Диссертация (1150670), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Íàãëÿäíûé ïðèìåð òàêîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîêðûé ïåñîê [77]. Òî÷íîåîïèñàíèå òàêîé ñèñòåìû äîëæíî íå òîëüêî ñîäåðæàòü â ñåáå âñþ ñëîæíîñòüóðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà, íî òàê æå âêëþ÷àòü â ñåáÿ îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ïåñêà, êîòîðîå â îáùåì ñëó÷àå íåèçâåñòíî, è âîçíèêàþùèå â ðåçóëüòàòå ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íàïðÿæåíèÿ âíóòðè ïåñ÷àíîéìàññû.  ðåçóëüòàòå, äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ, îáëàäàþùåãî ïðåäñêàçàòåëüíîé ñèëîé, íåîáõîäèìî ïîñòðîåíèå íåêèõ ýôôåêòèâíûõìîäåëåé, îñíîâàííûõ íà èçâåñòíûõ ñèììåòðèÿõ è ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ èçó÷àåìûõ ñèñòåì.Ïðèìåðîì äðóãîé ïîäîáíîé ïðîáëåìû, âûçûâàþùåé â ïîñëåäíèåíåñêîëüêî äåñÿòèëåòèé èíòåðåñ èññëåäîâàòåëåé, ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ ðîñòà ãðàíèö â ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåìàõ.
Äàëåêî íåïîëíûé ñïèñîê òàêèõ ïðîöåññîâ âêëþ÷àåò âûïàäåíèå îñàäêà íà ïîäëîæêó èðîñò ñîîòâåòñòâóþùåé ôàçîâîé ãðàíèöû, ýâîëþöèþ ôðîíòîâ îòâåðäåâàíèÿè ïëàìåíè, ïîâåäåíèå äûìà è êîëëîèäíûõ àãðåãàòîâ, ðîñò îïóõîëåé, ýâîëþ-78öèþ ëàíäøàôòîâ è ò.ä. (äëÿ ïîäðîáíîãî îáçîðà ñì. [20,7886] è ëèòåðàòóðóöèòèðóåìóþ â íèõ). Äëÿ îïèñàíèÿ ïîäîáíûõ ÿâëåíèé áûë âûäâèíóò öåëûéðÿä ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ìîäåëåé, òàêèõ, íàïðèìåð, êàê ìîäåëè Èäåíà [83],ÝäâàðäñàÂèëêèíñîíà [84], îãðàíè÷åííûå ìîäåëè òâåðäîå òåëî-íà òâåðäîìòåëå [85], áàëëèñòè÷åñêîå âûïàäåíèå [86] è äðóãèå.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî âñå ïåðå÷èñëåííûå ïðîöåññû èìåþò âàæíóþ îáùóþ÷åðòó: íà äîñòàòî÷íî áîëüøèõ (â ñðàâíåíèè ñ ðàçìåðàìè ñîñòàâëÿþùèõ ñèñòåìó ÷àñòèö) ðàññòîÿíèÿõ è âðåìåííûõ ìàñøòàáàõ âñå îíè îáíàðóæèâàþò ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå (ñòåïåííûå çàâèñèìîñòè êîððåëÿòîðîâ è ôóíêöèé îòêëèêà) ñ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûìè (íå çàâèñÿùèì îò îñîáåííîñòåéêîíêðåòíîãî ïðîöåññà) ñêåéëèíãîâûìè ïîêàçàòåëÿìè.
Êàê îáñóæäàëîñü âûøå, ïîõîæåå ïîâåäåíèå äåìîíñòðèðóþò êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ðàçëè÷íûõ ñèñòåì, íàõîäÿùèõñÿ â îêðåñòíîñòè ñâîèõ òî÷åê ôàçîâîãî ïåðåõîäàâòîðîãî ðîäà [1, 2].  ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ èõ îïèñàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ õîðîøîðàçâèòàÿ òåõíèêà ðåíîðìãðóïïîâîãî àíàëèçà óïðîùåííûõ ýôôåêòèâíûõìîäåëåé, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò óñïåøíî óñòàíîâèòü íàëè÷èå è òèï ôàçîâîãîïåðåõîäà, à òàêæå äàòü íàäåæíûå îöåíêè êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ.Ïîäîáíàÿ àíàëîãèÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîäâîäèò ê èäåå îïèñàíèÿóíèâåðñàëüíûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïðîöåññîâ ðîñòà íà îñíîâå îïðåäåëåííûõ óïðîùåííûõ ìîäåëåé äëÿ ñãëàæåííîãî ïîëÿ âûñîòû ãðàíèöû.Îäíàêî, â îòëè÷èå îò òåîðèè êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ, ãäå áîëüøèíñòâî òèïè÷íûõ ñèñòåì ïðèíàäëåæàò êëàññó óíèâåðñàëüíîñòè, îïèñûâàåìîìó êëàññè÷åñêîé ìîäåëüþ ϕ4 èëè åå ìîäèôèêàöèÿìè, â êà÷åñòâå êðóïíî-çåðíèñòîéìîäåëè ðîñòà îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü Êàäàðà-Ïàðèçè-Çàíãà [19], çà-79äàâàåìàÿ ñòàõîñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì:∂t h = ν ∂ 2 h + λ(∂h)2 /2 + f,(3.1)à òàêæå åå ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè, íàèëó÷øèì ñïîñîáîì ó÷èòûâàþùèåãëîáàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû.
Çäåñü è âñþäó äàëåå h(x) = h(t, x)îáîçíà÷àåò ïîëå âûñîòû ãðàíèöû, çàâèñÿùåå îò âðåìåíè è d-ìåðíîé êîîðäèíàòû ïîäëîæêè x; f (x) = f (t, x) îáîçíà÷àåò ñëó÷àéíûé øóì. îðèãèíàëüíîé ðàáîòå [19] â êà÷åñòâå øóìà èñïîëüçîâàëñÿ òàê íàçûâàåìûé òåïëîâîé øóì Ãàóññîâ ñëó÷àéíûé øóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì èïàðíûì êîððåëÿòîðîì, çàäàâàåìûì ñîîòíîøåíèåì:hf (x)f (x0 )i = 2D0 δ(t − t0 )δ (d) (x − x0 )(3.2)ñ ïîëîæèòåëüíûì àìïëèòóäíûì ìíîæèòåëåì D0 > 0. Ñèìâîë h. . .
i îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå ïî ãàóññîâó ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîãî øóìà. Ñ òî÷êèçðåíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ðîñòà äàííûé øóì ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àéíûìíåîäíîðîäíîñòÿì â âûïàäåíèè ñóáñòàíöèè, ãðàíèöà êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ, íàïðèìåð íåîäíîðîäíîñòü â âûïàäåíèè îñàæäàþùåãîñÿ íà ïîäëîæêóâåùåñòâà, èëè îñàäêîâ, â ñëó÷àå ìîäåëåé ýðîçèè.Ïîçäíåå, â ðàáîòå [20], ïîñâÿùåííîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè ýðîçèèëàíäøàôòîâ, áûë ïîäíÿò âîïðîñ î âûáîðå øóìà, ëó÷øå âñåãî îïèñûâàþùåãî âñå òî ðàçíîîáðàçèå ïðîöåññîâ, êîòîðîå ïðèâîäèò ê ðàçìûâàíèþ ðå÷íûõè îêåàíè÷åñêèõ ëàíäøàôòîâ.
Îäíèì èç âîçìîæíûõ øóìîâ áûë ïðåäëîæåí,òàê íàçûâàåìûé, çàìîðîæåííûé øóì [87], íå çàâèñÿùèé ÿâíî îò âðåìåíè.Äàííûé øóì òàê æå çàäàåòñÿ Ãàóññîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ñ êîððåëÿòîðîì:hf (x, h)f (x0 , h0 )i = 2F (h − h0 )δ (d) (x − x0 ).(3.3)80Òàêàÿ ôîðìà øóìà ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü ðàçëè÷íûå íåîäíîðîäíîñòè èçó÷àåìîé ñóáñòàíöèè, âëèÿþùèå íà ðîñò åå ãðàíèöû. Íàïðèìåð, ñ òî÷êè çðåíèÿíàèáîëåå íàãëÿäíîé ìîäåëè ýðîçèè ëàíäøàôòîâ, äàííûé øóì ïîçâîëÿåò çàñ÷åò âûáîðà êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèîíàëà F ó÷èòûâàòü ñëó÷àéíûå íåîäíîðîäíîñòè ïî÷âû, âëèÿþùèå íà åå ñêëîííîñòü ê ýðîçèè.
Òåì íå ìåíåå,äàæå â ñëó÷àå êîãäà ôóíêöèîíàë F âûáðàí â âèäå δ -ôóíêöèè:hf (x, h)f (x0 , h0 )i = 2D0 δ(h − h0 )δ (d) (x − x0 ),(3.4)äàííûé âèä øóìà îêàçûâàåòñÿ ñëèøêîì ñëîæíûì äëÿ ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ [20,88] (çäåñü ôóíêöèîíàëüíàÿ äåëüòà ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê δ(h − h0 ) ≡Qx δ [h(x)− h0 (x)]).  ðåçóëüòàòå â [20] îïðåäåëåíèåøóìà áûëî îñëàáëåíî è áûëà ïðåäëîæåíà ñëåäóþùàÿ ñòàòè÷åñêàÿ ôîðìàøóìà, ñ êîððåëÿòîðîì:hf (x)f (x0 )i = 2D0 δ (d) (x − x0 ).(3.5)Îòìåòèì, ÷òî çäåñü x = (x, t), ò.å. çàäà÷à ñîõðàíÿåò ñâîþ äèíàìèêó.
Îïðåäåëåííûé òàêèì îáðàçîì øóì îïèñûâàåò ñèòóàöèþ, â êîòîðîé âíåøíåå âîçäåéñòâèå íà ñóáñòàíöèþ, ãðàíèöà êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ, â ñðåäíåì ïîñòîÿííî, è èñòî÷íèêîì øóìà ñëóæèò òîëüêî íåîäíîðîäíîñòü ñàìîé ñóáñòàíöèè. ðàìêàõ ìîäåëè ýðîçèè ëàíäøàôòîâ äàííûé øóì èñïîëüçîâàëñÿâìåñòå ñ ðàçëè÷íûìè ìîäèôèêàöèÿìè ìîäåëè ÊÏÇ äëÿ èçó÷åíèÿ ýâîëþöèèðå÷íîãî ðåëüåôà ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [89, 90], à òàê æå âðàìêàõ ïîäõîäà ôóíêöèîíàëüíîé (íåïåðòóðáàòèâíîé) ðåíîðìãðóïïû [26]. ðåçóëüòàòå äàííûõ èññëåäîâàíèé áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî âûáîð êîíêðåòíîé ôîðìû øóìà èìååò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäå-81íèå ìîäåëè: ïåðåõîä îò òåïëîâîãî ê ñòàòè÷åñêîìó øóìó ìîæåò ïðèâåñòèê ñìåíå êëàññà óíèâåðñàëüíîñòè, ê êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò èçó÷àåìàÿ ìîäåëü. Êàê èòîã, èíôðàêðàñíîå ïîâåäåíèå ìîäåëåé çàäàâàåìûõ îäíèì è òåìæå ñòîõàñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì, íî ñ ðàçëè÷íîé ôîðìîé êîððåëÿòîðà øóìàìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûìè ñêåéëèíãîâûìè (òàê æå íàçûâàåìûìè êðèòè÷åñêèìè, ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ)ïîêàçàòåëÿìè.3.2.Êâàíòîâîïîëåâàÿ ôîðìóëèðîâêà ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé äàííîé ðàáîòå ìåòîäàìè êâàíòîâîïîëåâîé ðåíîðìãðóïïû áóäóò èçó÷àòüñÿ ÷åòûðå ìîäåëè òèïà (3.1) ñî ñòàòè÷åñêèì øóìîì (3.5).
Ïîýòîìóäëÿ ïîëíîòû èçëîæåíèÿ ïðèâåäåì êðàòêóþ èíôîðìàöèþ îá îáùèõ ñâîéñòâàõ ñòîõàñòè÷åñêèõ çàäà÷ äàííîãî òèïà è ìåòîäå èõ ïåðåôîðìóëèðîâêè â âèäå íåêîòîðîé ìîäåëè êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, ïîâåäåíèå êîòîðîé, âäàëüíåéøåì ìîæåò èçó÷àòüñÿ ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè. Äåòàëüíîå îïèñàíèå äàííîãî ïîäõîäà ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð â [1].Ñòàíäàðòíàÿ çàäà÷à ñòîõàñòè÷åñêîé äèíàìèêè â îáùåì ñëó÷àå ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂t h(x) = U (x, h) + f (x),hf (x)f (x0 )i = D(x, x0 ).(3.6)Çäåñü h(x) èçó÷àåìîå ïîëå, U (x, h) îáîçíà÷àåò çàäàííûé ëîêàëüíûé ïîâðåìåíè è íå ñîäåðæàùèé ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ ïî âðåìåíè ôóíêöèîíàë, f (x) Ãàóññîâî ðàñïðåäåëåííûé ñëó÷àéíûé øóì ñ íóëåâûì ñðåäíèì, çàäàâàåìûé êîððåëÿòîðîì D(x, x0 ). Ôóíêöèîíàë:U (h) = Lh + n(h)(3.7)82ñîñòîèò èç íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ïî ïîëþ âêëàäà, çàäàþùåãîñÿ îïåðàöèåé L, è âêëàäà íåëèíåéíûõ ïî ïîëþ ÷ëåíîâ n(h).
Âû÷èñëÿåìûìè îáúåêòàìè â ðàìêàõ òàêîé çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîëÿ hh(x1 ) . . . h(xk )i, à òàêæå ôóíêöèè îòêëèêà ïîëÿ íà âíåøíþþ ñèëóhδ m h(x1 ) . . . h(xk )/δf (x01 ) . . . δf (x0m ))i. Ëèíåéíàÿ ÷àñòü çàäà÷è (3.6) ìîæåòáûòü ðåøåíà òî÷íî:h = ∆12 [f + n(h)](3.8)ñ ïîìîùüþ çàïàçäûâàþùåé ôóíêöèè Ãðèíà ∆12 ≡ (∂t − L)−1 . Ïîñëå ýòîãî ó÷åò íåëèíåéíîñòè n(h) îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî òåîðèè âîçìóùåíèé ïóòåìèòåðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (3.6). Ïðè âûïîëíåíèè äàííîé ïðîöåäóðû ìîæíî ââåñòè ãðàôè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ, ñõîäíûå ñ îáîçíà÷åíèÿìè ââîäèìûìèäëÿ Ôåéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì â òåîðèè ïîëÿ. Åñëè, íàïðèìåð, îáîçíà÷èòüôóíêöèþ Ãðèíà ∆12 ëèíèåé ñ ÷åðòîé íà îäíîì èç êîíöîâ, à âêëàäàì íåëèíåéíîñòè n(h) ñîïîñòàâèòü âåðøèíû ñ âåðøèííûìè ìíîæèòåëÿìè îïðåäåëÿåìûìè ïî ïðàâèëó (1.9), òî ðåøåíèå h(x) óðàâíåíèÿ (3.6) ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ðÿäà äåðåâüåâ ñ êîðíåì â òî÷êå x è ñëó÷àéíûì øóìîì f íà êîíöå âñåõ âåòâåé.
Òîãäà êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåìíîæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëàïîäîáíûõ áåñêîíå÷íûõ ñóìì è óñðåäíåíèÿ ïî ñëó÷àéíîé ñèëå. Ïðè ýòîìäèàãðàììû â êîòîðûå ñëó÷àéíûé øóì âõîäèò íå÷åòíîå ÷èñëî ðàç çàíóëÿòñÿ. Òàêæå â ðåçóëüòàòå äàííîãî óñðåäíåíèÿ ïîÿâèòñÿ íîâûé ãðàôè÷åñêèéýëåìåíò:∆11 ≡ ∆12 D∆T12 ,(3.9)äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîòîðîãî íåîáõîäèìî ââåñòè åùå îäèí òèï ëèíèè.
Àíàëî-83ãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷àþòñÿ è ðàçëîæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé îòêëèêà.Ïîëó÷åííûå äèàãðàììíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî áóêâàëüíî îòîæäåñòâèòü ñ äèàãðàììíûìè ðàçëîæåíèÿìè ôóíêöèé Ãðèíà íåêîòîðîé ïîëåâîéìîäåëè âèäà (1.2), ñ äîïîëíèòåëüíûì ïîëåì h0 (x), êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåòíóëåâîé ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð hh0 h0 i0 . Òîãäà ôóíêöèè Ãðèíà ∆12 äîëæåíáûòü ñîïîñòàâëåí ñâîáîäíûé ïðîïàãàòîð hhh0 i0 , à ôóíêöèè ∆11 ñâîáîäíûéïðîïàãàòîð hhhi0 .Äëÿ îáîñíîâàíèÿ äàííîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññìîòðèì ïðîèçâîäÿùèéôóíêöèîíàë G(a) êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ïîëÿ h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
