Диссертация (1150670), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ÷àñòíîñòè, èìåííî òàêàÿñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ O(n)-ñèììåòðè÷íîé âåêòîðíîé ìîäåëè φ4 , àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðÿäîâ â êîòîðîé äîñòàòî÷íî õîðîøîèçó÷åíû [53, 69].  ïîäîáíîì ñëó÷àå, ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ïóòåì ïðÿìîãî ñóììèðîâàíèÿ ÷ëåíîâ ðÿäàïðè êîíêðåòíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà ε. Âìåñòî ýòîãî, äëÿ ïðèäàíèÿ ñìûñëàïîäîáíûì âûðàæåíèÿì, äîëæíà áûòü èñïîëüçîâàíà ïðîöåäóðà ïåðåñóììè-55ðîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðÿäà [8, 70].Äëÿ òîãî, ÷òîáû îäíîçíà÷íî îòâåòèòü íà âîïðîñ î õàðàêòåðå ïîâåäåíèÿ ðÿäîâ òåîðèè âîçìóùåíèÿ èçó÷àåìîé ìîäåëè, íåîáõîäèìî èññëåäîâàòüàñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èõ êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèÿõ ïî ïàðå çàðÿäîâ g1,2 . Ïðè ïðîâåäåíèè äàííîãî àíàëèçà, ìû ñëåäóåì ðàáîòå [32, 71], âêîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü (2.4) ñ êîìïëåêñíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà.Çàìåòèì, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè, íàñ èíòåðåñóåò ïîâåäåíèå ðàçëîæåíèÿ íå ïî êàæäîìó çàðÿäó â îòäåëüíîñòè, à ëèøü ïî ÷èñëó ïåòåëü [8, 72].Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñäåëàòü ïåðåîáîçíà÷åíèå gi → zgi , è èññëåäîâàòüïîâåäåíèå ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà z .Ïî îïðåäåëåíèþ, ðåíîðìèðîâàííûå ôóíêöèè Ãðèíà ðàññìàòðèâàåìîéìîäåëè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ñëåäóþùåì âèäå:Gk (z, x1 , .
. . , xk ) = C−1ZZDφ φ(x1 ) . . . φ(xk )eSR(2.68)Dφ eSRC=ãäå SR - äåéñòâèå (2.58). N -é êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ òàêîé ôóíêöèèÃðèíà ïî ïàðàìåòðó z ïðåäñòàâëÿåòñÿ â èíòåãðàëüíîì âèäå ñ ïîìîùüþôîðìóëû Êîøè:GNk (x1 , . . . , xk ) =IdzγGk (z, x1 , . . . , xk )(−z)N +1(2.69)ãäå γ - êîíòóð âîêðóã íóëÿ.Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (2.69) â (2.68) ïîëó÷àåì äëÿ N -ãî êîýôôèöèåíòàðàçëîæåíèÿ âûðàæåíèå:−1GNk (x1 , . . .
, xk ) = CZDφ dz φ(x1 ) . . . φ(xk )eS−(N +1) ln(−z) ,(2.70)56àñèìïòîòèêà êîòîðîãî ìîæåò áûòü íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïåðåâàëà [6668, 71]. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ èì, ñäåëàåì ðàñòÿæåíèåïîëåé φ →√N φ è çàðÿäîâ gi → gi /(N µε ), ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ êîòîðî-ãî, â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû ñîáèðàåòñÿ ôóíêöèîíàë N (S − ln(−z)). Òî÷êàñòàöèîíàðíîñòè äàííîãî ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå ïîëÿ è ïàðàìåòðà zè îïðåäåëÿåò èñêîìóþ àñèìïòîòèêó.Ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ ñòàöèîíàðíîñòè èìåþò âèä:−∂ 2 φst −Zdx{zst g2zst g1φst tr(φ2st ) −φst φst φst = 03!3!zst g1zst g2(tr(φ2st ))2 +tr(φ4st )} = −1.4!4!(2.71)(2.72)Ïîñêîëüêó íåòðèâèàëüíûé âêëàä â êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè Zi äàþò ëèøüñòàðøèå ñòåïåíè çàðÿäîâ, íàëè÷èå êîíòð÷ëåíîâ â äåéñòâèè ïðèâîäèò ëèøüê ïîïðàâêàì ïîðÿäêà 1/N â ðåøåíèè óðàâíåíèé ñòàöèîíàðíîñòè. Êàê ñëåäñòâèå îíè ìîãóò íå ó÷èòûâàòüñÿ ïðè ïîèñêå ãëàâíîãî ÷ëåíà àñèìïòîòèêè [68].Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé O ∈ O(n), ïîëÿ φ ïðèâåäåíû ê áëî÷íî-äèàãîíàëüíîìó âèäó ñ p = n/2áëîêàìè:sσ 0 1 0 s2 σφ=...
...00ãäå...0... 0 ... .... . . sp σ0 −1σ=.1 0(2.73)57Òîãäà óðàâíåíèå (2.71) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå èç p äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íà ôóíêöèè si (x):pXzg1zg2 3−∂ si (x) +si (x)s2j (x) +si (x) = 0.36j=12(2.74)Ïðè d = 4 ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü íàéäåíî â ôîðìå:si (x) =αi y,|x − x0 |2 + y 2(2.75)ãäå x0 è y - ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû. Ïîäñòàíîâêà (2.75) â (2.74) ïðèâîäèòê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà êîýôôèöèåíòû αi :pzg1 X 2 zg2 38αi +αiαi = 0.αj +36j=1(2.76)Íåòðèâèàëüíûìè ðåøåíèÿìè äàííîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ òàêèå íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ {αi }, â êîòîðûõ k = 1, . .
. , p êîýôôèöèåíòîâ çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì:αk2 =−48,(2kzg1 + zg2 )(2.77)îñòàëüíûå m = 0, . . . , p−1 êîýôôèöèåíòîâ αm = 0, è ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿóñëîâèå k + m = p. Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (2.71) ÿâëÿþòñÿèíñòàíòîíû âèäà (2.73) ñîäåðæàùèå k = 1, . . . , p íåíóëåâûõ áëîêîâ.Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå ðåøåíèå φst â óðàâíåíèå (2.72) íàéäåì ÿâíîåâûðàæåíèå äëÿ òî÷êè ñòàöèîíàðíîñòè:zkst = −4k2kg1 + g2(2.78)Ïî èçâåñòíûì èíñòàíòîíó è ñòàöèîíàðíîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà ðàçëîæåíèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà àñèìïòîòèêà êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé Ãðèíà è, êàê ñëåäñòâèå, β -ôóíêöèé ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè [71, 73]. Îíà áóäåò èìåòü âèä:(N )βi(g1 , g2 ) = Ci · N !N b (−a(g1 , g2 ))N (1 + O(1)),N(2.79)58ãäå b = (n2 − 2n + 22)/4, Ci - íåêîòîðûå êîíñòàíòû.
Îñîáåííîñòüþ çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ak (g1 , g2 ) = −1/zkst ìåíÿåòñÿ ñ èçìåíåíèåì g1,2è k . Ïîýòîìó ãëàâíûé âêëàä â àñèìïòîòèêó (2.79) ïðè êàæäîì êîíêðåòíîì çíà÷åíèè g1 , g2 äàåòñÿ íàèáîëüøèì ïî ìîäóëþ çíà÷åíèåì a(g1 , g2 ) =maxk |ak (g1 , g2 )|. Îñòàëüíûå âêëàäû äàþò ëèøü ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëóþ ïîïðàâêó è äîëæíû áûòü îòáðîøåíû.Çíàÿ àñèìïòîòèêó êîýôôèöèåíòîâ β -ôóíêöèè è îïðåäåëåíèÿ (1.41),(1.42), (1.44) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ àñèìïòîòèêà êîýôôèöèåíòîâ ε-ðàçëîæåíèé êîîðäèíàò íåïîäâèæíûõ òî÷åê, è ñîîòâåòñòâóþùèõèì êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ, âåäåò ñåáÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:1))N1(N )(1) (1)ω1,2 = Const · N !N b+1 (−a(g1∗ , g2∗ ))N (1 + O( ))N1(1) (1)η (N ) = Const · N !N b (−a(g1∗ , g2∗ ))N (1 + O( ))N(N )(1)(1)g1,2∗ = Const · N !N b+1 (−a(g1∗ , g2∗ ))N (1 + O((2.80)(2.81)(2.82)(1)ãäå g1,2∗ - îäíîïåòëåâûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò íåïîäâèæíûõ òî÷åê (âêëàäûñòàðøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé äàþò ëèøü ïîïðàâêè ïîðÿäêà 1/N ).Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ðÿäû ε-ðàçëîæåíèé ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè, ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ â íàñòîÿùåé ðàáîòå èñïîëüçîâàëîñü ïåðåñóììèðîâàíèåìåòîäîì êîíôîðìíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîðåëÿ, ñîäåðæàíèå êîòîðîãî îïèñàíî â ñëåäóþùåì ïóíêòå.2.2.2.5.Ïåðåñóììèðîâàíèå ìåòîäîì êîíôîðìíîãî ÁîðåëÿÏðèâåäåì çäåñü êðàòêîå èçëîæåíèå òåõíèêè ïåðåñóììèðîâàíèÿ ìåòîäîì êîíôîðìíîãî Áîðåëÿ.
Äëÿ ïîäðîáíîãî èçëîæåíèÿ ñì. íàïðèìåð [8].59Ðàññìîòðèì íåêóþ ôóíêöèþ f (z) çàäàâàåìóþ â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäàïî ïåðåìåííîé z ñ èçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè:f (z) =XfN z N .(2.83)N ≥0Ïðåîáðàçîâàíèå Áîðåëÿ-Ëåðîÿ ñîïîñòàâëÿåò åé ôóíêöèþ F (z), íàçûâàåìóþ áîðåëåâñêèì îáðàçîì ôóíêöèè f (z) è îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì [2]:F (t) =XNFN t =XN ≥0N ≥0fNtN ,Γ(N + b0 + 1)(2.84)ãäå Γ(x) - ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà, à b0 - ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð. Îáðàòíîåïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê:fresZ(z) =∞dt e−t tbo F (zt).(2.85)0 ñëó÷àå, åñëè ðÿä ôóíêöèè f (z) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ, ôóíêöèÿ f res (z) = f (z) ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé.
Îäíàêî, â äàííîì ñëó÷àå, íàñèíòåðåñóåò ñèòóàöèÿ, êîãäà ðÿä (2.83) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì è åãî êîýôôèöèåíòû ïðè N → ∞ âåäóò ñåáÿ êàê fN ∼ N !N b (−a)N (1 + O( N1 )). Âòàêîì ñëó÷àå ðÿä (2.84) ñõîäèòñÿ â êðóãå ðàäèóñîì 1/a, òàê êàê åãî êîýôôèöèåíòû FN ∼ (−a)N N b−b0 (1 + O( N1 )) ïðè N → ∞. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîôóíêöèÿ F (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷íîé â ýòîì êðóãå è, êàê ñëåäñòâèå, äîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ ïðèäàíèÿ ñìûñëàâûðàæåíèþ (2.85).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî ïðîäîëæåíèÿ, ìîæíî ñîâåðøèòü êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå ïëîñêîñòè, êîòîðîå ïåðåâåäåò îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â(2.85) âíóòðü îáëàñòè àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè F (z). Ôóíêöèþ, îñóùåñòâ-60ëÿþùóþ ïîäîáíîå îòîáðàæåíèå, âûáåðåì â âèäå:√1 + at − 1u(t) = √1 + at + 1⇔t(u) =4u.a(u − 1)2(2.86)Ïðè òàêîì âûáîðå ðÿä (2.84) ìîæåò áûòü ïåðåðàçëîæåí ïî ïåðåìåííîé u:F (t) =XF N tN =N ≥0XFeN u(t)N(2.87)N ≥0â ñèëó òîãî ôàêòà, ÷òî u(z) → 0 ïðè z → 0.
Ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ îïèñàííîé ïðîöåäóðû îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå (2.85) ïðèîáðåòàåò ñìûñë, èìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê:fres(z) =X∞Zdt e−t tbo u(zt)N .FeN(2.88)0N ≥0Äëÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè ïîëó÷èâøåãîñÿ ðÿäà ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòðïåðåñóììèðîâàíèÿ b0 ïðèíÿòî [53, 74] ôèêñèðîâàòü óñëîâèåì b0 = b + 3/2.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2.88) è çíàÿ ïàðàìåòðû àñèìïòîòèêè εðàçëîæåíèé (2.80)-(2.82) ìîæíî ïîëó÷èòü ïåðåñóììèðîâàííûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò íåïîäâèæíûõ òî÷åê è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ.2.2.2.6.Êðèòè÷åñêèå ðåæèìû òàáëèöå 2.3 ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ, ïîëó÷åííûåïóòåì ñóììèðîâàíèÿ ε-ðàçëîæåíèé (2.65)-(2.67) ìåòîäîì êîíôîðìíîãî Áîðåëÿ äëÿ ôèçè÷åñêè èíòðåñíûõ ðàçìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâà d = 2, 3.
Âèäíî, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ âñå òðè ôèêñèðîâàííûå òî÷êè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì (2.50)-(2.51) è, ñëåäîâàòåëüíî, ëåæàò â ôèçè÷åñêîé îáëàñòèïàðàìåòðîâ. Ïðè ýòîì òî÷êèAèÑ,êàê è îæèäàëîñü, ëåæàò íà ïðÿìûõ61Òàáëèöà 2.3. Êðèòè÷åñêèå èíäåêñû, ïîëó÷åííûå ïåðåñóììèðîâàíèåì εðàçëîæåíèé ìåòîäîì êîíôîðìíîãî Áîðåëÿ ïðè n = 4ÈíäåêñÒî÷êàÒî÷êàABÒî÷êàCd=3d=2d=3d=2d=3d=2g10.5421.1021.1452.4011.0272.019g200ω10.7811.3471.2770.7621.298ω2-0.226 -0.487 -0.055 -0.1980.0770.245η0.0180.0170.1140.052-1.747 -3.954 -1.369 -2.6920.7550.0170.045g2∗ = 0 è 4g1∗ + 3g2∗ = 0 è ÿâëÿþòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèìè ïî îòíîøåíèþâ ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîçàðÿäíûì ìîäåëÿì.Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîëíîé äâóõçàðÿäíîé ìîäåëè òî÷êèAèBÿâëÿþòñÿñåäëîâèäíûìè, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå èì èíäåêñû ω1 è ω2 èìåþò ðàçíûéçíàê, â òî âðåìÿ êàê òî÷êàCÿâëÿåòñÿ ÈÊ-ïðèòÿãèâàþùåé äëÿ îáåèõ ðàç-ìåðíîñòåé ïðîñòðàíñòâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
