Диссертация (1149911), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Заметим, что в доказательстве леммы 1.2 мы используемчётность веса только в переходе (d) цепочки неравенств (1.9). Поскольку при(·, −1) ≡ 0 всегда выполнено (′ , −1) < , с учётом соотношений (1.6) лемма1.1 как раз обеспечивает требуемые для перехода (d) неравенства.1.4О расширении класса функций, для которых выполняетсянеравенство (1.2)Следующее утверждение более или менее стандартно и близко к теоремеТонелли (предложение 1).

Однако, в нашем случае множество { : () <∞} даже не является выпуклым подмножеством 11 (Ω). Поэтому здесь мыприводим полное доказательство для удобства читателя.28Лемма 1.4. Пусть функция непрерывна. Тогда функционал () слабо по­лунепрерывен снизу в 11 (Ω).Доказательство. Пусть ⇁ в 11 (Ω). Обозначим = lim ( ) > 0. На­ша задача — доказать () 6 . Если = ∞, то утверждение тривиально,поэтому можно считать < ∞.

Переходя к подпоследовательности, добива­емся = lim ( ). Из слабой сходимости ⇁ заключаем, что найдётся0 такое, что ‖ ‖ 11 (Ω) 6 0 . Более того, переходя к подпоследовательности,можно считать, что → в 1 (Ω) и () → () почти всюду. Тогда потеореме Егорова для любого ε найдётся множество 1ε такое, что meas 1ε < εи ⇒ в Ω ∖ 1ε .Из равномерной сходимости следует существование такого , что длякаждого > неравенство | | 6 ||+ε выполнено для аргументов из Ω∖1ε .Возьмём 2ε = { ∈ Ω ∖ 1ε : |()| > 0ε+ε }. Тогда∫︁∫︁∫︁0 + ε0 + ε = meas 2ε ·.0 > |()| > |()| >εεΩ2ε2ε0То есть meas 2ε 6 ε 0 +ε< ε. Тем самым, последовательность равномерносходится и равномерно ограничена вне множества ε := 1ε ∪ 2ε .Из непрерывности , и следует, что для произвольных ε и найдётсятакое (ε, ), что если ∈ Ω ∖ ε , | | 6 , | | 6 и > (ε, ), то(︀)︀| ′ , (), ‖ (′ , ()) , (, ()) ‖(︀)︀− ′ , (), ‖ (′ , ()) , (, ()) ‖ | < ε.Рассмотрим множества,ε := { ∈ Ω : max{| ()|, | ()|} >0}.εИмеем∫︁∫︁|∇ ()| >0 >Ω∫︁|∇ ()| >,ε00 = meas ,ε ·.εε,εПоэтому meas ,ε 6 ε.Теперь можно ввести ,ε := Ω ∖ (,ε ∪ ε ).

Тогдаmeas ,ε > meas Ω − 3ε.29Зафиксируем := ε0 , (ε) := (ε, ε0 ). Для любых ε > 0, ∈ ,ε и > (ε) получим⃒ (︀)︀⃒⃒ ′ , (), ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖(︀ ′)︀⃒⃒′− , (), ‖ ( , ()) (), (, ()) ()‖ ⃒ < ε,откуда∫︁ ⃒)︀⃒ (︀ ′⃒ , (), ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖,ε)︀⃒⃒− , (), ‖ ( , ()) (), (, ()) ()‖ ⃒ < meas Ω · ε.

(1.10)(︀′′⋂︀Возьмём ε = 2ε ( > 1), = (ε ) + → ∞ и ε = ,ε . Тогда∑︀ε = ε и, тем самым, meas(Ω ∖ ε ) < 3ε. Поскольку из (1.10) следует∫︁ ⃒)︀⃒ (︀ ′⃒ , (), ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖ε)︀⃒⃒− , (), ‖ ( , ()) (), (, ()) ()‖ ⃒ < meas Ω · ε .(︀′′мы получаем = lim ( )∫︁(︀)︀= lim ′ , (), ‖ (′ , () , (, ()) ()‖ Ω∫︁> lim(︀)︀ {ε }() ′ , (), ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖ Ω=: lim ε (∇ ).Наш новый функционал∫︁(︀)︀ε () = {ε }() ′ , (), ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖ Ωвыпуклый. Вновь переходя к подпоследовательности , можно считать, чтоlim ε (′ ) = lim ε (′ ).

Так как ∇′ ⇁ ∇′ в 1 , по предложению 2 можноподобрать последовательность выпуклых комбинаций ∇ , которые будут схо­диться к ∇ сильно. А именно: найдутся α, > 0 для ∈ N, 6 такие,30∑︀∑︀1чтоα=1длякаждогои:==1 ,=1 α, ∇ → ∇ в . Крометого, очевидно, можно потребовать, чтобы минимальный индекс ненулевогокоэффициента α, стремился к бесконечности при → +∞. Тогдаlim ε (∇ ) = lim∑︁α, ε (∇ ).=1В силу выпуклости ε имеем∑︁α, ε (∇ ) > ε ( ).=1Наконец, поскольку ( ) → и ( ) → в 1 (Ω), переходя кподпоследовательности, можем считать, что () → ∇() почти всюду.

Кро­ме того, так как для ∈ ε выполнено | ()| < ε0 и | ()| < ε0 , то|( ) ()| < ε0 и |( ) ()| < ε0 . Значит,(︀)︀ {ε }() ′ , (), ‖ (′ , ())( ) (), (, ())( ) ()‖(︀)︀6 max {ε }() ′ , (), ‖ (′ , ()) , (, ()) ‖ < ∞,(, , )где максимум берется по компактному множеству (, , ) ∈ Ω × [− ε0 , ε0 ] .Поэтому применима теорема Лебега, и мы получаем lim ε ( ) = ε (∇). Такимобразом, > lim ε (∇ ) = lim∑︁α, ε (∇ ) > lim ε ( ) = ε (∇).=1Ввиду произвольности ε > 0 имеем > ().Теорема 1.3. Пусть ⊂ ⊂ 11 (Ω).

Предположим, что для каждого ∈ найдётся последовательность ∈ такая, что → в 11 (Ω) и ( ) →(). Тогдаi) Если для любой функции ∈ выполнено ( * ) 6 (), то для любойфункции ∈ будет выполнено (* ) 6 ().ii) Если для любой функции ∈ выполнено () 6 (), то для любойфункции ∈ будет выполнено () 6 ().Доказательство. i) Возьмём некоторую ∈ и для неё найдём приближа­ющую последовательность { } ⊂ . По условию (* ) 6 ( ) → (). По31предложению 7 найдётся подпоследовательность , для которой* ⇁ * in 11 (Ω).Из леммы 1.4 получаем() 6 lim (* ) 6 lim ( ) = ().* −1ii) Поскольку () = * ( −12 ) и () = ( 2 ), из сходимости → в 11 (Ω) также следует сходимость ⇁ в 11 (Ω) для некоторой подпосле­довательности . Тем самым, рассуждения из доказательства предыдущегопункта могут быть дословно повторены.1.5Переход к соболевским функциямТеорема 1.4. Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию (1.3).Тогдаi) Неравенство (1.2) верно для произвольной неотрицательной ∈(Ω).ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае.

Если 6 , тодополнительно предположим, что веса и ограничены. Тогда неравенство(1.2) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω).Доказательство. i) Из предложения 3 следует, что любая липшицева функ­ция может быть приближена последовательностью ∈ 1 (Ω) в следующемсмысле: ⇒ ,∇ → ∇ п.в.,|∇ | 6 .Тогда по теореме Лебега → в 11 (Ω) и ( ) → (). В свою очередь, мо­гут быть аналогичным образом приближены кусочно линейными функциями.Применив лемму 1.2 и теорему 1.3, получаем требуемое.32ii) Рассмотрим произвольную ∈ 1 (Ω). Для неё можно построить по­следовательность кусочно линейных функций , приближающих её в 1 (Ω).Действительно, поскольку Ω ∈ , можно продолжить финитным обра­зом на внутренность большого шара в R и приблизить гладкими финитнымифункциями.

Далее шар триангулируется, и значения функции линейно интер­полируются. Очевидно, в процессе все функции остаются неотрицательными.Тогда, ввиду теоремы 1.3, достаточно добиться ( ) → (). Доказатель­ство этой сходимости можно свести к теореме Красносельского о непрерывностиоператора Немыцкого (см. [52, гл. 5, §17]). Однако для удобства читателя мыприводим здесь рассуждение целиком.Покажем, что веса (′ , ()) и (, ()) ограничены. Если 6 , то этовыполнено по предположению теоремы. Если же нет, то 1 (Ω) вкладываетсяв (Ω), тем самым, () равномерно ограничены, а значит, и (′ , ()) и(, ()) равномерно ограничены.

Поэтому ‖ ()‖ 6 1 |∇ ()|. То есть,* (′ , (), ‖ ()‖) 6 2 (1 + | ()| + |∇ ()| ).Рассмотрим множества , состоящие из ∈ Ω, для которых при всех** > выполнено 1+| ()| +|∇ ()| 6 2(1+|()| +|∇()| ). Очевидно,что ⊂ +1 . Переходя к подпоследовательности, можем считать, что → и ∇ → ∇ почти всюду. А значит | | → |Ω|. Тогда* { } (′ , (), ‖ ()‖) 6 2(1 + |()| + |∇()| ),и { } (′ , (), ‖ ()‖) → (′ , (), ‖()‖)почти всюду. По теореме вложения ‖ ‖* 6 3 ‖ ‖ 1 . Тем самым, мы нашли∫︀суммируемую мажоранту и получаем { } (′ , (), ‖ ()‖) →() по теореме Лебега .Теперь оценим остаток:∫︁∫︁*′ ( , (), ‖ ()‖) 62 (1 + | ()| + |∇ ()| )Ω∖Ω∖(︁∫︁*6 4(1 + |()| + |∇()| )Ω∖∫︁)︁*+(1 + |() − ()| + |∇( − )()| ) .Ω∖33Первое слагаемое стремится к нулю по абсолютной непрерывности инте­грала.

Для второго слагаемого выполнено∫︁*(1 + |() − ()| + |∇( − )())| )Ω∖*6 (|Ω ∖ | + ‖ − ‖ 1 + ‖ − ‖ 1 ) → 0.Тем самым, сходимость ( ) → () доказана.Теорема 1.5. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (1.3). Тогдаi) Неравенство (1.2) верно для произвольной неотрицательной ∈(Ω), удовлетворяющей (·, −1) ≡ 0.ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае. Если 6 , тодополнительно предположим, что веса и ограничены.

Тогда неравенство(1.2) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω), удовлетворяющей(·, −1) ≡ 0.Доказательство теоремы дословно повторяет доказательство теоремы 1.4.34Глава 2. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотоннойперестановки и симметризации в общем случае при = 12.1ОбозначенияВ этой главе мы рассматриваем одномерный случай задачи из первойглавы. Тем самым, пропадают весовые коэффициенты , вес = (, ) :[−1, 1] × R+ → R+ , F — множество непрерывных функций : R+ × R+ → R+выпуклых и строго возрастающих по второму аргументу, удовлетворяющих (·, 0) ≡ 0. Рассматриваемый функционал имеет вид:∫︁1(, ) = ((), (, ())|′ ()|) .−1Также мы будем использовать обозначение∫︁(, , ) = ((), (, ())|′ ()|) .Мы снимаем требование ограничения роста, стоящее в теореме 1.4, итакже доказываем аналогичный результат для симметричной перестановки,устанавливая необходимые и достаточные условия для выполнения неравенства(* ) 6 ().(2.1)Мы продолжаем ссылаться на условие (1.3), однако оно приобретает сле­дующий вид:(, ) + (, ) > (1 − + , ),2.2, : −1 6 6 6 1, ∈ R+ .(2.2)Доказательство неравенства (1.2) для кусочно монотонныхвесовВ этом параграфе мы получим неравенство (1.2) при дополнительномусловии монотонности весовой функции при ∈ [−1, 0] и при ∈ [0, 1].35Лемма 2.1.

Пусть — непрерывная функция, (·, ) возрастает на [−1, 0]и убывает на [0, 1] для всех > 0. Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1], > 0, найдётся последовательность { } ⊂ [−1, 1], удовлетворяющая → в 11 [−1, 1]и(, ) → (, ).(2.3)Для доказательства мы модифицируем схему теоремы 2.4 из [25], в ко­торой аналогичный факт доказывается для интегрантов, не зависящих отсвободной переменной. Частично доказательство совпадает доказательством в[25], но для удобства читателя мы приводим здесь его полностью.Доказательство леммы 2.1. Можно считать, что (, ) < ∞.Мы докажем утверждение для функционала∫︁11 () =(︀)︀ (), (, ())|′ ()| .0Вторая часть с интегрированием по [−1, 0] сводится к 1 заменой переменной.Для ℎ ∈ N покроем множество { ∈ [0, 1] : |′ ()| > ℎ} открытым множе­ством ℎ .

Не умаляя общности, можно считать, что ℎ+1 ⊂ ℎ и |ℎ | → 0 приℎ → ∞.Обозначим ℎ неотрицательную непрерывную функцию, заданную на[0, 1], совпадающую с на множестве [0, 1] ∖ ℎ , и линейную на интервалах,составляющих ℎ . Тогда ℎ → в 11 [−1, 1]. Теперь изменим ℎ так, чтобысделать их липшицевыми.+Представим ℎ = ∪ Ωℎ, , где Ωℎ, = (−ℎ, , ℎ, ).

Характеристики

Список файлов диссертации