2π;22) положительные значения при x ∈  0; π , x ∈  3π ; 5π  ; 222 3) отрицательные значения при x ∈  π ; 3π , x ∈  5π ;3π  . 22 2 709. 1) [3π; 4π] — возрастает;2) [–2π; –π] — убывает;3) 2π; 5π  — убывает;24) − π ;0 — возрастает;5) [1; 3] — убывает;6) [–2; –1] — возрастает.710.

1)  π ; 3π  ;22) − π ; π  ; 2 22 2 π  — убывает, 2 ; π 3π  — возрастает;π; 2  π  — возрастает,  π  — убывает;− 2 ;00; 2 196www.5balls.ru3) 0; 3π  ;[0; π] — убывает, π; 3π  — возрастает;4) − π; π  ;2[–π; 0] — возрастает, 0; π  — убывает.22 2π8π711. 1) cos и cos . Т.к. функция cos x убывает на [0; π] и π < 8π ,7979π8πто cos > cos .798π2) cos и cos10π . Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 8π < 10π , то cos8π < cos10π .7777776π π3) cos  −  и cos −  .Т.к.

cos x вохрастает на [–π; 0] и 7  86ππ 6π  π< − , то cos  −  < cos  −  .78 7  8π8π94) cos  −  и cos  −  .Т.к. cos x убывает на [–2π; –π] и 7  7 8π9π 8π  9π − >−≠ , то cos  −  < cos  −  .77 7  7 −5) cos 1 и cos3. Т.к. cos x убывает на [0; π], а 1 < 3, то cos 1 > cos 3.6) cos4 и cos5.

Т.к. cos x возрастает на [π; 2π] и 4 < 5, то cos4 < cos5.у712. 1) cos x = 1 .х2Построим графики функцийy = cos x и y = 1 на отрезке [0; 3π]. Эти графики пересекаются в трех2точках, абсциссы которых х1, х2 и х3, являются корнями уравненияcos x =1; x1 = π , x 2 = 5π , x 3 = 7 π .2333у2) cos x = 2 .х2Построим графики функций y = cos x и2на отрезке [0; 3π].

Характеристики

Список файлов книги