Диссертация (1150670), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Îáîçíà÷èì ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (3.6) ñ íåêîòîðîé êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé ñèëû êàêh̄ = h̄(x, f ). Òîãäà ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèéïðèíèìàåò âèä:RG(a) =Df exp − 21 f D−1 f + ah̄ .RDf exp − 12 f D−1 f(3.10)Ïðåäñòàâèì ýêñïîíåíòó, ñîäåðæàùóþ èñòî÷íèê a â èíòåãðàëüíîé ôîðìå: exp ah̄ =Z Dh δ(h − h̄) exp ah̄ .(3.11)Äåëüòà ôóíêöèÿ â ïîñëåäíåì òîæäåñòâå íå çàíóëÿåòñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå,êîãäà h = h̄.  ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ðåøåíèå ñòàíäàðòíîé çàäà÷è(3.6) âñåãäà åäèíñòâåííî, â îáùåì ñëó÷àå åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ íàëîæåíèåì íà ïîëå h äîïîëíèòåëüíûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ óñëîâèéïðè t → −∞, |x| → ∞.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî óñëîâèå h = h̄ ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ:Q(h, f ) ≡ −∂t h + U (h) + f = 0,(3.12)êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïðåäñòâèòü äåëüòà ôóíêöèþ êàê:δ(h − h̄) = detM δ [Q(h, f )] .(3.13)84Çäåñü M (x, x0 ) = δQ(x)/δh(x0 ). Äàëåå, ïðåäñòàâèì äåëüòà ôóíêöèþ â ïðàâîé ÷àñòè òîæäåñòâà (3.13) ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðàëà ïîâñïîìîãàòåëüíîìó ïîëþ h0 :Zδ [Q(h, f )] =Dh0 exp [h0 Q(h, f )].(3.14)Òåïåðü, åñëè ïîäñòàâèòü âûðàæåíèÿ (3.11)-(3.14) â (3.10), òî èíòåãðàë ïîñëó÷àéíîé ñèëå ñòîÿùèé â ÷èñëèòåëå îêàæåòñÿ Ãàóññîâûì è ìîæåò áûòüÿâíî âû÷èñëåí.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì:Z ZG(a) =1DhDh0 detM exp h0 Dh0 + h0 (−∂t h + U (h)) + ah . (3.15)2Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ñòàõîñòè÷åñêîé çàäà÷è (3.6) îêàçûâàåòñÿ ðàâåí ïðîèçâîäÿùåìó ôóíêöèîíàëó ôóíêöèé Ãðèíà ïîëÿ h êâàíòîâîïîëåâîé ìîäåëè ñ ôóíêöèîíàëîìäåéñòâèÿ:1S(h, h0 ) = h0 Dh0 + h0 (−∂t h + Lh + n(h)),2(3.16)ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ detM , ñòîÿùåãî ïåðåä ýêñïîíåíòîé â (3.15).Ðîëü äàííîãî äåòåðìèíàíòà ñâîäèòñÿ ê ñîêðàùåíèþ äèàãðàìì ñ çàêîðî÷åííûìè öèêëàìè ëèíèé ∆12 , êîòîðûå íå âîçíèêàëè ïðè èòåðàöèîííîì ðåøåíèè ñòàõîñòè÷åñêîé çàäà÷è (3.6), íî ìîãóò âîçíèêàòü â ôóíêöèÿõ Ãðèíàìîäåëè (3.16).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, M = −∆−112 + δn(h)/δh, ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî detM = det −∆−112 det [1 − ∆12 (δn(h)/δh)]. Çäåñü ïåðâûé ìíîæèòåëü- íåñóùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà, à äëÿ ëîãàðèôìà âòîðîãî èìååì:1−tr ∆12 (δn(h)/δh) + ∆12 (δn(h)/δh)∆12 (δn(h)/δh) + . . . .2(3.17) äàííîì âûðàæåíèè âñå ñëàãàåìûå êðîìå ïåðâîãî çàíóëÿþòñÿ, ò.ê. â ñèëó ñâîéñòâà çàïàçäûâàíèÿ ôóíêöèè ∆12 ñîäåðæàò çàìêíóòûå öèêëû θôóíêöèé, à ïåðâîå ñëàãàåìîå îêàçûâàåòñÿ êðàòíî θ-ôóíêöèè â íóëå, â ñèëó85âðåìåííîé ëîêàëüíîñòè n(h). Åñëè ââåñòè äîîïðåäåëåíèå θ(0) = 0, òî ñîäíîé ñòîðîíû detM ïðåâðàòèòñÿ â íåñóùåñòâåííóþ êîíñòàíòó êîòîðóþìîæíî îòáðîñèòü, à ñ äðóãîé ñòîðîíû ñòîðîíû òàêîå äîîïðåäåëåíèå ïðèâåäåò ê àâòîìàòè÷åñêîìó ñîêðàùåíèþ äèàãðàìì ìîäåëè (3.16), ñîäåðæàùèõçàìêíóòûå öèêëû ëèíèé ∆12 .Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîëíûé ïðîèçâîäÿùèé ôóíêöèîíàë ôóíêöèé Ãðèíà ìîäåëè (3.16), âêëþ÷àþùèé èñòî÷íèêè îáîèõ ïîëåé:G(a, a0 ) =Z00 0(3.18)DΦ eS(h,h )+ah+a h .Âûøå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åãî âàðüèðîâàíèå ïî èñòî÷íèêó a ïîðîæäàåòêîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ïîëÿ h.
Òåïåðü îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó èñòî÷íèêa0 èãðàåò ðîëü íåñëó÷àéíîé ñèëû â ìîäåëè (3.6), òî âàðüèðîâàíèå ïî íåìóäîëæíî âîñïðîèçâîäèòü íå ÷òî èíîå, êàê ôóíêöèè îòêëèêà.Îòìåòèì òàê æå, ÷òî ïîñêîëüêó êâàäðàòè÷íàÿ ïî ïîëÿì ÷àñòü äåéñòâèÿ (3.16) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé:K=−1(∂t − L)T 0 ∆21=,−1∂t − L−D∆12 −D0(3.19)òî ïî îáùåìó ïðàâèëó (1.8) ñâîáîäíûå ïðîïàãàòîðû ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿîáðàòíîé ìàòðèöåé:∆12 D∆21 ∆12 K −1 = ,∆210÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñî ñäåëàííûìè ðàíåå ïðåäïîëîæåíèÿìè.(3.20)863.3.Àíàëèç ðàñõîäèìîñòåéÀíàëèç àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ìîäåëè (3.16) ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîäõîäà ðåíîðìãðóïïû, èçëîæåííîãî â ãëàâå 1. Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà íåêîòîðûõ îñîáåííîñòÿõ äàííîãî àíàëèçà, íå âîçíèêàâøèõ ðàíåå ïðè àíàëèçå ðàâíîâåñíûõ ìîäåëåé êðèòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ. èçîòðîïíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ òèïà (3.16) èìååòñÿ îäèí äîïîëíèòåëüíûé íåçàâèñèìûé ìàñøòàá, ñâÿçàííûé ñî âðåìåííîé ïåðåìåííîét. Ñîîòâåòñòâóþùèå åìó äîïîëíèòåëüíûå âðåìåííûå è ÷àñòîòíûå ðàçìåðíîñòè ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ìîäåëè îïðåäåëÿþòñÿ èç òðåáîâàíèÿ áåçðàçìåðíîñòè äåéñòâèÿ íåçàâèñèìî ïî îòíîøåíèþ êî âðåìåííîé è êîîðäèíàòíûìïåðåìåííûì, à òàêæå èç íîðìèðîâî÷íûé óñëîâèé:dkk = −dkx = 1,dωk = −dωx = 0,(3.21)dωω = −dωt = 1,dkω = −dkt = 0.(3.22)Ïîñêîëüêó â ñâîáîäíîé òåîðèè ∂t ∝ ∂ 2 , ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü åñòåñòâåííûì îáðàçîì ââîäèòñÿ êàê:dF = dkF + 2dωF .(3.23)Ïðè äàëüíåéøåì àíàëèçå ïåðåíîðìèðóåìîñòè ìîäåëè äàííàÿ âåëè÷èíà èãðàåò òó æå ðîëü, ÷òî è èìïóëüñíàÿ ðàçìåðíîñòü â ñòàòè÷åñêèõ çàäà÷àõ.Íåêîòîðûå ðàññìàòðèâàåìûå íèæå ìîäåëè ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì îáëàäàþùèõ ÿðêî âûðàæåííîé àíèçîòðîïèåé.
Ïðèìåðîì ñèñòåìû, äëÿ îïèñàíèÿ êîòîðîé íåîáõîäèìî ââåäåíèå â ìîäåëü àíèçîòðîïèèìîæåò ñëóæèòü âûïàäåíèå îñàäêà íà ïîäëîæêó ñ ôèêñèðîâàííûì íàêëîíîì èëè ðàçðóøàåìûé ýðîçèåé áåðåã ðåêè ñ íåèçìåííûì íàïðàâëåíèåì âû-87íîñà ðàçìûòûõ ìàññ [20]. Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ òàêèõ ñèñòåì áóäåì ââîäèòüàíèçîòðîïèþ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü êîíñòàíòà n åäèíè÷íûé âåêòîð,îïðåäåëÿþùèé âûáðàííîå íàïðàâëåíèå (íàïðàâëåíèå â ñòîðîíó íàêëîíà).Òîãäà ëþáîé âåêòîð ìîæíî ðàçëîæèòü íà êîìïîíåíòû, îðòîãîíàëüíûå èïàðàëëåëüíûå ê n.
Äëÿ d-ìåðíîé êîîðäèíàòû x èìååì x = x⊥ + nxk , ãäåx⊥ · n = 0. Ïðîèçâîäíóþ ∂i â ïîëíîì d-ìåðíîì x ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ðàçäåëèòü íà ïðîèçâîäíóþ â ïîäïðîñòðàíñòâå, îðòîãîíàëüíîì ê n, îáîçíà÷àÿåå êàê ∂⊥ = ∂/∂x⊥i , ãäå i = 1 . . . d − 1, è ïðîèçâîäíóþ âäîëü ïàðàëëåëüíîãîíàïðàâëåíèÿ, çàïèñûâàåìóþ êàê ∂k = n · ∂ .Ïðè òàêîì ïîäõîäå âîçíèêàþò äâà íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàòíûõ ìàñøòàáà, ñâÿçàííûõ ñ ïðîäîëüíûì è îðòîãîíàëüíûì íàïðàâëåíèÿìè è òðåáóåòñÿ áåçðàçìåðíîñòü äåéñòâèÿ íåçàâèñèìî ïî îòíîøåíèþ ê êàæäîìó èçíèõ. Ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ íîðìèðîâêè ïðèíèìàþò âèä:⊥d⊥k⊥ = −dx⊥ = 1,kdkk = −dkxk = 1,dωω = −dωt = 1,kdk⊥ = −dkx⊥ = 0,dωk⊥ = −dωx⊥ = 0,(3.24)⊥d⊥kk = −dxk = 0,dωkk = −dωxk = 0,(3.25)⊥d⊥ω = −dt = 0,kdkω = −dt = 0.(3.26)Èòîãîâàÿ èìïóëüñíàÿ ðàçìåðíîñòü ìîæåò áûòü íàéäåíà èç ñîîòíîøåíèÿkdkF = d⊥F + dF , ïîñëå ÷åãî ïîëíàÿ êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ââîäèòñÿ ïîîáû÷íîìó ïðàâèëó dF = dkF + 2dωF . èòîãå èç (1.11) ïîëó÷àåì, ÷òî êàíîíè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ïðîèçâîëüíîé 1-íåïðèâîäèìîé ôóíêöèè Ãðèíà Γ = hΦ · · · Φi1−í , â ÷àñòîòíîèìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì:dΓ = d + 2 − dh Nh − dh0 Nh0 ,(3.27)88ãäå Nh , Nh0 ïîêàçûâàþò ñêîëüêî ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîëåé âõîäèò â ôóíêöèþ Γ.
Ñîãëàñíî îáùåìó óòâåðæäåíèþ (1.12) çíà÷åíèå äàííîãî âûðàæåíèÿâ ëîãàðèôìè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåò ñîáîé ôîðìàëüíûéèíäåêñ ðàñõîäèìîñòè ôóíêöèè Γ. Íà ïðàêòèêå â ìîäåëÿõ òèïà (3.16) âñå1-íåïðèâîäèìûå ôóíêöèè áåç ïîëåé îòêëèêà òîæäåñòâåííî èñ÷åçàþò ò.ê.èõ äèàãðàììû âñåãäà ñîäåðæàò çàìêíóòûå öèêëû çàïàçäûâàþùèõ ëèíèé(ñì., íàïðèìåð, [1]). Òàêèì îáðàçîì, â (3.27) îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñëó÷àé Nh0 > 0Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïåðâîå ñëàãàåìîå â äåéñòâèè (3.16).  ñëó÷àåïðîèçâîëüíîãî êîððåëÿòîðà øóìà â ïîäðîáíîé çàïèñè îíî èìååò âèä:1 0 0h Dh =2ZZdt0ZZdtdxdx01 0 0h (t , x) D(t, x, t0 , x0 ) h0 (t, x0 ).2(3.28)Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ñòàòè÷åñêîãî øóìà (3.5), êîòîðûéáóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ âñþäó äàëåå, äàííîå ñëàãàåìîå ïðèîáðåòàåò ôîðìó:1 0 0h Dh =2ZZdt0dtZdx h0 (t0 , x) D0 h0 (t, x).(3.29)Íàëè÷èå â íåì äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà ïî âðåìåíè ïðèâîäèò ê òîìó,÷òî âíå çàâèñèìîñòè îò êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèîíàëà (3.7) â ïðîïàãàòîðå hhhi0 áóäåò ïîÿâëÿòüñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ δ -ôóíêöèÿ ÷àñòîòû.
Ïîýòîìó âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ íèæå ìîäåëÿõ äàííûé ïðîïàãàòîð â ÷àñòîòíîèìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè áóäåò èìåòü âèä:∆11 (k, ω) ≡ ∆12 (k, ω)Do δ(ω)∆T12 (k, ω).(3.30)Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äèàãðàììû íåêîòîðûõ ôóíêöèé Γ ñîäåðæàò â êà÷åñòâå îáùåãî ìíîæèòåëÿ äåëüòà-ôóíêöèþ îò âíåøíåé ÷àñòîòû,÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò ïðèâîäèòü ê îòðèöàòåëüíîìó èíäåêñó ðàñõîäè-89ìîñòè (1.12), ïîýòîìó äëÿ òàêèõ ôóíêöèé èíäåêñ ðàñõîäèìîñòè êîððåêòíîîòðàæàåò ñõîäèìîñòü, åñëè åãî èçìåíèòü:δΓ0 = δΓ + 2Nδ(ω) .(3.31)904. Ðåíîðìãðóïïîâîé àíàëèç ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñîñòàòè÷åñêèì øóìîì4.1.Ìîäåëü Êàðäàðà-Ïàðèçè-Çàíãà4.1.1.Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëèÌîäåëü ÊÏÇ, çàäàþùàÿñÿ óðàâíåíèåì (3.1) ñî ñëó÷àéíûì øóìîì(3.2), áûëà ââåäåíà â ðàáîòå [19], ïîñâÿùåííîé èçó÷åíèþ ñêåéëèíãîâûõñâîéñòâ ðîñòà ïîâåðõíîñòåé.
Äàííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îáùèìñïîñîáîì îïèñàíèÿ ðàñòóùåé ïîâåðõíîñòè. Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.1) îïèñûâàåò ðåëàêñàöèþ ïîâåðõíîñòè ïîä äåéñòâèåì ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Âòîðîå ñëàãàåìîå λ(∂h)2 ÿâëÿåò ñîáîé ÷ëåí ìèíèìàëüíîãî ïîðÿäêà â ðàçëîæåíèè ïî ñòåïåíÿì ãðàäèåíòà è ïîëÿ h êîòîðûéìîã âîçíèêíóòü â óðàâíåíèè ðîñòà, è îïèñûâàåò ðîñò ãðàíèöû âäîëü ëîêàëüíîé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Äàííûé ÷ëåí ÈÊ ñóùåñòâåíåí äëÿ d ≤ 2,è ëîãàðèôìè÷åí äëÿ d = 2. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðåòèêî-ïîëåâàÿ ìîäåëü ñäåéñòâèåì òèïà (3.16) ÿâëÿåòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ïåðåíîðìèðóåìîé è, òàêèì îáðàçîì, ïîäîáíóþ ìîäåëü ìîæíî èçó÷àòü ìåòîäîì ðåíîðìãðóïïîâîãîàíàëèçà [19, 9193].  ðåçóëüòàòå òàêîãî àíàëèçà áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå Ðà óðàâíåíèÿ îáëàäàþò íåòðèâèàëüíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé,êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò êðèòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè: êèíåòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò îãðóáëåíèÿ χ = 0, äèíàìè÷åñêèé èíäåêñ z = 2 (òî÷íîå ñîîòíîøåíèåχ + z = 2 ïðîäèêòîâàíî ãàëèëååâîé ñèììåòðèåé).
Òåì íå ìåíåå, äàííàÿ91íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ÈÊ îòòàëêèâàþùåé äëÿ ε < 0, òîãäà êàê äëÿôèçè÷åñêè èíòåðåñíîãî ñëó÷àÿ ε > 0 îíà íå ëåæèò â ôèçè÷åñêîé îáëàñòèïàðàìåòðîâ ìîäåëè (D0 , κ0 > 0) è íå ìîæåò îòâå÷àòü çà àñèìïòîòè÷åñêîåïîâåäåíèå ñèñòåìû. Âñå ýòè ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ ïåðòóðáàòèâíî òî÷íûìè, òî åñòü âûïîëíÿþòñÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé.Îáùèé õàðàêòåð ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è (3.1), (3.2) ïîçâîëèë ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî åå îáîáùåíèé è ìîäèôèêàöèé, îïèñûâàþùèõ ñàìûå ðàçíûåñèñòåìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
