Диссертация (1149911), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию (5).Тогдаi) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈ (Ω).ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае. Если 6 , тодополнительно предположим, что веса и ограничены. Тогда неравенство(4) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω).Теорема 5. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (5).
Тогдаi) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈ (Ω),удовлетворяющей (·, −1) ≡ 0.ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае. Если 6 , тодополнительно предположим, что веса и ограничены.
Тогда неравенство(4) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω), удовлетворяющей(·, −1) ≡ 0.Глава 2 диссертации посвящена снятию условия ограниченного роста синтегранта. Это удаётся сделать только в одномерном случае, поэтому далее ∈ 11 [−1, 1] и∫︁1() = ((), (, ())|′ ()|) .−1В §2.1 формулируется одномерный вариант задачи.В §2.2 удаётся распространить результат статьи [25] на случай функционала и доказать отсутствие эффекта Лаврентьева в случае кусочноймонотонности веса.13Лемма 3. Пусть — непрерывная функция, (·, ) возрастает на [−1, 0] иубывает на [0, 1] для всех > 0. Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1], > 0, найдётся последовательность { } ⊂ [−1, 1], удовлетворяющая → в 11 [−1, 1]и( ) → ().(6)Теорема 6.
Пусть функция непрерывна, чётна, убывает на [0, 1] и удовлетворяет неравенству (5). Тогда для любой ∈ 11 [−1, 1] выполнено (* ) 6().В §2.3 доказано несколько важных свойств весовых функций, удовлетворяющих необходимым условиям. В частности установлена структура множестванулей весовых функций.В §2.4 с веса снимается требование монотонности и, тем самым, неравенство (4) доказано в наиболее общем виде.Теорема 7. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, и весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ непрерывна и допустима для .
Тогдасправедливо неравенство (4).В §2.5 завершается доказательство для функций, закреплённых на левомконце.Теорема 8. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, (−1) =0, весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ непрерывна и удовлетворяет неравенству (5). Тогда справедливо неравенство (4).В §2.6 доказано, что условия, накладываемые на вес в работе [16], являются необходимыми в случае симметричной перестановки.Теорема 9.
Если неравенство (3) выполняется для произвольной ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , то вес — чётная и выпуклая по первомуаргументу функция.И наконец, в §2.7 закрывается пробел в работе [16] в одномерном случае.Теорема 10. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, и непрерывная весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ чётна и выпукла по первомуаргументу. Тогда справедливо неравенство (3).14В главе 3 диссертации рассмотрено обобщение неравенства Пойа-Сегё наслучай переменного показателя суммирования. А именно, рассматриваются двафункционала:∫︁1 () =−1∫︁1ℐ() =|′ ()|() (1 + |′ ()|2 )()2.−1Подобные функционалы возникают при моделировании электрореологических жидкостей (см., напр., [30; 31]).
В частности, в настоящее время активноизучаются эллиптические уравнения с ()-лапласианом в качестве главногочлена. Литература в этой области обширна, см. напр. [32—47] и ссылки оттуда.В §3.1 ставится задача и вводятся обозначения.В §3.2 получены условия, необходимые для выполнения неравенств (* ) 6 () и ℐ(* ) 6 ℐ().Теорема 11. Пусть (* ) 6 () выполнено для любой кусочно линейнойфункции > 0. Тогда () ≡ .То есть изучение аналога неравенства Пойа-Сегё для функционала ℐ теряет смысл.Теорема 12. Если неравенство ℐ(* ) 6 ℐ() выполняется для всех кусочнолинейных > 0, то чётна и выпукла.
Более того, выпукла следующая функция:() > 0, ∈ [−1, 1].(, ) = (1 + −2 ) 2 ,В §3.3 показано, что условия, необходимые для выполнения неравенстваℐ(* ) 6 ℐ(), являются и достаточными.Лемма 4. Пусть чётна, а выпукла по совокупности переменных. Тогдадля любой кусочно линейной функции ∈ 11 [−1, 1] выполнено ℐ(* ) 6 ℐ().Теорема 13. Пусть чётна, а выпукла по совокупности переменных.
Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1] выполнено ℐ(* ) 6 ℐ().15Условие выпуклости функции есть на самом деле неявное условие нафункцию . В §3.4 приведены некоторые явные достаточные условия выполнения неравенства ℐ(* ) 6 ℐ().Выпуклость функции равносильна неотрицательности гессиана (если есть выпуклость по какому-нибудь направлению: всегда выпукла по ),которая в свою очередь сводится к условию ′′ > ′2 (, ),где =12 ,() = () − 1,(4 − ( + 3) ln( + 1)) −(, ) =−1ln( + 1) + 4 ln(+1)−42( + 1)·.+1Теорема 14.
Пусть () > 1 — чётная непрерывная функция на [−1, 1].i) Если функция (() − 1)0.37 выпукла, то неравенство ℐ(* ) 6 ℐ()выполнено для любой неотрицательной ∈ 11 [−1, 1].√︀ii) Если () 6 2.36 для всех ∈ [−1, 1] и функция () − 1 выпукла,то неравенство ℐ(* ) 6 ℐ() выполнено для произвольной неотрицательной ∈ 11 [−1, 1].В §3.5 описаны численно-аналитические методы для получения оценок, накоторых основаны выводы теоремы 14. Пусть ℬ() ≡ sup (, ).
Тогда>0sup ℬ() = lim sup ℬ() 6 0.63;(7)→+∞>0sup ℬ() 6 0.5.(8)0661.36Наконец, в §3.6 показано, что прямое распространение неравенстваℐ(* ) 6 ℐ() на многомерный случай несодержательно.∫︀∫︀()()Теорема 15. Если (1 + |∇* ()|2 ) 2 6 (1 + |∇()|2 ) 2 для любойΩΩнеотрицательной функции ∈ 11 (Ω), то (′ ,) не зависит от .В заключении перечисляются основные результаты диссертации.Работа поддержана грантом РФФИ 18-01-00472.16Глава 0. Обозначения и известные факты, используемые вдиссертацииПеречислим обозначения функциональных пространств, используемых вработе.
Все перечисленные пространства состоят из функций, определённых намножестве ⊂ R , являющемся замыканием области в R .() — множество непрерывных функций. 1 () — множество непрерывно дифференцируемых функций.() — множество липшицевых функций.1 () — множество суммируемых функций. 1 () — множество дифференцируемых в соболевском смысле функций,суммируемых в степени вместе с первыми производными.
11 () — замыкание множества гладких финитных функций в 11 ().() () — пространство Орлича. Измеримая функция ∈ () , если∫︀интеграл |()|() конечен. Норма в этом пространстве определяется как‖‖()∫︁}︁{︁⃒ () ⃒()⃒⃒ 6 1 .= inf α > 0 :αМы используем обозначение ± = max(±, 0).0.1Свойства меры и функцийПредложение 1 ([48, теорема 3.5], теорема Тонелли о полунепрерывности).Пусть — ограниченный интервал на R и (, , ) — лагранжиан, удовлетворяющий следующим условиям:i) и непрерывны по (, , ),ii) неотрицательна,iii) выпукла по .∫︀Тогда функционал (, (), ′ ()) секвенциально слабо полунепрерывен снизу в 11 ().17Предложение 2 ([49, теорема 3.13]). Пусть — метрическое локальновыпуклое пространство.
Если { } — последовательность в , слабо сходящаяся к некоторому ∈ , то найдётся последовательность { },удовлетворяющая условиям:i) каждый является выпуклой комбинацией конечного количества ,ii) сходятся сильно к в пространстве .Предложение 3 ([50, §6.6, теорема 1]). Пусть : R → R — липшицевафункция. Тогда для любого ε найдётся непрерывно дифференцируемая функция˜ : R → R, удовлетворяющаяmeas{ : ˜() ̸= () или ∇˜() ̸= ∇ ()} < ε.Более того, для некоторой константы, зависящей только от , выполненоsup|∇˜()| 6 ( ),Rгде ( ) — константа липшицевости функции .Предложение 4 ([25, лемма 2.7]).
Пусть ϕℎ : [−1, 1] → R — последовательность липшицевых функций, удовлетворяющих условиям: ϕ′ℎ > 1 для почтивсех и всех ℎ, ϕℎ () → для почти каждого . Тогда для любой ∈ 1 (R)выполнено (ϕℎ ) → в 1 (R).Предложение 5 ([29, теорема 6.19]). Для любой ∈ 11 [−1, 1] и произвольного множества ⊂ R нулевой меры выполнено ′ () = 0 для почти всех ∈ −1 ().Предложение 6 ([51, §2.1]).
Пусть () — измеримая функция на отрезке[−1, 1], удовлетворяющая 1 6 () 6 sup () < ∞. Тогда ступенчатые функции плотны в пространстве Орлича () .0.2ПерестановкиПусть Ω = ×(−1, 1), где — ограниченная область в R−1 с липшицевойграницей. Обозначим = (1 , . . . , −1 , ) = (′ , ).18Напомним теорему о послойном представлении измеримой неотрицательной функции , заданной на Ω (см.
[29, теорема 1.13]). Положим (′ ) := { ∈[−1,1] : (′ , ) > }. Тогда имеет место равенство∫︁ ∞(′ , ) = { (′ )}(),0где {} — характеристическая функция множества .Определим симметричную перестановку измеримого множества ⊂[−1, 1] и симметричную перестановку (симметризацию по Штейнеру) неотрицательной функции ∈ 11 (Ω):|| || * := [−,];2 2* (′ , ) =∫︁∞ {( (′ ))* }().0В тех же условиях определим монотонную перестановку множества ифункции ∈ 11 (Ω): := [1 − meas , 1];(′ , ) =∫︁∞ { (′ )}().0Предложение 7 ([16, доказательство теоремы 1]).
Пусть → в 11 (R ).Тогда найдётся подпоследовательность , для которой * ⇁ * в 11 (R ).19Глава 1. О неравенстве Пойа-Сегё с весом для монотоннойперестановки в случае ограниченного роста интегранта попроизводной1.1ОбозначенияПусть Ω = ×(−1, 1), где — ограниченная область в R−1 с липшицевойграницей. Обозначим = (1 , . . . , −1 , ) = (′ , ).Определим множество F непрерывных функций : × R+ × R+ → R+(здесь и далее R+ = [0, ∞)), выпуклых и строго возрастающих по третьемуаргументу, удовлетворяющих (·, ·, 0) ≡ 0.Рассмотрим функционал:∫︁() = (′ , (), ‖‖),(1.1)Ωгде ∈ F, ‖·‖ — некоторая норма в R , симметричная по последней координате,то есть удовлетворяющая ‖(′ , )‖ = ‖(′ , −)‖, = (1 (′ , ())1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
