Диссертация (1150670), страница 5
Текст из файла (страница 5)
 äàííîì ðàçäåëå ìûèñïîëüçóåì ñõåìó ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé, â ðàìêàõ êîòîðîé âñå êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè èìåþò âèä (1.17).Ðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå òàêæå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî â ðåçóëüòàòåäîáàâëåíèÿ êîíòð÷ëåíîâ ê áàçîâîìó äåéñòâèþ:1SB (Φ) = tr((∇ + ieµε A)χ+ (∇ − ieµε A)χ) + τ tr(χ+ χ) + (∇ × A)2 +2+1g1 µ2εg2 µ2ε(∇A)2 +(tr(χχ+ ))2 +tr(χχ+ χχ+ ).2ξ44(2.16)Èíûìè ñëîâàìè:SR (Φ) = SB (Φ) − LΓ(Φ),(2.17)ãäå L - êîíòð÷ëåííàÿ îïåðàöèÿ äëÿ ñõåìû MS, à Γ(Φ) - ïðîèçâîäÿùèéôóíêöèîíàë 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé Ãðèíà.Ïîêàæåì, ÷òî âêëàä êîíòð÷ëåíîâ â ðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå (2.15)ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ[39]:χα = χeiα(x) ;+ −iα(x)χ+;α =χ e1Aα = A + ∇α(x).e(2.18)Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë ïîëíûõ ôóíêöèé Ãðèíà. áàçîâîé òåîðèè îí èìååò âèä:ZG(a) = CDΦ eSB (Φ)+aΦ(2.19)37Çäåñü a = {aχ , aχ+ , aA } - èñòî÷íèêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé, C - íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà.
Ñäåëàåì â èíòåãðàëå (2.19) çàìåíó ïåðåìåííûõ ñîîòâåòñòâóþùóþ êàëèáðîâî÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ (2.18). ßêîáèàí òàêîé çàìåíûðàâåí åäèíèöå, à ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðîâàíèÿ â (2.19) ïðè ýòîì ïåðåéäåòñàìî â ñåáÿ.  ðåçóëüòàòå, âàðüèðóÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïî êàëèáðîâî÷íîìó ïàðàìåòðó α ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî:ZDΦ δα eSB (Φ)+aΦ = 0.(2.20)Èç (2.18) íàõîäèì âàðèàöèè ïîëåé è áàçîâîãî äåéñòâèÿ (2.16):δα χ = iαχ;δα χ+ = −iαχ+ ;δα SB (Φ) =1δα A = ∇α;eα∆(∇ × A).eξ(2.21)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (2.20) ïîëó÷àåì:Z1αDΦ (iαtr(aχ χ) − iαtr(aχ+ χ+ ) + (aA · ∇α) + ∆(∇ × A))eSB (Φ)+aΦ = 0.eeξ(2.22)Ïðåäñòàâëÿÿ ïîëÿ ñòîÿùèå ïåðåä ýêñïîíåíòîé â âèäå ïðîèçâîäíûõ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì èñòî÷íèêàì è ïåðåõîäÿ ê ïðîèçâîäÿùåìó ôóíêöèîíàëó ñâÿçíûõ ôóíêöèé Ãðèíà (1.5), ïîëó÷àåì:iαtr(aχδWδW1αδW) − iαtr(aχ+) + (aA · ∇α) + ∆(∇ ×) = 0.
(2.23)δaχδaχ+eeξδaAÏåðåéäåì òåïåðü ê ïðîèçâîäÿùåìó ôóíêöèîíàëó 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèéÃðèíà. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1.6), (1.7) ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (2.23) ââèäå:−iαtr(χδΓδΓ1δΓα) + iαtr(χ+ + ) − (∇α ·) + ∆(∇ × A) = 0.δχδχeδAeξ(2.24)38Èç (2.21) âèäíî, ÷òî ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé, ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêà, ïåðâóþ âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà Γ(Φ) ïî ïàðàìåòðó êàëèáðîâêè ïðè êàëèáðîâî÷íîì ïðåîáðàçîâàíèè åãî àðãóìåíòîâ, â òî âðåìÿ êàêïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé âàðèàöèåé áàçîâîãî äåéñòâèÿ.
 ðåçóëüòàòå èìååì:δα Γ(Φ) = δα SB (Φ).(2.25)Ïîñêîëüêó ôóíêöèîíàë Γ(Φ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå:Γ(Φ) = SB (Φ) + Γ̄(Φ)(2.26)ãäå Γ̄(Φ) - ïåòëåâûå âêëàäû, à òàê æå â ñèëó òîãî ôàêòà ÷òî â ñõåìå MSîïåðàöèè δα è L êîììóòèðóþò ïîëó÷àåì:δα LΓ̄(Φ) = 0.(2.27)Èíûìè ñëîâàìè âêëàä êîíòð÷ëåíîâ ÿâëÿåòñÿ êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûì.Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âêëàäû â äåéñòâèå íåèíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.18) íå ðåíîðìèðóþòñÿ.
Äàííîå óòâåðæäåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè çàðÿäà è ïàðàìåòðàôèêñèðóþùåãî êàëèáðîâêó äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:Ze = ZA−1 ; Zξ = ZA2 ,(2.28)à ñîîòâåòñòâóþùèå èì àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè ìîãóò áûòü îäíîçíà÷íî âûðàæåíû ÷åðåç àíîìàëüíóþ ðàçìåðíîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îñòàâøèåñÿ êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè âû÷èñëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç òðåáîâàíèÿ óñòðàíåíèÿ ðàñõîäèìîñòåé â 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ Ãðèíà hAAi, hχ+ χi,39hχ+ χχ+ χi. Îäíîïåòëåâûå âû÷èñëåíèÿ äàþò:ZA2Zχ2 Zg1e2 n(n − 1)=1−;6εZχ2e2 (3 − ξ)=1−;ε3 g22 2e2 ξ 12e4n2 − n + 8g1 + (n − 1)g2 ++;=1+−44 g1εg1 εZχ2 Zg2 = 1 + 3g1 +2e2 ξ2n − 5g2 −.4ε(2.29)(2.30)(2.31)Äëÿ óäîáñòâà çäåñü è äàëåå áûëà ñäåëàíà çàìåíà: g1,2 → g1,2 /(16π 2 ), e2 →e2 /(16π 2 ) .2.1.3.Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êèÐà ôóíêöèè ìîäåëè â ðàìêàõ ñõåìû MS îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìèñîîòíîøåíèÿìè (1.21), (1.26).
Îòñþäà, à òàê æå èç ÿâíûõ âûðàæåíèé (2.29)(2.31) è ñîîòíîøåíèé (2.28) ïîëó÷àåì:1e2 n(n − 1)γA = −γe = γξ =;26(2.32)γχ = −e2 (3 − ξ);(2.33)n2 − n + 8 23βg1 = −2εg1 +g1 + 2(n − 1)g1 g2 + g22 − 12e2 g1 + 24e4 ; (2.34)222n − 5 2βg2 = −2εg2 + 6g1 g2 +g2 − 12e2 g2 ;(2.35)2e3 n(n − 1)βe = −εe +.(2.36)6Àíàëèç âûðàæåíèé (2.34)(2.36) îáíàðóæèâàåò äâà íàáîðà ôèêñèðîâàííûõòî÷åê, ñîîòâåòñòâóþùèõ òðèâèàëüíîìó (ðàâíîìó íóëþ) è íåòðèâèàëüíîìóçíà÷åíèþ e∗ .
 îáà íàáîðà âõîäèò ïî ÷åòûðå ôèêñèðîâàííûõ òî÷êè.Ïåðâûé íàáîð ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ íàáîðîì ôèêñèðîâàííûõ òî÷åêìîäåëè (2.4). Âñå îíè áûëè íàéäåíû è îïèñàíû â ðàáîòå [18]. Äëÿ ïîëíîòû40èçëîæåíèÿ ïðèâåäåì ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ òî÷åê èç ýòîãî íàáîðà.  íåãîâõîäÿò ñëåäóþùèå òî÷êè. Òðèâèàëüíàÿ òî÷êà:g1∗ = 0;g2∗ = 0,(2.37)êîòîðàÿ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ÈÊ îòòàëêèâàþùåé.
Òî÷êà:g1∗ =4ε;8 − n + n2g2∗ = 0,(2.38)êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé äëÿ n = 2, è ñåäëîâèäíîé òî÷êîéäëÿ ëþáîãî n > 2. À òàê æå äâå òî÷êè ñ îáåèìè íåçàíóëÿþùèìèñÿ êîîðäèíàòàìè:g1∗ =g2∗ =p2222 77 + 8n − 4n ± (−5 + 2n) (49 + 16n − 8n ) ε;392 + 151n − 19n2 − 24n3 + 4n4p2324 14 − 15n − 7n + 2n ∓ 6 (49 + 16n − 8n ) ε392 + 151n − 19n2 − 24n3 + 4n4.(2.39)Îäíàêî, îíè ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè òîëüêî â ñëó÷àå n = 2, ïðè êîòîðîìîíè ëèáî ÈÊ íåñòàáèëüíû ëèáî ëåæàò âíå ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ,÷òî îçíà÷àåò ÷òî îíè íå ìîãóò áûòü äîñòèãíóòû Ðà ïîòîêàìè.Âòîðîé íàáîð ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëüíûì ðåçóëüòàòîì äàííîé ðàáîòû.
Íàáîð ñîîòâåòñòâóåò íåòðèâèàëüíîìó çíà÷åíèþ e∗ ,ðàâíîìó:e2∗ =6ε,n(n − 1)(2.40)è ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê äâóõ òèïîâ. Äâå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè:p2−(2n − 5)2 Cn−2ε(2n−11)(2n+7)(n−n+36)±ε∗g1 =,n(n − 1)(4n4 − 24n3 − 19n2 + 151n + 392)p224ε(2+n)(n−n+36)(2n−11n+7)∓6ε−(2n − 5)2 Cng2∗ =,n(n − 1)(4n4 − 24n3 − 19n2 + 151n + 392)(2.41)(2.42)41ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå:Cn = 8n6 − 32n5 + 2295n4 − 12014n3 − 265n2 + 48024n + 105840.
(2.43)Äëÿ ëþáîãî n > 1 îíè èìåþò íåòðèâèàëüíóþ ìíèìóþ ÷àñòü è íå ìîãóòáûòü äîñòèãíóòû Ðà ïîòîêàìè. Îñòàâøèåñÿ äâå òî÷êè èìåþò êîîðäèíàòû:√ 22n−n+36±En g1∗ =,n(n − 1) (n2 − n + 8)g2∗ = 0,(2.44)En = n4 − 2n3 − 359n2 + 360n − 2160.(2.45)ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå:Îíè ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè äëÿ n > 19, íî ïðè ýòîì îêàçûâàþòñÿ ñåäëîâèäíûìè òî÷êàìè. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ïðîèçâîäíûõ (1.44), îïðåäåëþùèå èõ òèï ÈÊ óñòîé÷èâîñòè äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:√ 2ε (n2 − n + 36)(n2 − n + 2) ∓ 6 Enω1 = −,n(n − 1) (n2 − n + 8)√2ε Enω2 = ±, ωe = 2ε.n(n − 1)(2.46)(2.47)Ñîáñòâåííîå ÷èñëî ω1 ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿn, â òî âðåìÿ êàê çíàê ω2 ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåìâ (2.44).2.1.4.Êðèòè÷åñêèé ðåæèìÓ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ìàãíèòíûì ïîëåì â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ÷åòûðåõ äîïîëíèòåëüíûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ñ íåòðèâèàëüíîé êîîðäèíàòîé e∗ .
Äâå èç íèõ èìåþò âåùåñòâåííûå êîîðäèíàòû ïðè n > 19. Òåì íå ìåíåå îáå îíè îêàçûâàþòñÿ ñåäëîâèäíûìè42òî÷êàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íå ìåíÿåòêà÷åñòâåííóþ êàðòèíó ïîëó÷åííóþ â ðàáîòàõ [18, 32].Áîëåå òîãî, â ðàìêàõ ε-ðàçëîæåíèÿ êîýôôèöèåíò ïðè êàæäîé ñëåäóþùåé ñòåïåíè ε áóäåò ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ ÷åðåç óæå âû÷èñëåííûå êîýôôèöèåíòû, ïîýòîìó â ðàìêàõ òàêîãî ïîäõîäà íåïîñðåäñòâåííûé ó÷åò ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé íå ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîÿâëåíèþ íîâûõíåòðèâèàëüíûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ñ âåùåñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè äëÿn ≤ 19.Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñëó÷àå O(n)-ñèììåòðè÷íîé âåêòîðíîé ìîäåëèðàçëè÷íûå ïîïûòêè ïåðåñóììèðîâàíèÿ äâóõïåòëåâûõ âûðàæåíèé äëÿ ÐÃôóíêöèé îñíîâàííûå íà ïîñòðîåíèè Ïàäå àïïðîêñèìàíò [40] ïîêàçûâàþò,÷òî ïðèñóòñâèå ôèêñèðîâàííîé òî÷êè ñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì ýôôåêòèâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà âîçìîæíî äàæå äëÿ ñëó÷àÿ n = 2.
 ñâÿçè ñýòèì, äëÿ òîãî ÷òîáû îêîí÷àòåëüíî óñòàíîâèòü ôàêò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê ñ íåíóëåâûì çíà÷åíèåì ýôôåêòèâíîãî çàðÿäàäëÿ ìàëûõ n â ìîäåëè (2.5) èçó÷àåìîé â äàííîì ðàçäåëå, òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèå ñòàðøèõ âêëàäîâ òåîðèè âîçìóùåíèé è ïðèìåíåíèå ðàçëè÷íûõïðîöåäóð ïåðåññóìèðîâàíèÿ. Ýòà çàäà÷à îñòàåòñÿ îòêðûòîé äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ.Åùå îäíèì èíòåðåñíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî àíîìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü γχ îêàçûâàþòñÿ êàëèáðîâî÷íî çàâèñèìîé (2.33).  ðåçóëüòàòå êàëèáðîâî÷íî çàâèñèìûì îêàçûâàåòñÿ è êðèòè÷åñêèé ïîêàçàòåëü η = 2γχ∗ äëÿñëó÷àÿ çàðÿæåííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè.
Ýòî íåóäèâèòåëüíî, ïîòîìó ÷òîèìåííî òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà [35].  òî æå âðåìÿ ïåðåíîðìèðîâêà ïàðàìåòðà ξ ïðèâîäèò ê òîìó,43÷òî åãî Ðà ïîòîê äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ :¯ ξ.Ds ξ¯ = ξγ(2.48)Âèäíî ÷òî êàëèáðîâêà ξ = 0 ÿâëÿåòñÿ ôèêñèðîâàííîé òî÷êîé äàííîãî óðàâíåíèÿ. Ýòî â ñâîþ î÷åðåäü îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ êàëèáðîâêà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ïðîöåäóðå ðåíîðìèðîâêè.2.2.O(n)-ñèììåòðè÷íàÿ ìîäåëü2.2.1.Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëèÄåéñòâèå (2.4) íå äîïóñêàåò ðàçäåëåíèÿ íà äâå íåçàâèñèìûå ÷àñòèS = SRE + SIM , â îäíó èç êîòîðûõ âõîäèëè áû òîëüêî ÷èñòî âåùåñòâåííûå,à â äðóãóþ ÷èñòî ìíèìûå ÷àñòè ïîëåé χ, χ+ .
Êàê ñëåäñòâèå, ìîäåëü, ðîëüïàðàìåòðà ïîðÿäêà â êîòîðîé èãðàåò âåùåñòâåííîå àíòèñèììåòðè÷íîå òåíçîðíîå ïîëå φ = φik (x) âòîðîãî ðàíãà (φik = −φki , i, k = 1, ..., n), ÿâëÿåòñÿíåçàâèñèìîé è òðåáóåò îòäåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ.Ïðè ïåðåõîäå ê ÷èñòî âåùåñòâåííîìó ïàðàìåòðó ïîðÿäêà òðåáîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé U (n) åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïåðåõîäèò â òðåáîâàíèå O(n)ñèììåòðè÷íîñòè: äåéñòâèå òàêîé ìîäåëè äîëæíî áûòü èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ φ → OφO† , ãäå O ∈ O(n) îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû.Îáùèé âèä ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ, îïèñûâàþùåãî ïîâåäåíèå òàêîéìîäåëè â îêðåñòíîñòè òî÷êè ôàçîâîãî ïåðåõîäà äàåòñÿ âûðàæåíèåì:g10g201S(φ) = tr(φ(−∂ 2 + m20 )φ) −(tr(φ2 ))2 −tr(φ4 ).24!4!(2.49)Çäåñü m20 îáîçíà÷àåò îòêëîíåíèå òåìïåðàòóðû (èëè åå àíàëîãà) îò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ, à g10 , g20 êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ.44Çàìåòèì, ÷òî âêëàäû ñòàðøèõ ñòåïåíåé ïîëÿ ÿâëÿþòñÿ ÈÊ íåñóùåñòâåííûìè, à êóáè÷åñêèé ïî ïîëþ ÷ëåí íå âîçíèêàåò èç-çà àíòèñèììåòðè÷íîñòè ïîëÿ φik .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
