Диссертация (1150670), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ïîäîáíûå ìîäèôèêàöèè âêëþ÷àþò â ñåáÿ ìîäåëè â êîòîðûõ ïîëåh èìååò òåíçîðíóþ ïðèðîäó [9496], ìîäåëè ñ èçìåíåííîé ôîðìîé íåëèíåéíîñòè (íåêîòîðûå èç íèõ áóäóò ðàññìîòðåíû ïîäðîáíåå â ñëåäóþùèõðàçäåëàõ), ìîäåëè, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàëñÿ øóì ñ êîíå÷íûì âðåìåíåìêîððåëÿöèé [25, 97]. äàííîì ðàçäåëå â ðàìêàõ îäíîïåòëåâîãî àíàëèçà ðàññìàòðèâàåòñÿìîäåëü (3.1) ñî ñòàòè÷åñêèì ñëó÷àéíûì øóìîì (3.5).
Ñîãëàñíî îáùåìóóòâåðæäåíèþ äàííàÿ ìîäåëü ýêâèâàëåíòíà òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè äâóõïîëåé Φ = {h, h0 } ñ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ òèïà (3.16) êîòîðûé â äàííîìñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä:1S(Φ) = h0 D0 h0 + h0 (−∂t h + ν0 ∂ 2 h + (∂h)2 ).2(4.1)Çäåñü êîýôôèöèåíò ν0 > 0, à ïàðàìåòð λ0 , âõîäèâøèé â ñòîõàñòè÷åñêîåóðàâíåíèå (3.1) ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå. Çàòðàâî÷íûå ïðîïàãàòîðûäàííîé ìîäåëè, îïðåäåëÿåìûå ñâîáîäíîé ÷àñòüþ äåéñòâèÿ (4.1), â ÷àñòîòíîèìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè äàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:−1hhh0 i0 = hh0 hi∗0 = −iω + ν0 k 2,hhhi0 = 4D0 πδ(ω)/ν02 k 4 .(4.2)Íàëè÷èå ïðîèçâîäíîé â íåêâàäðàòè÷íîé ïî ïîëÿì ÷àñòè äåéñòâèÿ92ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ âåðøèíû â äèàãðàììàõ:hh0 hhi0 = −p · q,(4.3)ãäå p è q - èìïóëüñû ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëÿì h.
Ðîëü êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ, ÿâëÿþùåéñÿ ïàðàìåòðîì ðàçëîæåíèÿ â òåîðèè âîçìóùåíèé, èãðàåòïàðàìåòð, îïðåäåëÿåìûé èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè êàê g0 = D0 /ν04 . Òðåáîâàíèå ñòàáèëüíîñòè ìîäåëè íàêëàäûâàåò óñëîâèå g > 0 íà ôèçè÷åñêèåçíà÷åíèÿ êîíñòàíòû âçàèìîäåéñòâèÿ.4.1.2.Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà òàáëèöå 4.1 ïðåäñòàâëåíû êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè (4.1), à òàêæå ðåíîðìèðîâî÷íîé ìàññû µ.
Âèäíî, ÷òî ìîäåëü ëîãàðèôìè÷íà ïðè d = 4. Ïðè àíàëèçå ôóíêöèé Ãðèíà ìîäåëè íàíàëè÷èå â íèõ ïîâåðõíîñòíûõ ÓÔ ðàñõîäèìîñòåé íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü÷òî â äåéñòâèè (4.1) ïîëå h âõîäèò â âåðøèíó h0 (∂h)2 /2 òîëüêî â ôîðìåïðîñòðàíñòâåííîé ïðîèçâîäíîé. Ïîýòîìó ëþáîå ïîÿâëåíèå h â êàêîé-ëèáîôóíêöèè Γ ïðèâîäèò ê âûäåëåíèþ åãî èìïóëüñà â êà÷åñòâå âíåøíåãî ìíîæèòåëÿ è ðåàëüíûé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè äàåòñÿ âûðàæåíèåì δΓ00 = δΓ0 − Nh .Áîëåå òîãî, h ìîæåò âîçíèêíóòü â ñîîòâåòñòâóþùåì êîíòð÷ëåíå òîëüêîâ ôîðìå ïðîèçâîäíîé.  ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ìîäåëüÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìîé, à ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ñîäåðæàòñÿ òîëüêî â 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ: hh0 hhi1−í , hh0 hi1−í ,hh0 h0 i1−í .
Äèàãðàììû ïîñëåäíåé ðàñõîäÿòñÿ çà ñ÷åò ïðèñóòñòâèÿ â íèõ δ ôóíêöèè îò âíåøíåé ÷àñòîòû. äàííîì ðàçäåëå èñïîëüçóåòñÿ ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ â ðàìêàõ93Òàáëèöà 4.1. Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ â ìîäåëè (4.1).Fh0hν0g0µdωF−11100dkFd+2−2−24−d1dFd004−d1êîòîðîé âñå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè â ôóíêöèÿõ Ãðèíà ïðåäñòàþò â âèäå ïîëþñîâ ïî îòêëîíåíèþ ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà îò åãî ëîãàðèôìè÷åñêîãîçíà÷åíèÿ, â äàííîì ñëó÷àå ðàâíîãî ε = 4 − d.Ðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî (4.1) ïåðåíîðìèðîâêîé ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè:h → Zh h,h0 → Zh0 h0 ,ν0 → νZnu ,D0 → D = Zg Zν4 gν 4 µε(4.4)è èìååò âèä:000SR (Φ) = Z1 h Dh + h12−∂t h + Z2 ν∂ h + Z3 (∂h) .22(4.5)Îòñþäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå íóìåðîâàííûå êîíñòàíòû ñêîíñòàíòàìè ïåðåíîðìèðîâêè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè:Zg = Z1 Z2−4 Z32 ,Zν = Z2 ,Zh = Zh−10 = Z3 .(4.6)Êîíñòàíòû Zi âû÷èñëÿþòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç òðåáîâàíèÿ ñîêðàùåíèÿðàñõîäèìîñòåé â äèàãðàììíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ôóíêöèé Ãðèíà.
Äëÿ óäîáñòâà äàëåå âñþäó ñäåëàíà çàìåíà g → gS4 /(2π)4 . Çäåñü è âñþäó äàëååSd = 2π d/2 /Γ(d/2) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè åäèíè÷íîé ñôåðû â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè d. Òîãäà îäíîïåòëåâîå âû÷èñëåíèå äàåò:gZ1 = 1 − ,εZ2 = Z3 = 1 +g.2ε(4.7)944.1.3.Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êèÐà ôóíêöèè ìîäåëè â ðàìêàõ ñõåìû MS îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìèñîîòíîøåíèÿìè (1.21), (1.26).
 ðåçóëüòàòå èìååì:γν = −g/4,βg = −g(g + ε).(4.8)Àíàëèç äàííîãî âûðàæåíèÿ îáíàðóæèâàåò äâå íåïîäâèæíûõ òî÷êè.Ãàóññîâà (ñâîáîäíàÿ) íåïîäâèæíàÿ òî÷êà:g ∗ = 0,ω = −ε.(4.9)ω = ε.(4.10)Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà:g ∗ = −ε,Òî÷êà (4.10) ÿâëÿåòñÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé â ôèçè÷åñêè èíòåðåñíîéðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà d = 2, íî ïðè ýòîì ëåæèò â íåôèçè÷åñêîé îáëàñòè çíà÷åíèé (ò.ê. g ∗ < 0), ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ ìîäåëè ÊÏÇ [19].4.1.4.Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòèÊðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ∆F íåêîòîðîé ÈÊ ñóùåñòâåííîé âåëè÷èíûF ìîæåò áûòü íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîäõîäà.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ðåíîðìãðóïïû â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå (1.46), à òàêæåäâà ñîîòíîøåíèÿ òèïà (1.47), âûðàæàþùèõ ìàñøòàáíóþ èíâàðèàíòíîñòüâåëè÷èíû F îòíîñèòåëüíî ðàñòÿæåíèé êîîðäèíàò è âðåìåíè. Òàê êàê íàñèíòåðåñóåò àñèìïòîòèêà áîëüøèõ âðåìåí è ðàññòîÿíèé, òî ïðè îïèñàíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñêåéëèíãà ïàðàìåòðû µ è ν ñ÷èòàþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè,à çíà÷èò ïðîèçâîäíûå ïî íèì äîëæíû áûòü èñêëþ÷åíû èç ýòèõ óðàâíåíèé.95 êóïå ñ íîðìèðîâî÷íûì óñëîâèåì ∆k = 1 â èòîãå ïîëó÷àåì:∆F = dkF + ∆ω dωF + γF∗ ,(4.11)ãäå êðèòè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ÷àñòîòû âûðàæàåòñÿ êàê:∆ω = 2 − γν∗ .(4.12)Òîãäà èç òàáëèöû 4.1 äëÿ ðàçìåðíîñòåé ïîëåé íàõîäèì:∆h = −2 + ∆ω + γh∗ ,∆h0 = d + 2 − ∆ω + γh∗ .(4.13)Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (4.8)-(4.10) â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè ïîëó÷àåì∆h = 0,∆ω = 2(4.14)∆ω = 2 − ε/4(4.15)∆h0 = d,äëÿ ãàóññîâîé íåïîäâèæíîé òî÷êè è∆h = 0,∆h0 = d,äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè (4.10).4.2.Áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ðîñòà.4.2.1.Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëèÎäíà èç âîçìîæíûõ ìîäèôèêàöèé ìîäåëè ÊÏÇ áûëà ïðåäëîæåíà âðàáîòå [98].
 ÷àñòíîñòè, áûëî ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü ìîäåëü çàäàâàåìóþ óðàâíåíèåì:∂t h = ν0 ∂ 2 h + ∂ 2 h2 /2 + f.(4.16)Åñëè ðàñêðûòü ïðîèçâîäíóþ â íåëèíåéíîé ÷àñòè ∂ 2 h2 = 2(∂h)2 + 2h∂ 2 h,òî ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóòü äàííîé ìîäèôèêàöèè ñâîäèòñÿ ê äîáàâëåíèþ96ñëó÷àéíîé ïîïðàâêè, ê ÷ëåíó îïèñûâàþùåìó ðåëàêñàöèþ çà ñ÷åò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Îäíàêî, êàê áûëî óêàçàíî â ðàáîòå [22], ïîäîáíàÿìîäåëü íå ÿâëÿåòñÿ ðåíîðìèðóåìîé, ïîñêîëüêó íåëèíåéíîñòü â (4.16) íåèçáåæíî ïîðîæäàåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîíòð÷ëåíîâ âèäà ∂ 2 hn .  ñèëó äàííîãî ôàêòà, äëÿ êîððåêòíîãî àíàëèçà ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùóþìîäèôèêàöèþ ìîäåëè (4.16):∂t h = ν0 ∂ 2 h + ∂ 2 V (h) + f,(4.17)ãäå ôóíêöèÿ V (h) çàäàåòñÿ ñâîèì ðÿäîì Òåéëîðà:V (h) =∞Xλn0 hnn=2n!.(4.18)Íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå â ïîäîáíîé ìîäåëè áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà êîíñòàíò ðåíîðìèðîâêè, â [22] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå òåïëîâîãî ñëó÷àéíîãîøóìà îíà ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìîé, à òàêæå áûë ïðåäëîæåí ñïîñîá ÿâíîãî âû÷èñëåíèÿ îäíîïåòëåâîãî êîíòð÷ëåíà.
 ðåçóëüòàòåäàííîãî àíàëèçà áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî íà îäíîïåòëåâîì óðîâíå â ìîäåëèèìååòñÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê, íà êîòîðîé ìîãóòáûòü ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå îáëàñòè. Åñëè îíè äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò, ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ìîäåëü ìîæåò ïðîÿâëÿòü ÈÊ ñêåéëèíã ñ íåóíèâåðñàëüíûìèêðèòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò äâóõ ïàðàìåòðîâ, çàäàþùèõ êîîðäèíàòû êîíêðåòíîé íåïîäâèæíîé òî÷êè â äàííîéîáëàñòè. íàñòîÿùåì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü (4.17) ñî ñëó÷àéíûìøóìîì (3.5).
 äàííîì àíàëèçå ìû áóäåì ñëåäîâàòü ñõåìå ðåíîðìèðîâêè,èçëîæåííîé â ðàáîòå [22]. Ôóíêöèîíàë äåéñòâèÿ òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè97ýêâèâàëåíòíîé äàííîé ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷å áóäåò èìåòü âèä:(S(Φ) = h0 h0 + h0−∂t h + ν0 ∂ 2 h + ∂ 2∞Xλn0 hnn=2),n!(4.19)ãäå ðîëü áåñêîíå÷íîãî íàáîðà êîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ èãðàþò ïàðàìåòðû,âèä êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ðàçìåðíûìè ñîîáðàæåíèÿìè êàê:gn0 = λn0 ν0−n .4.2.2.(4.20)Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêà òàáëèöå 4.2 ïðåäñòàâëåíû êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ èçó÷àåìîé ìîäåëè. Âèäíî, ÷òî â ðàçìåðíîñòè d = 4 âåñü áåñêîíå÷íûé íàáîð êîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ îäíîâðåìåííî ñòàíîâèòñÿ áåçðàçìåðíûì, òî åñòü äàííàÿ ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè. Àíàëèç ðàçìåðíîñòè ïîëåé h, h0 , à òàêæå äîïîëíèòåëüíûé ó÷åò ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé âî âñå âåðøèíû, ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî ïîâåðõíîñòíûå ÓÔ ðàñõîäèìîñòè ñîäåðæàòñÿ âî âñåõ1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ Ãðèíà, ñîäåðæàùèõ îäíî ïîëå h0 è ëþáîå êîëè÷åñòâî ïîëåé h.
Ïðè ýòîì êîíòð÷ëåíû âî âñåõ ñëó÷àÿõ èìåþò âèä (∂ 2 h0 )hn .Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííîé, â ñèëó áåçðàçìåðíîñòè ïîëÿ h âëîãàðèôìè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà.Òàêèì îáðàçîì, òàê æå êàê è â ðàáîòå [22] ìîäåëü îêàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìà. Ðåíîðìèðîâàííîå äåéñòâèå èìååò âèä:(SR (Φ) = h0 h0 + h0−∂t h + Z1 ν∂ 2 h + ∂ 2∞XZn λn hnn=2)n!.(4.21)È ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïåðåíîðìèðîâêîé ïàðàìåòðîâ:ν0 → νZν ,λn0 → λn = µε(n−1)/2 Zgn Zν−n gn ν n ,(4.22)98Òàáëèöà 4.2. Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ â ìîäåëè(4.19).Fh0hν0λn0gn0µdωF1−11n00dkFd/2d/2−2−2 − (n − 1)d/2(1 − n)(d − 4)/21dFd/2 + 2d/2 − 20(1 − n)(d − 4)/2(1 − n)(d − 4)/21ãäå µ ðåíîðìèðîâî÷íàÿ ìàññà.
Ñâÿçü íóìåðîâàííûõ êîíñòàíò ñ êîíñòàíòàìè ðåíîðìèðîâêè ïàðàìåòðîâ äàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:Zν = Z1 ,Zgn = Zn Z1−n .(4.23) äàííîì ðàçäåëå èñïîëüçóåòñÿ ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ ñ ε = 4 − d.Ðàññìîòðèì ïåòëåâîå ðàçëîæåíèå 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèé Ãðèíà[1]:ΓR (Φ) =∞XΓ(p) (Φ).(4.24)p=0Êàê óæå óïîìèíàëîñü ðàíåå, áåñïåòëåâîé âêëàä â ýòî ðàçëîæåíèå ïðåäñòâàëÿåò ñîáîé ïðîñòî áàçîâîå äåéñòâèå ìîäåëè Γ(0) (Φ) = SB (Φ). Ñëåäóþùèé,îäíîïåòëåâîé, âêëàä â äàíîå ðàçëîæåíèå äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:Γ(1) (Φ) = −(1/2)T r ln(W/W0 ).(4.25)W (x, y) = −δ 2 SR (Φ)/δΦ(x)δΦ(y),(4.26)Çäåñü:à W0 - àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòè äåéñòâèÿ.
Äëÿ âíóò(n−1)ðåííåé ñàìîñîãëàñîâàííîñòè ïðèáëèæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü ÷òî gn ' g2.Îïåðàöèÿ W åñòü îáðàòíûé ïðîïàãàòîð ìîäåëè, â êîòîðûé êðîìå îïåðàöèè99(1.8) âêëþ÷åíà òàê æå îïåðàöèÿ îáðàòíàÿ ê δ 2 V (Φ)/δΦ(x)δΦ(y). ÏîýòîìóD = W −1 åñòü íè ÷òî èíîå, êàê îáûêíîâåííûé ïðîïàãàòîð ìîäåëè (4.21)ñ Z = 1 è ñ âûðàæåíèåì ν∂ 2 + ∂ 2 V 00 , ñòîÿùèì âñþäó âìåñòî ν∂ 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
