Диссертация (1150670), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïðè ýòîì íàñ èíòåðåñóåò àñèìïòîòèêà áîëüøèõ âðåìåí è ðàññòîÿíèé, ïîýòîìó ïðè îïèñàíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñêåéëèíãà ôèêñèðîâàííûìè108ñ÷èòàþòñÿ ïàðàìåòðû µ, νk è ν⊥ . Ïðîèçâîäíûå ïî íèì äîëæíû áûòü èñêëþ÷åíû èç ýòèõ óðàâíåíèé.  êóïå ñ íîðìèðîâî÷íûì óñëîâèåì ∆k⊥ = 1 âèòîãå ïîëó÷àåì:kω∗∆F = d⊥F + dF ∆k + ∆ω dF + γF ,(4.56)∆ω = 2 − γν∗⊥ ,(4.57)ãäå∆k = 1 + γν∗k /2.Ïîëüçóÿñü äàííûìè îïðåäåëåíèÿìè, â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè íàõîäèìäëÿ ãàóññîâîé òî÷êè:∆h = 1,∆h0 = 5 − ε,∆ω = 2,∆k = 1(4.58)è äëÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êè (4.55)∆h = 1 − 3ε/8,∆h0 = 5 + 5ε/8,∆ω = 2,∆k = 1 + ε/4.(4.59)Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ â ìîäåëè è áûëà îáíàðóæåíà ÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, îöåíêè íà êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëó÷àåìûå íàîñíîâå îäíîïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ â ôèçè÷åñêè èíòåðåñíîé ðàçìåðíîñòèd = 2 åäâà ëè ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ íàäåæíûìè. Ïðè÷èíà ñîñòîèò â òîì, ÷òîâ äàííîé ðàçìåðíîñòè ôîðìàëüíûé ïàðàìåòð ðàçëîæåíèÿ ε îêàçûâàåòñÿîòíþäü íå ìàë, à ïîòîìó ó÷åò ñëåäóþùèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèéè àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäîâ ïî ïàðàìåòðó ε ìîæåòñóùåñòâåííî ñêàçàòüñÿ íà õàðàêòåðå ÈÊ óñòîé÷èâîñòè äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè è ÷èñëåííûõ îöåíêàõ êðèòè÷åñêèõ ðàçìåðíîñòåé. ñèëó âûøåñêàçàííîãî, ìû ìîæåì çàêëþ÷èòü ëèøü, ÷òî â ôèçè÷åñêèèíòåðåñíîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà d = 2 â ìîäåëè èìååòñÿ ôèêñèðîâí-109íàÿ òî÷êà, ïîòåíöèàëüíî ñïîñîáíàÿ îòâå÷àòü çà ñêåéëèíã.
Îäíàêî äëÿ íàäåæíîãî óñòàíîâëåíèÿ åå ÈÊ õàðàêòåðèñòèê â äàííîé ðàçìåðíîñòè òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèå ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé, àñèìïòîòè÷åñêèéàíàëèç èõ êîýôôèöèåíòîâ è ïðèìåíåíèå ïîäõîäÿùèõ òåõíèê ñóììèðîâàíèÿ.4.4.Áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ýðîçèè ëàíäøàôòîâ4.4.1.ÌîäåëüÍåïîñðåäñòâåííîå èçìåðåíèå òîïîãðàôèè ëàíäøàôòîâ ïîêàçûâàåò,÷òî êðèòè÷åñêèé ïîêàçàòåëü îãðóáëåíèÿ χ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àåòñÿ íàðàçëè÷íûõ ìàñøòàáàõ [106, 107]. Íà ìàñøòàáàõ ìåíüøå îäíîãî êèëîìåòðàçíà÷åíèÿ äàííîãî ïîêàçàòåëÿ ëåæàò â èíòåðâàëå 0.3 − 0.5, â òî âðåìÿ êàêíà áîëüøèõ ìàñøòàáàõ îí äîñòàòî÷íî ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò è ïîïàäàåòâ èíòåðâàë 0.7 − 0.8.
 ðàáîòàõ [20, 21] àâòîðû ñâÿçàëè äàííîå ÿâëåíèå ññóùåñòâåííûì âëèÿíèåì àíèçîòðîïèè íà ìàëûõ ìàñøòàáàõ. Íà ìàñøòàáàõáîëüøå îäíîãî êèëîìåòðà ëàíäøàôò îáû÷íî íå èìååò âûäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ íàêëîíà è ïîýòîìó ìîæåò îïèñûâàòüñÿ èçîòðîïíîé ìîäåëüþ òèïàÊÏÇ. Çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ îãðóáëåíèÿ, ïðåäñêàçûâàåìûå òàêèìè ìîäåëÿìè, íàõîäÿòñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Íàìàñøòàáàõ æå ìåíüøèõ ÷åì îäèí êèëîìåòð, ìîæåò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííîé, íàïðèìåð, õîëìèñòàÿ ïðèðîäà ìåñòíîñòè: íàïðàâëåíèå âäîëü ñêëîíàîêàçûâàåòñÿ âûäåëåííûì äëÿ ïîòîêà, ïåðåíîñÿùåãî âåùåñòâî.
Äàííûé ýôôåêò ìîæåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòü êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ìîäåëè.110 ðàáîòàõ [20, 21] áûëà ïðåäëîæåíà àíèçîòðîïíàÿ ìîäåëü, îïèñûâàþùàÿ ïðîöåññû ïåðåíîñà íà ìàëûõ ìàñøòàáàõ.  êà÷åñòâå ñèììåòðèè ìîäåëèàâòîðû âûáðàëè xk , h, f → −xk , −h, −f , ÷òî îòëè÷àåò åå îò ìîäåëè ÕóàÊàðäàðà (4.41) è ïðèâîäèò ê äðóãîé ôîðìå íåëèíåéíîñòè.
 ðåçóëüòàòåäàííàÿ ìîäåëü çàäàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì:λ∂t h = ν⊥ ∂⊥2 h + νk ∂k2 h + ∂k2 h3 + f.3(4.60)Òàê êàê íàïðàâëåíèå íàêëîíà â äàííîé ìîäåëè ôèêñèðîâàííî, îíà ïðèìåíèìà òîëüêî ëîêàëüíî, íà ìàñøòàáå íåêîòîðîãî êîíêðåòíîãî ñêëîíà. ÐÃàíàëèç ìîäåëè áûë âûïîëíåí àâòîðàìè [20, 21].
Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû íàõîäèëèñü â õîðîøåì ñîãëàñèè ñ ðåçóëüòàòàìè íàáëþäåíèé. Îäíàêî, â ðàáîòå [23] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå òåïëîâîãî øóìà (3.2) òàêàÿìîäåëü íå ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ïåðåíîðìèðóåìîé, òàê êàê íåëèíåéíîñòü â (4.60) ïîðîæäàåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîíòð÷ëåíîâ âèäà ∂k2 hn . Ïîýòîìó â òîé æå ðàáîòå áûëî ñôîðìóëèðîâàíî áåñêîíå÷íî-çàðÿäíîå îáîáùåíèåìîäåëè ýðîçèè, çàäàþùååñÿ óðàâíåíèåì:∂t h = ν⊥ ∂⊥2 h + νk ∂k2 h + ∂k2 V (h) + f.(4.61)Òàêàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ïåðåíîðìèðóåìîé â òîì æåñìûñëå, ÷òî è ìîäåëü ðàññìîòðåííàÿ â ðàçäåëå 4.2.
Âûïîëíåííûé â [23]Ðà àíàëèç ìîäåëè ïðèâåë ê âûâîäó, ÷òî â ìîäåëè ñóùåñòâóåò äâóìåðíàÿïîâåðõíîñòü ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê, íà êîòîðîé ìîãóò áûòü ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå îáëàñòè, îòâåòñòâåííûå çà íåóíèâåðñàëüíûé êðèòè÷åñêèé ñêåéëèíã. Ïîçäíåå äàííûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîäòâåðæäåíû â ðàáîòå [26],ãäå áåñêîíå÷íî-çàðÿäíàÿ ìîäåëü ýðîçèè èññëåäîâàëàñü â ðàìêàõ ïîäõîäàíåïåðòóðáàòèâíîé ðåíîðìãðóïïû.  ðàìêàõ òîãî æå ïîäõîäà àâòîðû [26]111ðàññìîòðåëè è ìîäåëü (4.61) ñî ñòàòè÷åñêèì øóìîì (3.5).  äàííîì ñëó÷àåèìè áûëà îáíàðóæåíà ëèíèÿ ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê, òàê æå ïðèâîäÿùèõ êíåóíèâåðñàëüíîñòè êðèòè÷åñêîãî ïîêàçàòåëÿ îãðóáëåíèÿ. äàííîì ðàçäåëå ñòîõàñòè÷åñêàÿ çàäà÷à (4.61) ñî ñòàòè÷åñêèì øóìîì (3.5) èçó÷àåòñÿ ìåòîäîì êâàíòîâîïîëåâîé ðåíîðìãðóïïû â ðàìêàõ ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè.
Ýòà çàäà÷à ýêâèâàëåíòíà êâàíòîâîïîëåâîé ìîäåëèñ ôóíêöèîíàëîì äåéñòâèÿ:(S(Φ) = h0 h0 + h0−∂t h + ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + ∂k2∞Xλn0 hnn=2)n!(4.62).Ïðè ýòîì ðîëü áåñêîíå÷íîãî íàáîðà êîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ èãðàþò ïàðàìåòðû, âèä êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîáðàæåíèé ðàçìåðíîñòè êàê:(n+3)/4 3(n−1)/4.ν⊥0(4.63)λn0 = gn0 νk04.4.2.Óëüòðàôèîëåòîâàÿ ïåðåíîðìèðîâêàÊàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ èçó÷àåìîé ìîäåëèïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå 4.4. Ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèôìè÷íîé â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè d = 4. Àíàëèç ðàçìåðíîñòè ïîëåé h, h0 , ñ ó÷åòîì ïðîèçâîäíîé âõîäÿùåé âî âñå âåðøèíû, ïðèâîäèò ê âûâîäó, ÷òî ïîâåðõíîñòíûåÓÔ ðàñõîäèìîñòè ñîäåðæàòñÿ âî âñåõ 1-íåïðèâîäèìûõ ôóíêöèÿõ Ãðèíà, ñîäåðæàùèõ îäíî ïîëå h0 è ëþáîå êîëè÷åñòâî ïîëåé h.
Ïðè ýòîì êîíòð÷ëåíûâî âñåõ ñëó÷àÿõ èìåþò âèä (∂k2 h0 )hn .Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìîé, à ñîîòâåòñòâóþùåå ðåíîðìèðîâàíîå äåéñòâèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ôîðìå:(SR (Φ) = h0 h0 + h0−∂t h + ν⊥ ∂⊥2 h + Zk νk ∂k2 h + ∂k2∞XZn λn hnn=2n!).(4.64)112Òàáëèöà 4.4. Êàíîíè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ â ìîäåëè(4.62).Fh0hν⊥0νk0λn0g0µdωF1−111n00dF1/21/20−2−(n + 3)/200d⊥F(d − 1)/2(d − 1)/2−20(d − 1)(1 − n)/2(1 − n)(d − 4)/21dFd/2 + 2d/2 − 200(1 − n)(d − 4)/2(1 − n)(d − 4)/21kÎíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïåðåíîðìèðîâêîé ïàðàìåòðîâ:νk0 → νk Zνk ,(n+3)/4 3(n−1)/4 ε(n−1)/2µ,ν⊥λn0 → λn = Zgn Zν(n+3)/4gn νkk(4.65)ãäå µ ðåíîðìèðîâî÷íàÿ ìàññà, ε = 4 − d. Îòìåòèì, ÷òî ÷ëåí äåéñòâèÿ2ñ ïðîèçâîäíîé ∂⊥íå ðåíîðìèðóåòñÿ, ò.ê.
ïîëå h0 âñåãäà âõîäèò â ôóíêöèèÃðèíà òîëüêî â ôîðìå ïðîèçâîäíîé ∂k h0 . Ñâÿçü íóìåðîâàííûõ êîíñòàíò ñêîíñòàíòàìè ðåíîðìèðîâêè ïàðàìåòðîâ äàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:Zνk = Zk ,Zgn = Zn Z1−n(4.66)Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÿâíûõ îäíîïåòëåâûõ âûðàæåíèé äëÿ áåñêîíå÷íîãî íàáîðà êîíñòàíò ðåíîðìèðîâêè âîñïîëüçóåìñÿ ñõåìîé îïèñàííîé â ðàçäåëå4.2. Äëÿ âíóòðåííåé ñàìîñîãëàñîâàííîñòè ïðèáëèæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü ÷òî(n−1)gn ' g2. Ïîñêîëüêó âñå êîíòð÷ëåíû â èçó÷àåìîé ìîäåëè èìåþò âèä(∂k2 h0 )hn , òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü âûðàæåíèÿ (4.25) ìîæåò áûòü íàéäåíà âôîðìå ∂k2 h0 R(h).
Ýòî îçíà÷àåò ÷òî ìàòðèöó (4.26) ñíîâà äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü òîëüêî â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî åå hh ýëåìåíòó. Âîñïîëüçîâàâøèñüôîðìóëîé (4.29) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ëîãàðèôìè÷åñêîé ðàñõîäèìîñòè113êîíòð÷ëåíà ìîæíî èãíîðèðîâàòü íåîäíîðîäíîñòü âûðàæåíèé ∂k2 h0 (x) è h(x)ïîëó÷àåì äëÿ ðàñõîäÿùåéñÿ ÷àñòè D(hh) (x, x) ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:D(hh) (x, x) =Z Zdωdk4πδ(ω)=2(2π)d+1 (ν⊥ k⊥ + (νk + V 0 )kk2 )2Sd µ−ε2p=.(2π)d ε(ν⊥ (νk + V 0 ))(4.67) ðåçóëüòàòå, äëÿ ðàñõîäÿùåéñÿ ÷àñòè (4.25) ïîëó÷àåì:Sd µ−ε(1)LΓ (Φ) =(2π)d εV 00 (h(x))dx p∂ 2 h0 (x),0ν⊥ (νk + V (h(x)))Z(4.68)Ãäå L - êîíòð÷ëåííàÿ îïåðàöèÿ.
Ââåäÿ ïðåäñòàâëåíèå:∞nXV 00 (h(x))ε(n+1)/2 (n−1)/4 (n+3)/4 rn hp=µν⊥νk,n!ν⊥ (νk + V 0 (h(x))) n=0(4.69)è ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ïîëþñà ïî ε âõîäÿùèå â (4.69) è áåñïåòëåâûå âêëàäû â (4.25) ñîêðàùàëè äðóã äðóãà, ïîëó÷àåì êîíñòàíòû ðåíîðìèðîâêè âîäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè:Zk = 1 −r1 c,2εZn = 1 −rn c,gn 2ε(4.70)ãäå c ≡ 2S4 /(2π)4 ìíîæèòåëü, îïðåäåëÿþùèé íîðìèðîâêó êîíñòàíò ñâÿçè.4.4.3.Ðà ôóíêöèè è ôèêñèðîâàííûå òî÷êèÈç îáùåãî âûðàæåíèÿ (1.21) à òàê æå ñâÿçåé (4.66) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ β -ôóíêöèé è àíîìàëüíûõ ðàçìåðíîñòåé ìîäåëè:γν = cDg r1 /2;βn = −εãäå Dg ≡P∞n=2 (nn−1cgn + ngn γν − (Dg − n + 1)rn ,22− 1)gn ∂gn .(4.71)(4.72)114ßâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ rn íàõîäÿòñÿ èç îïðåäåëåíèé (4.27),(4.65), (4.68).
Îòìåòèì ÷òî êîýôôèöèåíò r0 íå äàåò âêëàäà â (4.69), òàê êàêñòîèò ïðè ïîëíîé ïðîèçâîäíîé âäîëü ïðîäîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ. Ïðèâåäåìÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ êîýôôèöèåíòîâ rn1r1 = g3 − g22 ,233r2 = g4 − g2 g3 + g23 ,243915r3 = g5 − 2g2 g4 − g32 + g22 g3 − g24 ,228154575105 55g .r4 = g6 − g2 g5 + g22 g4 − 5g3 g4 + g2 g32 − g23 g3 +224416 2Ïîäñòàâëÿÿ äàííûå âûðàæåíèÿ â (4.71), (4.72) äëÿ ðåíîðìãðóïïîâûõ ôóíêöèé ïîëó÷àåì:γk = c(2g3 − g22 ),(4.73)ε1111β2 = − g2 + c(−g4 + g2 g3 − g23 ),2242115β3 = −εg3 + c(−2g5 + 4g2 g4 + 6g32 − g22 g3 + g24 ),242767 2 45 275105 53εg ).β4 = − g4 + c(−2g6 + 5g2 g5 + g4 g3 − g4 g2 − g3 g2 + g23 g3 −224228 24.4.4.Êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòèÈç ÿâíîãî âèäà β -ôóíêöèé (4.73) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîèñêå êîîðäèíàòôèêñèðîâàííûõ òî÷åê, ìû ìîæåì âûáðàòü êîîðäèíàòû g2∗ è g3∗ ïðîèçâîëüíî, òîãäà êàê âñå gn∗ ñ n ≥ 4 áóäóò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòüñÿ ÷åðåç íèõ ñïîìîùüþ óðàâíåíèé βk (g2∗ , g3∗ ) = 0, k ≥ 2.
Òàê æå êàê è ðàíåå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà îäíîïåòëåâîì óðîâíå â èçó÷àåìîé ìîäåëè â áåñêîíå÷íîìåðíîìïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò âçàèìîäåéñòâèÿ ñóùåñòâóåò äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòüôèêñèðîâàííûõ òî÷åê. Èõ ñâîéñòâà ÈÊ óñòîé÷èâîñòè, îïðåäåëÿþòñÿ ñîá-115ñòâåííûìè ÷èñëàìè áåñêîíå÷íîé ìàòðèöû ωmn , äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êîòîðîé èìåþò ñëåäóþùèé âèä:ω22ε33 211=− +cg3∗ − g2∗ ,224ω3321 2= −ε + c 12g3∗ − g2∗ ,2(4.74)à òàêæå:ωnnn−1(n + 1)2 + 2c2= −ε+cg3∗ − (n(3n + 4) + 3)g2∗.224(4.75)äëÿ ñëó÷àÿ n ≥ 4. Äëÿ äàííûõ ýëåìåíòîâ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå, íåîáõîäèìîå äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèõ îáëàñòåé ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
