Диссертация (1149911), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Заметим, что условие на вес довольно ограничительны.Цели и задачи. Целью диссертации является обобщение неравенстваПойа-Сегё как на более общие функционалы и формы зависимости от свободнойпеременной, функции и её производной, так и на случай монотонной перестановки, которая также представляет серьёзный интерес. Основной задачей являетсяввести зависимость от переменной, по которой происходит перестановка.Научная новизна.
Выносимые на защиту положения являются новыми.Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носиттеоретический характер. Результаты представляют интерес для специалистовпо вариационному исчислению и уравнениям в частных производных.Методология и методы исследования. При доказательстве основныхрезультатов диссертации были использованы классические методы вариационного исчисления, математического и функционального анализа, а такжеобобщение метода аппроксимации в смысле функционала, разработанного в[25]. В главе 2 использован разработанный автором оригинальный метод аппроксимации непрерывной функции многих переменных функциями с конечнымчислом монотонных участков при некоторых ограничениях.Положения, выносимые на защиту.8– Получены необходимые условия на вес для выполнения неравенстваПойа-Сегё с весом для монотонной перестановки.– Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановкив случае ограниченного (степенного) роста интегранта .– Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом в одномерном случае без ограничений, лишь при необходимых условиях.– Доказана необходимость условий, налагаемых в работе [16] на вес длявыполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для симметризации.– В одномерном случае закрыт пробел в работе [16]: доказано неравенствоПойа-Сегё с весом для симметризации без дополнительных ограничений.– Представлены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки на функциях,закреплённых на левом конце.
Неравенство доказано в многомерномслучае для интегрантов ограниченного роста по производной и в одномерном случае без дополнительных ограничений.– Представлены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с переменным показателем суммирования в одномерном случае. Показано, что прямое многомерное обобщение отсутствует.Степень достоверности и апробация.
Все результаты диссертацииснабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущих научныхизданиях. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарахи конференциях:– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).– Международная конференция «Теория приближений» (Санкт-Петербург, 2010).– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010).– Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённая 110-летию И. Г.
Петровского (Москва,2011).– Международная школа “Variational Analysis and Applications” (Эриче,Италия, 2012).9– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016).– Cеминар им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН(Санкт-Петербург, рук: Н. Н. Уральцева, А. И. Назаров, Т. А. Суслина).– Городской семинар по конструктивной теории функций (Санкт-Петербург, рук.: М.
А. Скопина)– Семинар по теории функций многих действительных переменных и ееприложениям к задачам математической физики (Семинар Никольского) (Москва, рук.: О. В. Бесов).Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [53—56],[57—61]. Работы [53; 56] опубликованы в журналах из перечня ВАК. Работы [54;55] опубликованы в изданиях, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК — журнал «Calculus of Variations and Partial DifferentialEquations» и переводная версия журнала «Записки научных семинаров Ленинградского отделения математического института им. В.А. Стеклова АН СССР»(«Journal of Mathematical Sciences») входят в систему цитирования Scopus.Работы [53; 54] написаны в неразделимом соавторстве, за исключениеморигинального метода аппроксимации, предложенного автором.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёхглав, содержащих 20 параграфов, заключения и списка литературы.
Полныйобъём диссертации составляет 73 страницы, включая 6 рисунков и 2 таблицы.Список литературы содержит 61 наименование.Во введении описаны актуальность темы исследования и степень ее разработанности, поставлены цели и задачи, аргументирована научная новизна,достоверность, теоретическая и практическая значимость результатов, перечислены использованные методы, выносимые на защиту положения, публикации идоклады по теме диссертации, кратко изложена структура работы.В главе 0 диссертации введены обозначения, используемые в работе, а также приведены используемые известные факты со ссылками на источники.Напомним определения перестановок. Пусть Ω = × (−1, 1), где — ограниченная область в R−1 с липшицевой границей.
Обозначим =(1 , . . . , −1 , ) = (′ , ).10Для измеримой неотрицательной функции , заданной на Ω выполненатеорема о послойном представлении (см. [29, теорема 1.13]), состоящая в следующем. Пусть (′ ) := { ∈ [−1,1] : (′ , ) > }. Тогда имеет место равенство∫︁ ∞(′ , ) = { (′ )}(),0где {} — характеристическая функция множества .Определим симметричную перестановку измеримого множества ⊂[−1, 1] и симметричную перестановку (симметризацию по Штейнеру) неотрицательной функции ∈ 11 (Ω).meas meas ,]; * := [−22* (′ , ) =∫︁∞ {( (′ ))* }().0В тех же условиях определим монотонную перестановку множества ифункции ∈ 11 (Ω).(′ , ) = := [1 − meas , 1];∫︁∞ { (′ )}().0В главе 1 диссертации изучается неравенство, аналогичное неравенству(3), с монотонной перестановкой вместо симметризации.Определим множество F непрерывных функций : × R+ × R+ → R+ ,выпуклых и строго возрастающих по третьему аргументу, удовлетворяющих (·, ·, 0) ≡ 0.Рассмотрим функционал∫︁() = (′ , (), ‖‖),Ωгде ∈ F, ‖·‖ — некоторая норма в R , симметричная по последней координате, = (1 (′ , ())1 , .
. . , −1 (′ , ())−1 , (, ()) )— градиент с весом (обратите внимание, что только вес при зависит от), (·, ·) : Ω × R+ → R+ и (·, ·) : × R+ → R+ — непрерывные функции.Здесь и далее индекс пробегает от 1 до − 1.Рассмотрим неравенство() 6 ()(4)11В §1.1 вводятся необходимые обозначения.В §1.2 устанавливаются условия, необходимые для выполнения неравенства (4).Теорема 1. i) Если неравенство (4) выполняется для некоторой ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , то вес чётен по , то есть (′ , , ) ≡(′ , −, ).ii) Если неравенство (4) выполняется для произвольной ∈ F и произвольной кусочно линейной , то вес удовлетворяет неравенству(′ , , )+(′ , , ) > (′ , 1−+, ),′ ∈ , −1 6 6 6 1, ∈ R+ . (5)Также получены необходимые условия в случае закреплённых на левомконце функций.Теорема 2.
Если неравенство (4) выполняется для произвольной ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , закреплённой на левом конце: (·, −1) ≡ 0,то вес удовлетворяет неравенству (5).В §1.3 доказывается неравенство (4) для кусочно линейных .Лемма 1. Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию (5). Тогда, если — неотрицательная кусочно линейная функция, то () > ().Лемма 2. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (5). Тогда, если — неотрицательная кусочно линейная функция, удовлетворяющая (·, −1) ≡0, то () > ().В §1.4 устанавливается слабая полунепрерывность функционала и доказывается теорема, которая в дальнейшем является основой для предельныхпереходов.Теорема 3.
Пусть ⊂ ⊂ 11 (Ω). Предположим, что для каждого ∈ найдётся последовательность ∈ такая, что → в 11 (Ω) и ( ) →(). Тогдаi) Если для любой функции ∈ выполнено ( * ) 6 (), то для любойфункции ∈ будет выполнено (* ) 6 ().ii) Если для любой функции ∈ выполнено () 6 (), то для любойфункции ∈ будет выполнено () 6 ().12В §1.5 неравенство (4) доказывается для интегрантов с ограниченным ростом по производной.Теорема 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
