Диссертация (1150670), страница 15
Текст из файла (страница 15)
È äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå ωnn > 0 ñâîäèòñÿ ê âûïîëíåíèþ íåðàâåíñòâàâèäà:2g3∗ > A(n)ε + B(n)g2∗.(4.76)Êîýôôèöèåíòû A(n) îãðàíè÷åíû ñâåðõó è ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞,à êîýôôèöèåíòû B(n) âñåãäà ïîëîæèòåëüíû, îãðàíè÷åíû ñâåðõó, è ñ ðîñòîì n ñòðåìÿòñÿ ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ B(∞) = 3/2. Îòñþäà ñëåäóåò,2÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ g3∗ è g2∗, äëÿ êî-òîðîé äàííàÿ ñèñòåìà íåðàâåíñòâ âûïîëíÿåòñÿ.  ñâîþ î÷åðåäü âîçìîæíîåñóùåñòâîâàíèå òàêèõ îáëàñòåé îçíà÷àåò, ÷òî ìîäåëü ìîæåò ïðîÿâëÿòü ÈÊñêåéëèíã ñ íåóíèâåðñàëüíûìè êðèòè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè.
Ñîîòíîøåíèÿ(4.11) âìåñòå ñ êàíîíè÷åñêèìè ðàçìåðíîñòÿìè èç òàáëèöû 4.4 è òåì ôàêòîì,÷òî γh∗ = 0 äàþò â ðåçóëüòàòå òî÷íîå ñîîòíîøåíèå 2∆h = d − 1 + ∆k − ∆ω ;, à2èç (4.73) íàõîäèì â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè, ÷òî ∆k = 1+c(2g3∗ −g2∗)/2,2∆h = c(2g3∗ − g2∗)/4.116Çàêëþ÷åíèå íàñòîÿùåé ðàáîòå, ìåòîäîì êâàíòîâîïîëåâîé ðåíîðìãðóïïû, áûëîèçó÷åíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìîäåëåé êðèòè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ è ñòîõàñòè÷åñêîé äèíàìèêè.
Äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ ìîäåëåé áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíî ðåíîðìèðóåìûìè, àòàê æå áûëè âû÷èñëåíû è èññëåäîâàíû àíîìàëüíûå ðàçìåðíîñòè âõîäÿùèõâ íèõ ïîëåé è ïàðàìåòðîâ.Ðåíîðìãðóïïîâîé àíàëèç U (n)-ñèììåòðè÷íîé ìîäåëè χ4 ñ çàðÿæåííûì àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà, ïîçâîëèë îáíàðóæèòü â ìîäåëè ÷åòûðå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè, ñîîòâåòñòâóþùèå íåòðèâèàëüíîìó ôèêñèðîâàííîìó çíà÷åíèþ ýôôåêòèâíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî êîîðäèíàòû äâóõ èç íèõ âñåãäà èìåþò íåòðèâèàëüíóþ ìíèìóþ ÷àñòü è íå ìîãóò áûòü äîñòèãíóòû Ðà ïîòîêàìè.
Îñòàâøèåñÿ äâå òî÷êè ëåæàò â ôèçè÷åñêè èíòåðåñíîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ëèøü âñëó÷àå n > 19, è ÿâëÿþòñÿ ïðè ýòîì ñåäëîâèäíûìè òî÷êàìè. Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ñ ìàãíèòíûì ïîëåì ñîõðàíÿåò êà÷åñòâåííóþ êàðòèíó, ïîëó÷åííóþ â ðàáîòàõ [18, 32] è åäèíñòâåííûìâîçìîæíûì ïîâåäåíèåì ìîäåëè â ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé ÿâëÿåòñÿ ôàçîâûé ïåðåõîä ïåðâîãî ðîäà. Äëÿ ñëó÷àÿ n ≤ 19 äàííîå ïîâåäåíèå ìîäåëè ñîõðàíÿåòñÿ âî âñåõ ïîðÿäêàõ ε ðàçëîæåíèÿ. Åùå îäíèì ðåçóëüòàòîì,ïîëó÷åííûì äëÿ ýòîé ìîäåëè, ñòàë ôàêò êàëèáðîâî÷íîé çàâèñèìîñòè àíîìàëüíîé ðàçìåðíîñòè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà.
Ïðè ýòîì áûëî ïîêàçàíî, ÷òî117ïîïåðå÷íàÿ êàëèáðîâêà ÿâëÿåòñÿ ðåíîðìèíâàðèàíòíîé.Äëÿ O(n)-ñèììåòðè÷íîé ìîäåëè ñ ÷èñòî âåùåñòâåííûì àíòèñèììåòðè÷íûì òåíçîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà Ðà ôóíêöèè áûëè âû÷èñëåíû âðàìêàõ ïîäõîäà ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè è ε-ðàçëîæåíèÿ, à òàêæå â ðàìêàõ ïîäõîäà ðåíîðìãðóïïû â ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà èïñåâäî-ε-ðàçëîæåíèÿ. Äëÿ ïîëó÷åííûõ ε-ðàçëîæåíèé áûë óñòàíîâëåí èõàñèìïòîòè÷åñêèé õàðàêòåð, à ïàðàìåòðû àñèìïòîòèêè íàéäåíû â ÿâíîìâèäå.  ðåçóëüòàòå, â ìîäåëè áûëè îáíàðóæåíû òðè íåòðèâèàëüíûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êè.  ñëó÷àå n > 4 äâå èç íèõ èìåþò ìíèìóþ ÷àñòü, àïîñëåäíÿÿ ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâèäíîé òî÷êîé.
Òàêèì îáðàçîì â äàííîì ñëó÷àåâ ðàìêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé åäèíñòâåííîé âîçìîæíîé ñèòóàöèåé ÿâëÿåòñÿâûõîä Ðà ïîòîêà çà ãðàíèöó óñòîé÷èâîñòè ìîäåëè, ÷òî èíòåðïðåòèðóåòñÿêàê ôàçîâûé ïåðåõîä ïåðâîãî ðîäà.  ñëó÷àå n = 4 â ìîäåëè ïðèñóòñòâóåòÈÊ ïðèòÿãèâàþùàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà. Òåì íå ìåíåå, ÈÊ ïîâåäåíèå ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ íåóíèâåðñàëüíûì è çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíûõ äàííûõ.Åñëè îíè ëåæàò â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ äàííîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè, òîâ ìîäåëè îñóùåñòâëÿåòñÿ ôàçîâûé ïåðåõîä âòîðîãî ðîäà.  òàêîé ñèòóàöèè ôóíêöèè Ãðèíà ìîäåëè, â ÷àñòíîñòè ïàðíûé êîððåëÿòîð, èñïûòûâàþòñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå. Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó êðèòè÷åñêîãî èíäåêñàÔèøåðà áûëà ïîëó÷åíà ÷èñëåííàÿ îöåíêà.Òàê æå â ðàáîòå áûëè ðàññìîòðåíû ÷åòûðå ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëè ñîñòàòè÷åñêèì ñëó÷àéíûì øóìîì (3.5). Âî âñåõ ÷åòûðåõ ñëó÷àÿõ èõ óäàëîñüïåðåôîðìóëèðîâàòü â âèäå òåîðåòèêî-ïîëåâîé ìîäåëè äâóõ ïîëåé, ïðè ýòîìëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ïîëó÷åííîé ìîäåëè îêàçàëàñü ðàâíà d∗ =d∗∗ + 2, ãäå d∗∗ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäåëè ñ118òåïëîâûì øóìîì (3.2).Äëÿ ìîäåëè Êàðäàðà-Ïàðèçè-Çàíãà â ðåçóëüòàòå Ðà àíàëèçà áûëàîáíàðóæåíà íåòðèâèàëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, êîòîðàÿ òåì íå ìåíåå,ëåæèò âíå ôèçè÷åñêîé îáëàñòè ïàðàìåòðîâ ò.ê.
ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ àìïëèòóäíîãî ìíîæèòåëÿ ïàðíîãî êîððåëÿòîðà, çàäàþùåãîôîðìó øóìà.Äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè ñàìîîðãàíèçîâàííîé êðèòè÷íîñòè ÕóàÊàðäàðà â ðàìêàõ ïîäõîäà ðàçìåðíîé ðåãóëÿðèçàöèè è ε-ðàçëîæåíèÿ áûëàîáíàðóæåíà íåòðèâèàëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, êîòîðàÿ íà îäíîïåòëåâîì óðîâíå îêàçàëàñü ÈÊ ïðèòÿãèâàþùåé è áûëè âû÷èñëåíû ñîîòâåòñòâóþùèå åé êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè. Òåì íå ìåíåå, â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ ôèçè÷åñêè èíòåðåñíîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà d = 2 ïàðàìåòð ε-ðàçëîæåíèÿîêàçûâàåòñÿ âåëèê, ðåçóëüòàòû îäíîïåòëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ åäâà ëè ìîãóòñ÷èòàòüñÿ íàäåæíûìè, ïîýòîìó âîïðîñ î íàëè÷èè ñêåéëèíãà â äàííîé ìîäåëè â ñëó÷àå äâóìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà âî ìíîãîì îñòàåòñÿ îòêðûòûì.Êðîìå òîãî, áûëè ðàññìîòðåíû äâå áåñêîíå÷íî-çàðÿäíûõ ìîäåëè: èçîòðîïíàÿ ìîäåëü ðîñòà è àíèçîòðîïíàÿ ìîäåëü ýðîçèè ëàíäøàôòîâ.
Íåñìîòðÿ íà ïðèñóòñòâèå â ìîäåëÿõ áåñêîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà êîíñòàíò ïåðåíîðìèðîâêè, â îáîèõ ñëó÷àÿõ óäàëîñü ÿâíî âû÷èñëèòü îäíîïåòëåâîé êîíòð÷ëåí.Àíàëèç ñîîòâåòñòâóþùèõ Ðà ôóíêöèé ïîêàçàë, ÷òî â îäíîïåòëåâîì ïðèáëèæåíèè â îáåèõ ìîäåëÿõ èìååòñÿ äâóìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü ôèêñèðîâàííûõòî÷åê, íà êîòîðîé ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü ÈÊ ïðèòÿãèâàþùèå îáëàñòè. Åñëèîíè äåéñòâèòåëüíî ñóùåñòâóþò, òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè áóäóò èñïûòûâàòü ñêåéëèíãîâîå ïîâåäåíèå ñ íåóíèâåðñàëüíûìè êðèòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, çàâèñÿùèìè îò âûáîðà êîíêðåòíîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè âíóòðè119îáëàñòè ÈÊ ïðèòÿæåíèÿ.
 îáåèõ ìîäåëÿõ áûëî ïîëó÷åíî òî÷íîå ñîîòíîøåíèå íà êðèòè÷åñêèå ðàçìåðíîñòè ïîëÿ è ïàðàìåòðîâ, êîòîðîå ìîæåòíåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿòüñÿ íà ýêñïåðèìåíòå.120ÁëàãîäàðíîñòèÄèññåðòàíò âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Àíòîíîâó Íèêîëàþ Âèêòîðîâè÷ó çà íàó÷íîå ðóêîâîäñòâî, òåðïåíèå è íåîöåíèìóþ ïîìîùü ïðè âûïîëíåíèè äàííîé ðàáîòû.Àâòîð áëàãîäàðèò Êîìïàíèéöà Ìèõàèëà Âëàäèìèðîâè÷à çà ìíîãî÷èñëåííûå ñîâåòû è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.Òàêæå äèññåðòàíò áëàãîäàðèò ïðåïîäàâàòåëåé è ñîòðóäíèêîâ êàôåäðû ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé è ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãîÃîñóäàðñòâåííîãî Óíèâåðñèòåòà è ïðåïîäàâàòåëåé Êèðîâñêîãî ÔèçèêîÌàòåìàòè÷åñêîãî Ëèöåÿ çà ðàçâèòèå èíòåðåñà ê òåîðèòè÷åñêîé ôèçèêå àòàêæå çà ãîäû ïðåïîäàâàíèÿ è íàñòàâëåíèé.Êðîìå òîãî, àâòîð áëàãîäàðèò ñâîèõ ðîäèòåëåé è äðóçåé çà íåîöåíèìóþ ïîìîùü è ìîðàëüíóþ ïîääåðæêó.121Ëèòåðàòóðà1.Âàñèëüåâ, À.
Í. Êâàíòîâîïîëåâàÿ ðåíîðìãðóïïà â òåîðèè êðèòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ è ñòîõàñòè÷åñêîé äèíàìèêå / À. Í. Âàñèëüåâ. ÑÏá:ÏÈßÔ, 1998.2.Zinn-Justin, J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena / J. ZinnJustin. Clarendon, Oxford, 1989.3.Batkovich, D. V. Six loop analytical calculation of the eld anomalous dimension and the critical exponent η in O(n)-symmetric φ4model / D. V. Batkovich, K. G. Chetyrkin, M. V.
Kompaniets //http://arxiv.org/abs/1601.01960. 2016.4.Kompaniets, M. V. Minimally subtracted six-loop renormalization ofO(n)-symmetric φ4 -theory and critical exponents / M. V. Kompaniets,E. Panzer // Phys. Rev. D. 2017. Vol. 96. P. 036016.5.Nickel, B. G. Compilation of 2-pt and 4-pt graphs for continuous spinmodel / B. G. Nickel, D. I. Meiron, G. A. Baker // University of Guelphreport. 1977.6.Baker, G. A. Critical indices from perturbation analysis of the CallanSymanzik equation / G. A. Baker, B. G. Nickel, D. I. Meiron // Phys.Rev.
B. 1978. Vol. 17. Pp. 13651374.7.Adzhemyan, L. Ts. Critical exponent η in 2D O(N )-symmetric φ4 -model122up to 6 loops / L. Ts. Adzhemyan, Yu. V. Kirienko, M. V. Kompaniets //ArXiv:1602.02324v1. 2016.8.Ïðóäíèêîâ, Â.Â. Òåîðåòèêî-ïîëåâûå è ÷èñëåííûå ìåòîäû îïèñàíèÿêðèòè÷åñêèõ ÿâëåíèé â ñòðóêòóðíî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåìàõ /Â.Â. Ïðóäíèêîâ, Ï.Â.
Ïðóäíèêîâ, À.Í. Âàêèëîâ. Èçä-âî Îìñêîãîãîñ. Óí-òà èì. Ô. Ì. Äîñòîåâñêîãî, 2012.9.Zia, R.K.P. Critical behaviour of the continuous n-component Potts model / R.K.P. Zia, D.J. Wallace // J. Phys. A. 1975. Vol. 8. P. 1495.10.Priest, R.G. Critical properties of two tensor models with application tothe percolation problem / R.G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
