Диссертация (1149911), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Тогда для −1 + ρ 6 , 6 1 − ρ−−, ) − ρ (, ) =ρ (, ) + ρ (, ) − ρ (22∫︁(︀)︀−−ωρ () ( − , ) + ( + , ) − (− , ) − (+ , ) > 0.22RЗначит функция ρ (·, ) чётна на [−1 + ρ, 1 − ρ]. Переходя к пределу при ρ → 0,получаем, что функция (·, ) чётна.Наконец, для любых , и имеем(, ) + (, ) = (, ) + (−, ) > 2(︀ + )︀, .249Теорема 2.3. Если неравенство (2.1) выполняется для произвольной ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , то вес — чётная и выпуклая по первомуаргументу функция.Доказательство. Докажем, что в условиях теоремы выполнено неравенство(2.6).

Отсюда, ввиду леммы 2.6, будет следовать утверждение теоремы.Предположим, что неравенство (2.6) не выполнено. Тогда найдутся −1 6 < 6 1, ε, δ > 0 (2ε < − ) и 0 ∈ R+ , такие, что для любого 0 6 6 ε илюбого 0 6 6 0 + ε выполнено)︁ (︁ − )︁(︁ − +, + +−, + . (2.7)(+, +)+(−, +)+2δ < 22Рассмотрим функцию 2 , введенную в (1.4).

Тогда⎧−−*⎪()=,∈[−1,]∪[, 1]⎪02⎪⎪22⎪⎪− −−⎪⎪⎨*2 () = 0 + −, ∈[,+ ε]222−−⎪*⎪()=+ε,∈[+ε,− ε]⎪02⎪⎪22⎪⎪⎪⎩* () = + − − , ∈[ − − ε, − ].02222Отсюда получаем0 6 (, 2 ) − (, 2 )∫︁ ε∫︁ ε(︀(︀( − , 2 ( − )) )︀( + , 2 ( + )) )︀= 2 ( + ), + 2 ( − ),εε00∫︁ ε−)︀(︀ * − ( 2 + , *2 ( −2 + ))−+ ), 2 (2ε0∫︁ ε* −(︀ * − )︀( −2 − , 2 ( 2 − ))− 2 (− ), =: Δ.2ε0Возьмем (, ) := () := + γ2 , где γ > 0.

Тогда∫︁ ε(︀ ( + , 0 + )( − , 0 + )Δ =) + ()(εε0( −( −− , 0 + ) )︀2 + , 0 + )− () − ( 2) .εεОбозначим = max (, ),(,)(, ) ∈ [−1, 1] × 2 ([−1, 1]).50Если взять γ :=1Δ 6ε∫︁ε (︀δ/ε(/ε)2> 0, то для 6εимеем 6 () 6 + δε , и( + , 0 + ) + ( − , 0 + ) + 2δ0− ()︀−−+ , 0 + ) − (− , 0 + ) < 022(последнее неравенство следует из (2.7)).Тем самым, мы пришли к противоречию, что завершает доказательство.2.7Доказательство неравенства (2.1)Теорема 2.4.

Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, и непре­рывная весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ чётна и выпукла по первомуаргументу. Тогда справедливо неравенство (2.1).Доказательство. Для липшицевых функций утверждение теоремы доказанов [16]. Таким образом, необходимо лишь перейти к 11 -функциям.Структура выпуклого по веса гораздо проще структуры веса, которыймы рассматривали для случая монотонной перестановки. Выпуклый вес убыва­ет при < 0 и возрастает при > 0 независимо от .

Тем самым, мы сразувходим в условия (6) из теоремы 2.1. Чтобы войти в условия (7), приме­ним лемму 2.5 с множеством = {(0)}. Это дает нам возможность сразувоспользоваться шагом 1 доказательства, получив неравенство (2.1) в общемвиде. Заметим, что шаг 1 использует лишь условия (1), (6), (7), так чтонет нужды проверять остальные.51Глава 3.

О неравенстве Пойа-Сегё с переменным показателемсуммирования3.1ОбозначенияВ этой главе мы рассматриваем обобщения неравенства (2.1) на случайфункционалов с переменным показателем суммирования в интегранте:∫︁1 () =|′ ()|() ,−1∫︁1ℐ() =(1 + |′ ()|2 )()2.−1Здесь () > 1 — непрерывная функция на отрезке [−1, 1], ∈ 11 [−1, 1], > 0.3.2Необходимые условияТеорема 3.1.

Пусть (* ) 6 () выполнено для любой кусочно линейнойфункции > 0. Тогда () ≡ .Доказательство. Рассмотрим 0 ∈ (−1, 1). Для любых α > 0 и ε > 0, удовле­творяющих [0 − ε, 0 + ε] ⊂ [−1, 1], определим функциюα,ε () = α(ε − | − 0 |)+ .Тогда *α,ε () = α(ε − ||)+ , и∫︁0 +εα() , (α,ε ) =0 −εВозьмём неравенство (*α,ε ) =∫︁εα() .−ε (*α,ε ) (α,ε )6,2ε2εи перейдём к пределу при ε → 0. Поскольку непрерывна, мы получим α(0) 6α(0 ) . При α > 1 и α < 1 это даёт (0) 6 (0 ) и (0) > (0 ) соответственно.52Теорема 3.2.

Если неравенство ℐ(* ) 6 ℐ() выполняется для всех кусоч­но линейных > 0, то чётна и выпукла. Более того, выпукла следующаяфункция:() > 0, ∈ [−1, 1].(, ) = (1 + −2 ) 2 ,Доказательство. Возьмём две точки −1 < 1 < 2 < 1 и рассмотрим финит­ную кусочно линейную функцию с ненулевой производной лишь в окрестностях1 и 2 . А именно, для произвольных , > 0 и достаточно малого ε > 0⎧⎪ε () = 0, ∈[−1, 1 − ε] ∪ [2 + ε, 1]⎪⎪⎪⎪ − 1⎪⎪⎨ε () = ε +, ∈[1 − ε, 1 + ε]⎪ε () = 2ε, ∈[1 + ε, 2 + ε]⎪⎪⎪⎪⎪ −⎪⎩ε () = ε + 2, ∈[2 − ε, 2 + ε].Тогда⎧1 − 2 + 2 − 1 + *⎪⎪()=0,∈[−1,−ε]∪[+ε, 1]ε⎪⎪2222⎪⎪⎪2 − (2 − 1 )1 − 2 + 1 − 2 + ⎪⎪, ∈[−ε,+ε]⎨*ε () = ε ++22221 − 2 + 2 − 1 + ⎪*⎪()=2ε,∈[+ε,−ε]⎪ε⎪⎪2222⎪⎪⎪⎪⎩*ε () = ε + (2 − 1 ) − 2 , ∈[ 2 − 1 − + ε, 2 − 1 + + ε].+2222Множества, на которых ′ε = 0 и *ε ′ = 0 имеют одинаковую меру.

Поэтомунеравенство ℐ(*ε ) 6 ℐ(ε ) эквивалентно следующему:∫︁1 +ε(︀1 )︀ ()1 + 2 2 +1 −ε∫︁2 +ε(︀1+1 )︀ ()222 −ε1 −2+ +22 ε∫︁(︁>1 −2− +22 ε1+12( +2 ))︁ ()22 −1+ +22 ε∫︁ +2 −1− +22 ε(︁1+12( +2 ))︁ ()2.Разделим это неравенство на 2ε и устремим ε → 0, получив в пределе1 )︁ 1+ 2(︁(1 )2( )1 )︁ 22+ 1+ 2 − −( 1 2 2 )( 2 2 1 )(︁)︁(︁)︁+1+122>1 + + 2+1 + + 2. (3.1)22( 2 )( 2 )(︁5362ε()−1JJJJJJJJJJ12-1(а) График ε62ε* ()%%ee%e%e%e%e%e%e%ee%1 −22−12 −12-1(б) График *εРисунок 3.1: К доказательству теоремы 3.2Для начала, положим = в неравенстве (3.1).

Получаем1)2)1 (2 )1 ( 2 −1 ( 1 −1 (1 )222222(1 + 2 )+ (1 + 2 )> (1 + 2 )+ (1 + 2 ).Обозначим σ :=в точке σ = 0:12(3.2)и применим разложение по Тейлору к неравенству (3.2)σ(1 ) + σ(2 ) > σ(2 − 11 − 2) + σ() + (σ),22где (σ) = (σ) при σ → 0. Таким образом, для любых 1 , 2 ∈ [−1, 1] имеем(1 ) + (2 ) > (2 − 11 − 2) + ().22По лемме 2.6 получаем, что чётна и выпукла.54Теперь подставим −2 вместо 2 в (3.1). Поскольку чётна, получаем1 +2(, 1 ) + (, 2 ) > 2( +2 ,2 ).3.3Доказательство неравенства ℐ(* ) 6 ℐ()В этом параграфе мы показываем, что необходимые условия, установлен­ные в теореме 3.2, являются также и достаточными.Лемма 3.1.

Пусть — чётное положительное число, > 0 ( = 1 . . . ),−1 6 1 6 . . . 6 6 1. Тогда, если (, ) чётна по и выпукла по совокуп­ности аргументов, то∑︁( , ) > 2=1(︁ 1 ∑︁2=1)︁1 ∑︁ ,(−1) .2(3.3)=1Доказательство. Заметим, что неравенство (3.3) равносильно такому же нера­венству для функции (, ) = (, ) − . Также заметим, что убывает по, поскольку выпукла по и (, ) = (1 +1 () −11()) 2 (1 + 2 − 2 ) − 1 → 02при → ∞.Тогда∑︁=1(︀ 1 + − 1 )︀,>22(︁ 1 ∑︁(︁ 1 ∑︁)︁ − 1 )︁ 1 ∑︁> 2 ,> 2 ,(−1) .2222 ( , ) > (1 , 1 ) + ( , ) > 2=1=1=1Неравенство (a) следует из того, что чётна по и выпукла, (b) — изубывания по , (c) — из возрастания по при > 0.Лемма 3.2. Пусть функция (, ) чётна по и выпукла по совокупностиаргументов.

Тогда ℐ(* ) 6 ℐ() для любой кусочно линейной функции ∈ 11[−1, 1].Доказательство. Обозначим ⊂ [−1, 1] множество точек излома функции (включая концы отрезка). Возьмём = ([−1, 1]) ∖ (), множество значений55функции без образов точек излома. Это множество представляется в виде объ­единения конечного числа непересекающихся интервалов = ∪ . Заметим,что для каждого множество −1 ( ) разбивается на чётное число интервалов(обозначим это количество ), на каждом из которых функция совпадает снекоторой линейной функцией , = 1, .

. . , . Для удобства считаем, что но­).сители для каждого идут по порядку, то есть sup ( ) 6 inf (+1Обозначим = | ′ ()|. Также обозначим = meas { ∈ (−1, 1)|′ () = 0} = meas { ∈ (−1, 1)|* ′ () = 0}.Тогдаℐ() − =∑︁ ∫︁=(1 + ′2 ())()2 =∑︁ ∑︁ ∫︁−1 ( )∑︁ ∫︁ ∑︁ 1 (1 + 2 )(( )−1 ())2 =′2(1 + ())()2 =( )∑︁ ∫︁ ∑︁ (︁ 1)︁., ( )−1 ()Любая точка ∈ имеет два прообраза относительно функции * , поэто­му на множестве можно определить (* )−1 : → [0, 1]. Для каждого можновыразить (* )−1 и модуль её производной на участке следующим образом:1 ∑︁(* )−1 () =(−1) ( )−1 ();2=1111 ∑︁ 1=:|((* )−1 )′ ()| ==.′|* ((* )−1 ())| 2*=1Ввиду чётности * имеем∫︁()ℐ(* ) − = 2(1 + * ′2 ()) 2 =(* )−1 ( )∫︁* −1 ′|(( ) ) ()| · 1 +=2)︀ ((* )2−1 ())1(︀((* )−1 )′ ()2 =)︀(︀ ∑︀11 −1∑︁ ∫︁ 1 (︀)︀(−1)()()22=1=21 + * 2 =*=2∑︁ ∫︁ (︁ 1 ∑︁)︁1 1 ∑︁ −1,(−1) ( ) () .2 2=1=156Зафиксируем и .

Тогда для доказательства леммы достаточно выполнения∑︁=1(︁ 1)︁, ( )−1 ()(︁ 1 ∑︁)︁1 1 ∑︁ −1> 2,(−1) ( ) () .2 2=1=1Но это неравенство обеспечивается леммой 3.1.Теперь можно доказать неравенство для функций общего вида.Теорема 3.3. Пусть чётна, а выпукла по совокупности переменных.Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1] выполнено ℐ(* ) 6 ℐ().Доказательство.

Без потери общности предполагаем, что () < ∞. По пред­ложению 6 существует последовательность кусочно постоянных функций ,сходящаяся к ′ в пространстве Орлича () . Обозначим первообразные ,удовлетворяющие (−1) = 0.Легко видеть, что ⇒ , а значит ε := − inf → 0. Определим δчерез соотношение:−1+δ∫︁ ( )− = ε(3.4)−1и возьмём˜ = ( )+ − ( )− · {[−1 + δ , 1]}.Мы утверждаем, что ‖˜ − ‖() [−1,1] → 0. Действительно, ввиду (3.4) мерамножества√ = { ∈ [−1, −1 + δ ] : ( )− > ε }стремится к 0 при → ∞. Поскольку → ′ в () , имеем‖( )− ‖() ( ) 6 ‖′ ‖() ( ) + ‖ − ′ ‖() ( ) → 0.Поскольку‖( )− ‖() ([−1,−1+δ ]∖ ) → 0,имеем‖˜ − ‖() [−1,1] = ‖( )− ‖() [−1,−1+δ ] → 0,как и заявлено.57Обозначим ˜ первообразную ˜ , удовлетворяющую ˜ (−1) = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации