Диссертация (1149911)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Санкт-Петербургский государственный университетНа правах рукописиБанкевич Сергей ВикторовичО монотонностиинтегральных функционаловпри перестановкахСпециальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор Назаров Александр ИльичСанкт-Петербург — 20182ОглавлениеСтр.Введение . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 0. Обозначения и известные факты, используемыедиссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.1 Свойства меры и функций . . . . . . . . . . . . . . . . .0.2 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .в. . . . .. . . . .. . . . .Глава 1. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотоннойперестановки в случае ограниченного ростаинтегранта по производной . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Условия, необходимые для выполнения неравенства (1.2) . . . . .1.3 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно линейных функций1.4 О расширении класса функций, для которых выполняетсянеравенство (1.2) . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 Переход к соболевским функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 2. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотоннойперестановки и симметризации в общем случае при=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .2.1 Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Доказательство неравенства (1.2) для кусочно монотонных весов2.3 Свойства весовой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Доказательство неравенства (1.2) для произвольных весов . . . .2.5 Доказательство неравенства (1.2) для функций, закреплённыхна левом конце . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6 Условия, необходимые для выполнения неравенства (2.1) . . . . .2.7 Доказательство неравенства (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .Глава 3. О неравенстве Пойа-Сегё с переменным показателемсуммирования . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41616171919202427313434343840474850513Стр.3.13.23.33.43.53.6Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Необходимые условия . . . . . . . . . . . . . . .Доказательство неравенства ℐ(* ) 6 ℐ() . . . .Некоторые достаточные условия . . . . . . . . .Численные оценки функции (, ) . . . . . . .Многомерный аналог неравенства ℐ(* ) 6 ℐ()............................................................515154575963Заключение .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68Публикации автора по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . .Публикации в рецензируемых изданиях . . . . . . . . . . . . . . . . . .Прочие публикации . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7272724ВведениеАктуальность темы исследования. Перестановки играют значимуюроль в вариационном исчислении. Впервые симметричная перестановка (сим­метризация) была введена Штейнером в 1836 году. Штейнер работал наддоказательством изопериметрического неравенства (задачей Дидоны) о макси­мальной площади плоской фигуры с фиксированным периметром. Штейнериспользуя симметризацию доказал в [1], что если максимум существует, он до­стигается на круге. Только в 1879 году Вейерштрасс доказал существованиемаксимума методами вариационного исчисления.Примерно во время появления доказательства в своей книге [2] лорд Рэлейсформулировал гипотезу о том, что среди всех плоских мембран заданной пло­щади, закреплённых по краю, наименьшей основной частотой обладает круг (аточнее, предположил, что выполняется некоторая оценка первого собственногочисла через меру области).

Математически эта задача сводится к нахождениюминимума первого собственного числа задачи Дирихле для оператора Лапласа,которая имеет вариационную природу. Гипотеза Рэлея была доказана независи­мо Фабером ([3]) и Краном ([4]) с использованием симметризации и получила вдальнейшем название неравенства Крана-Фабера. Отметим, что другая гипоте­за Рэлея о наименьшей основной частоте закреплённой пластины была доказаналишь в 1995 году Надирашвили [5] с использованием варианта симметризации,предложенного ранее Пойа и Сегё.Впоследствии изучение свойств перестановок получило дальнейшее раз­витие в работах Пойа и Сегё, подытоженное в классическом труде [6].«Изопериметрические неравенства в математической физике». В книге припомощи симметризации доказано множество соотношений между различнымигеометрическими и физическими характеристиками областей, такими как ужеупомянутые периметр, площадь, основная частота мембраны, основная часто­та закреплённой пластины, а также моментом инерции, жёсткостью кручения,ёмкостью и другими.

Эти соотношения позволяют не только сформулироватьутверждения относительно наиболее выгодных форм области с точки зренияразнообразных величин, но и оценить сложные для вычисления величины че­рез те, которые получить просто.5В частности, в книге [6] доказано так называемое неравенство Пойа-Сегё,состоящее в следующем. Пусть функция : R → R+ (здесь и далее R+ =[0, ∞)) гладкая и финитная, тогда выполнено неравенство∫︁∫︁(1)|∇* ()| 6 |∇()| ,RRгде * — симметричная перестановка функции . И даже более общее утвер­ждение: для > 0 и для любой выпуклой : R+ → R+ , > 0 выполнено∫︁∫︁*(2) (|∇ ()|) 6 (|∇()|).RRТакже, поскольку это неравенство может применяться для нахожденияфункций, доставляющих минимум функционала, особый интерес представляетвопрос, когда (2) превращается в равенство.

Только в 1988 году Бразерс и Зимер([7]) установили условия, при которых из равенства в (2) следует совпадение и * с точностью до параллельного переноса.В течение 80-х годов вышло несколько публикаций об обобщении неравен­ства Пойа-Сегё на функционалы вида∫︁ ()(‖∇‖).Далее, в работе [8] неравенство Пойа-Сегё распространено при некоторых (необ­ходимых, судя по всему) ограничениях на функционалы вида∫︁ (′ , )(‖∇‖),где норма ‖·‖ — некоторая взвешенная норма с весами, зависящими от ′ . До­казательство дано для гладких функций . Также, аналогичные неравенствабыли получены для монотонной перестановки.Отметим ещё связанное с перестановками понятие поляризации, котороеисползьзуется для доказательства многих утверждений изопериметрическогохарактера (см., например, [9—15]).Степень разработанности темы исследования.

Существенно слож­нее оказалось распространить неравенство на более общую зависимость отфункции и от переменной, по которой происходит перестановка. Значитель­ную роль в решении этого вопроса сыграла работа [16]. В ней для липшицевых6функций при некоторых условиях на весовую функцию был получен аналогнеравенства (2).∫︁∫︁′ ** ( , (), ‖ ‖) 6 (′ , (), ‖‖),(3)ΩΩгде = (1 , . . . , ) = (′ , ), = (1 (′ , ())1 , . . . , −1 (′ , ())−1 , (, ()) ).Однако в переносе этого неравенства на общий случай содержится пробел. В[16] доказано, что если последовательность функций сходится в 11 (R ), топодпоследовательность из симметризаций этих функций сходится там же слабо(см.

также [17—19] для более детального анализа сходимости перестановок схо­дящейся последовательности). Ввиду этого факта доказательство можно вестипо следующей схеме.– Неравенство доказывается для кусочно линейных функций .– Доказывается, что функционал слабо полунепрерывен снизу.– Находится последовательность кусочно линейных функций , при­ближающих предельную функцию в смысле пространств Соболева( → в 11 (R )) и в смысле функционала (( ) → ()). Послечего можно написать(* ) 6 lim (* ) 6 lim ( ) = ().Автор работы [16] постулировал существование по существу бездоказательства. Между тем, приближение функции в смысле функционала ре­гулярными (в частности липшицевыми) функциями нельзя назвать простымвопросом. Известно множество примеров, когда даже инфимум функционалапо естественной области определения функционала отличается от инфимумапо множеству регулярных функций, в том числе и в одномерном случае.

Длятаких функционалов говорят о возникновении эффекта Лаврентьева.В 1927 г. М. А. Лаврентьев обнаружил ([20]), что для интегрального функ­ционала с выпуклым по производной и коэрцитивным интегрантом инфимумпо абсолютно непрерывным функциям может быть строго меньше инфимумапо липшицевым функциям. В [21] дан более простой пример, для которого воз­никает эффект Лаврентьева в одномерном случае.7В работе [22] получено знаменитое логарифмическое условие отсутствияэффекта Лаврентьева в многомерном случае, а также приведены простые при­меры на плоскости, для которых эффект Лаврентьева имеет место. Дальнейшаялитература по эффекту Лаврентьева весьма обширна, см.

напр. [23; 24].В статье [25] показано, что для функционалов вида∫︁ 1 ((), ′ ())−1можно найти последовательность регулярных функций , приближающих ив 11 [−1, 1], и в смысле функционала. В частности, для таких функционаловэффект Лаврентьева отсутствует.В статье [26] пробел в работе [16] частично закрыт для функционаловсхожей структуры при помощи тонких результатов геометрической теориифункций, полученных в работе [27], и приближения лагранжиана снизу.Отметим ещё работу [28], в которой рассматривается неравенство Пойа­Сегё с весом для монотонных перестановок в двумерном случае при условии,что функция закреплена на левом краю прямоугольника. Неравенство дока­зано при условии степенного роста интегранта по производной и убывания весапо .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации