Диссертация (1150670), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Òàê æå èç (1.6)ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå:δΓ(α)/δα = −A.(1.7)Ïðè âûïîëíåíèè êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòîâ ôóíêöèîíàëû G, W è Γ âû÷èñëÿþòñÿ â ôîðìå ðÿäîâ òåîðèè âîçìóùåíèÿ ïî êîíñòàíòàì ñâÿçè g ñ ïîìîùüþäèàãðàììíîé òåõíèêè. Ïðè ýòîì ðîëü ëèíèé â äèàãðàììàõ èãðàåò îïåðàöèÿîïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì:∆(x, x0 ) = K −1 (x, x0 )(1.8)è íàçûâàåìàÿ ñâîáîäíûì ïðîïàãàòîðîì.
Âåðøèíàì â äèàãðàììàõ ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âåðøèííûå ìíîæèòåëè, îïðåäåëÿåìûå êàê:V (x1 · · · xn ) = δV (Φ)/δΦ(x1 ) . . . δΦ(xn ).(1.9)19Ïîëó÷àþùèåñÿ èíòåãðàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãðàììàì òåîðèè âîçìóùåíèé, ìîãóò ðàñõîäèòüñÿ â îáëàñòè áîëüøèõ èìïóëüñîâ. Ïîäîáíûå ðàñõîäèìîñòè íàçûâàþò óëüòðàôèîëåòîâûìè ðàñõîäèìîñòÿìè, à èõ óñòðàíåíèåòðåáóåò ââåäåíèÿ ïðîöåäóðû ïåðåíîðìèðîâêè.1.3.Óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè è ïåðåíîðìèðîâêàÀíàëèç óëüòðàôèîëåòîâûõ (ÓÔ) ðàñõîäèìîñòåé áàçèðóåòñÿ íà àíàëèçå êàíîíè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé ïîëåé, ïàðàìåòðîâ è êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ìîäåëè.
Çíà÷åíèÿ êàíîíè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé ïîëåé è ïàðàìåòðîâîïðåäåëÿåòñÿ èç íîðìèðîâî÷íîãî óñëîâèÿ:dp = −dx = 1(1.10)è òðåáîâàíèÿ áåçðàçìåðíîñòè ôóíêöèîíàëà äåéñòâèÿ. Òîãäà êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü 1-íåïðèâîäèìîé n-òî÷å÷íîé ôóíêöèè Ãðèíà ΓnhΦ1 . . . Φn i1−íåïðèâ.=â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè äàåòñÿ âûðàæåíèåì:dΓ = d −XNφ dφ ,(1.11)Φâ êîòîðîì çíà÷îê ñóììû îáîçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî âñåì êîìïîíåíòàìèç ïîëíîãî íàáîðà ïîëåé Φ, âõîäÿùèì â äàííóþ ôóíêöèþ Ãðèíà, Nφ êîëè÷åñòâî ðàç, êîòîðîå êîíêðåòíàÿ êîìïîíåíòà ïîëÿ âñòðå÷àåòñÿ â äàííîéôóíêöèè Ãðèíà, dφ ñîîòâåòñòâóþùóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü.Çíà÷åíèå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà â êîòîðîì íåêîòîðûé ìîíîìRdxVi (Φ), âõîäÿùèé â ôóíêöèîíàë (1.3) îêàçûâàåòñÿ áåçðàçìåðíûì íàçû-âàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêèì äëÿ äàííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.
Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíñòàíòà âçàèìîäåéñòâèÿ gi òàêæå îêàçûâàåòñÿ áåçðàçìåðíîé.20Ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèôìè÷íîé â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè d = d∗ , åñëèâñå êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ ìîäåëè îäíîâðåìåííî ñòàíîâÿòñÿ áåçðàçìåðíûìè. Ôîðìàëüíûì èíäåêñîì ÓÔ ðàñõîäèìîñòè äëÿ ôóíêöèé Γn ÿâëÿåòñÿèõ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü â ëîãàðèôìè÷åñêîé òåîðèè.
ÏîâåðõíîñòíûåÓÔ ðàñõîäèìîñòè ìîãóò ñîäåðæàòüñÿ òîëüêî â òåõ ôóíêöèÿ Ãðèíà, äëÿêîòîðûõδΓ = dΓ |d=d∗(1.12)ÿâëÿåòñÿ öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì. Îäíàêî, åñëè ïî êàêîé-ëèáî ïðè÷èíå íåêîòîðîå ÷èñëî ðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ (íàïðèìåð âíåøíèõ èìïóëüñîâ) âîçíèêàåò â êà÷åñòâå îáùåãî ìíîæèòåëÿ äëÿ âñåõ äèàãðàìì êàêîé-ëèáîôóíêöèè Ãðèíà, òî ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè äàííîé ôóíêöèè áóäåòîòëè÷àòüñÿ îò (1.12) íà êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü âíåøíåãî ìíîæèòåëÿ âëîãàðèôìè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè.Óñòðàíåíèå ÓÔ ðàñõîäèìîñòåé ïðîèçâîäèòñÿ çà ñ÷åò ïðîöåäóðû ïåðåíîðìèðîâêè.
Ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìîé åñëè âñåôóíêöèè Ãðèíà ìîæíî ñäåëàòü ÓÔ êîíå÷íûìè ñ ïîìîùüþ ïîäõîäÿùåé ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé è ïåðåõîäà îò çàòðàâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè e0 ê e èõ ðåíîðìèðîâàííûì àíàëîãàì:Φ → ΦZΦ ;e0 = eZe .(1.13)Äàííàÿ ïðîöåäóðà âîçìîæíà åñëè â äåéñòâèè ïðèñóòñòâóþò ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâóþùèå âñåì ðàñõîäÿùèìñÿ êîíòð÷ëåíàì. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî êàê:SR (Φ, e, µ) = S(ZΦ Φ, e0 ).(1.14)21Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåíîðìèðîâàííûå 1-íåïðèâîäèìûå ôóíêöèè Ãðèíà çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:Γn (e0 ) =Y−NφZφΓnR (e, µ).(1.15)Φ äàííûõ ñîîòíîøåíèÿõ çíà÷îê ïðîèçâåäåíèÿ îáîçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå ïîâñåì êîìïîíåíòàì èç ïîëíîãî íàáîðà ïîëåé, âõîäÿùèõ â êîíêðåòíóþ ôóíêöèþ Ãðèíà.
Îáû÷íî ñ öåëüþ îáåçðàçìåðèâàíèÿ ðåíîðìèðîâàííûõ êîíñòàíòâçàèìîäåéñòâèÿ ââîäèòñÿ ðåíîðìèðîâî÷íàÿ ìàññà µgi0 = gi µdgio Zgi ,(1.16)êîòîðàÿ èãðàåò ðîëü ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà ðåíîðìèðîâêè è èìååò êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü dµ = 1.Âû÷èñëåíèå ðàñõîäÿùèõñÿ ÷àñòåé ôóíêöèé Ãðèíà òðåáóåò ââåäåíèÿíåêîòîðîé ðåãóëÿðèçàöèè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì íàèáîëåå óäîáíûé ñ òåõíè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñëó÷àé ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè. Äàííàÿðåãóëÿðèçàöèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò òàê íàçûâàåìîãî ε-ñäâèãà, êîãäà ìîäåëü ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè d = d∗ − ε, ãäå ïàðàìåòðε > 0. Òîãäà ñíÿòèþ ðåãóëÿðèçàöèè ñîîòâåòñòâóåò âçÿòèå ïðåäåëà ε → 0. Âðàìêàõ ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè â äèàãðàììàõ èìåþò âèä ïîëþñîâ ïî ε, à ïðîöåäóðà óñòðàíåíèÿ ðàñõîäèìîñòåéñâîäèòñÿ ê ñîêðàùåíèþ äàííûõ ïîëþñîâ ïîäõîäÿùèì âûáîðîì êîíñòàíòïåðåíîðìèðîâêè.
Òðåáîâàíèå ëèøü ÓÔ êîíå÷íîñòè âñåõ ôóíêöèé Ãðèíà íåôèêñèðóåò äàííóþ ïðîöåäóðó îäíîçíà÷íî. Îäíîçíà÷íîñòü äîñòèãàåòñÿ çàñ÷åò âûáîðà êîíêðåòíîé ñõåìû ðåíîðìèðîâêè.  êà÷åñòâå ïðèìåðà, íèæåìû ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñõåìó ìèíèìàëüíûõ âû÷èòàíèé (MS). Äðóãèìïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ñõåìà ðåíîðìèðîâêè â ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíî-22ñòè ïðîñòðàíñòâà (ñì. íàïðèìåð [5, 2729]), èëè åå ìîäèôèêàöèÿ ïîäðîáíååèçëîæåííàÿ â ðàçäåëå 2.2.3. ðàìêàõ ñõåìû MS âñå êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè èìåþò âèä:Zi = 1 +∞XAip (gi ) ε−p(1.17)p=1è âû÷èòàþò â êîíòð÷ëåíàõ èñêëþ÷èòåëüíî ïîëþñíóþ ÷àñòü ïî ε.1.4.Óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïûÓðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû äëÿ ðåíîðìèðîâàííîé ôóíêöèè Ãðèíà ΓnRâûâîäèòñÿ íà îñíîâå íåîäíîçíà÷íîñòè ïðîöåäóðû ðåíîðìèðîâêè.
Îäíèì èçïðîÿâëåíèé äàííîé íåîäíîçíà÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîñòü ðåíîðìèðîâî÷íîé ìàññû µ. Ïîñêîëüêó çàòðàâî÷íûå ïàðàìåòðû ìîäåëè, à òàê æå íåðåíîðìèðîâàííûå ôóíêöèè Ãðèíà íå çàâèñÿò îò âûáîðà êîíêðåòíîé ïðîöåäóðû ïåðåíîðìèðîâêè îíè, â ÷àñòíîñòè, äîëæíû îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûìèïðè âàðèàöèÿõ ðåíîðìèðîâî÷íîé ìàññû. Äàííîå óòâåðæäåíèå âûðàæàåòñÿðàâåíñòâîì:e µ Γn (e0 ) = 0,De µ = µ∂µ |e .D0(1.18)Çäåñü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ çàòðàâî÷íûõeµïàðàìåòðàõ, ∂i = ∂/∂xi äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé x. Äåéñòâóÿ îïåðàòîðîì Díà îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.15) ïîëó÷àåì:eµ −(DXe µ lnZφ )ΓnR (e, µ) = 0.Nφ D(1.19)Φe µ â òåðìèíàõ ðåíîðìèðîâàííûõ ïåðåìåííûõ e, µ,Ðàñêðûâàÿ îïåðàòîð Dèìååì:(Dµ +Xee µ ei )∂e −(DiXΦe µ lnZφ )ΓnR (e, µ) = 0.Nφ D(1.20)23Çäåñü è âñþäó äàëåå îïåðàòîð Dx ≡ x∂x äëÿ ëþáîé ïåðåìåííîé x.
Íàêîíåö,ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèÿ (1.13) è (1.16), à òàê æå ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ:e µ ln Za ,γa ≡ De µ gi = −gi (dg + γg ),βi ≡ Dioi(1.21)ïîëó÷àåì:(Dµ +Xβi ∂gi −Xγ D −e0ie0ie0gXNφ γφ )ΓnR (e, µ) = 0.(1.22)ΦÇäåñü ÷åðåç e0 îáîçíà÷åíû âñå ïàðàìåòðû ìîäåëè íå ÿâëÿþùèåñÿ êîíñòàíòàìè âçàèìîäåéñòâèÿ (â ðàìêàõ ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè ýòî ïàðàìåòðûèìåþùèå ôèêñèðîâàííóþ êàíîíè÷åñêóþ ðàçìåðíîñòü), γa íàçûâàåòñÿ àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ ðåíîðìèðóåìîé âåëè÷èíû a, βi åñòü áåòà-ôóíêöèè,ñîîòâåòñòâóþùèå ðåíîðìèðîâàííûì êîíñòàíòàì ñâÿçè.
Óðàâíåíèå (1.22)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùèé âèä ñòàíäàðòíîãî óðàâíåíèÿ ðåíîðìãðóïïû.Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè, ââåäåì îáîçíà÷åíèå:DRG = Dµ +Xgβi ∂gi −Xγe0i De0i .(1.23)e0e µ âûðàæåííûé â òåðìèíàõ ðåíîðìèÃäå îïåðàòîð DRG åñòü îïåðàòîð Dðîâàííûõ ïåðåìåííûõ è ðåíîðìèðîâî÷íîé ìàññû. Òîãäà óðàâíåíèå (1.22)ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå:(DRG −XNφ γφ )ΓnR (e, µ) = 0.(1.24)ΦÀíàëîãè÷íûì îáðàçîì âûâîäÿòñÿ Ðà óðàâíåíèÿ äëÿ ñâÿçíûõ ôóíêöèé Ãðèíà:(DRG +XΦNφ γφ )WnR (e, µ) = 0.(1.25)24Ìîæíî ïîêàçàòü ÷òî â ðàìêàõ ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè è ñõåìû MSâûðàæåíèå äëÿ àíîìàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:XA1adgio Dgi )γa = −(,εg(1.26)ãäå A1a êîýôôèöèåíò ïðè ïîëþñå ïåðâîãî ïîðÿäêà â (1.17).
Äàííîå óïðîùåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ÓÔ êîíå÷íîñòè àíîìàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé, àòàê æå òîãî ôàêòà, ÷òî â ðàìêàõ ñõåìû MS â êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêèâõîäÿò òîëüêî ïîëþñà ïî ε. Êàê ðåçóëüòàò, ñîîòíîøåíèå (1.26) ìîæåò íåâûïîëíÿòüñÿ äëÿ äðóãèõ ðåíîðìèðîâî÷íûõ ñõåì.1.5.Ôèêñèðîâàííûå òî÷êè è êðèòè÷åñêèå ðåæèìû êà÷åñòâå ïðîñòîãî, íî âàæíîãî äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ÈÊ àñèìïòîòèêó ïàðíîãî êîððåëÿòîðà â ìîäåëè φ4 .
Äàííàÿìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ñ îäíèì ñêàëÿðíûì ïîëåì, îäíèì çàðÿäîì è îäíèì ðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì m2 . Ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïûäëÿ ïàðíîãî êîððåëÿòîðà çàïèñûâàåòñÿ â ôîðìå:(Dµ + β(g)∂g − γm2 Dm2 + 2γφ )W2R (p, g, m2 , µ) = 0(1.27)Êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ïàðíîãî êîððåëÿòîðà ðàâíà dW2R = −2, ïîýòîìóáóäåì èñêàòü ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ â âèäå:W2R (p, g, m2 , µ) = p−2 F (s, g, z).(1.28)Çäåñü s ≡ p/µ, à z ≡ m2 /µ2 .
Ðàñêðûâàÿ îïåðàòîðû Dµ è Dm2 â òåðìèíàõíîâûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì:(−Ds + β(g)∂g − (2 + γm2 )Dz + 2γφ )F (s, g, z) = 0.(1.29)25Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíî â òåðìèíàõ òàê íàçûâàåìûõ èíâàðèàíòíûõ ïåðåìåííûõ: èíâàðèàíòíîãî çàðÿäà ḡ è èíâàðèàíòíîãîàíàëîãà z̄ ïàðàìåòðà z . Äàííûå ïåðåìåííûå îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïî ïåðåìåííîé s:ḡ = ḡ(s, g),z̄ = z̄(s, g, z),Ds ḡ = β(ḡ),ḡ|s=1 = g,Ds z̄ = −z̄(2 + γm2 ),z̄|s=1 = z.(1.30)(1.31)Ïåðâîå óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ è äàåò:Zln s =gḡdx.β(x)(1.32)Âòîðîå óðàâíåíèå òàê æå ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíî åñëè ïåðåéòè âíåì îò ïåðåìåíîé s ê ïåðåìåííîé ḡ .
 ðåçóëüòàòå èìååì: Zz̄(s, g, z) = zs−2 exp −ḡgγm2 (x)dx.β(x)(1.33)Òåïåðü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.29) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â òåðìèíàõ èíâàðèàíòíûõ ïåðåìåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ḡ ZF (s, g, z) = F (1, ḡ, z̄) exp 2gγφ (x)dx.β(x)(1.34)Íàéäåì ÈÊ àñèìïòîòèêó (s → 0) äàííîãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèìïîâåäåíèå ðåøåíèÿ (1.32) â îêðåñòíîñòè ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê. Ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè g∗ íàçûâàþòñÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ β(g∗ ) = 0. Íà ïðàêòèêå îäíèì èç íèõ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ òðèâèàëüíàÿ (Ãàóññîâà)òî÷êà g∗ = 0. Íåòðèâèàëüíûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè äåëÿò îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ìîäåëè íà èíòåðâàëû, â êàæäîì èç êîòîðûõ β -ôóíêöèÿ çíàêîïîñòîÿííà.
Åñëè g è ḡ ïðèíàäëåæàò îäíîìó èç òàêèõ èíòåðâàëîâ, òî èíòåãðàë26(1.32) ñóùåñòâóåò è îïðåäåëÿåò ln s(ḡ) êàê îäíîçíà÷íóþ, è ìîíîòîííóþôóíêöèþ ïåðåìåííîé ḡ . ìàëîé îêðåñòíîñòè íåòðèâèàëüíîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè β ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå:β(g) ' ω(g − g∗ ),w = β 0 (g∗ )(1.35)Çíàÿ ïîâåäåíèå β -ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, ìîæíîíàéòè àñèìïòîòèêó èíòåãðàëà (1.32) ïðè ḡ → g∗ :ln s ' ω −1 ln|ḡ − g∗ |.(1.36)Èç äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî â ïðåäåëå ḡ → g∗ âåëè÷èíà ln s →−∞, åñëè ω > 0 è ln s → ∞ åñëè ω < 0.  ñèëó îäíîçíà÷íîñòè è ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè s(g∗ ), îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ÈÊ àñèìïòîòèêàèíâàðèàíòíûõ ïåðåìåííûõ è ðåøåíèÿ (1.34) óðàâíåíèÿ Ðà äëÿ ïàðíîãîêîððåëÿòîðà îïðåäåëÿþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè òî÷êàìè g∗ , äëÿ êîòîðûõ ïîêàçàòåëü w = β 0 (g∗ ) > 0.ÈÊ àñèìïòîòèêó èíòåãðàëîâ âõîäÿùèõ â (1.33), (1.34) ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäñòàâèâ â íèõ γa (x) = γa (g∗ ) + (γa (x) − γa (g∗ )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
