Диссертация (1149911), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , −1 (′ , ())−1 , (, ()) )— градиент с весом (обратите внимание, что только вес при зависит от), (·, ·) : Ω × R+ → R+ и (·, ·) : × R+ → R+ — непрерывные функции.Здесь и далее индекс пробегает от 1 до − 1.В этой главе мы рассматриваем следующее неравенство:() 6 ()(1.2)Мы устанавливаем необходимые для выполнения неравенства условия на весо­вую функцию . Также мы доказываем неравенство при необходимых условияхи дополнительном ограничении на рост интегранта по производной.201.2Условия, необходимые для выполнения неравенства (1.2)Теорема 1.1.

i) Если неравенство (1.2) выполняется для некоторой ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , то вес чётен по , то есть (′ , , ) ≡(′ , −, ).ii) Если неравенство (1.2) выполняется для произвольной ∈ F и про­извольной кусочно линейной , то вес удовлетворяет неравенству(′ , , ) + (′ , , ) > (′ , 1 − + , ),′ ∈ , − 1 6 6 6 1, ∈ R+ .(1.3)Доказательство.

1. Докажем утверждение теоремы в одномерном случае: =(), = (, ),∫︁1() = ((), |(, ())′ ()|) .−1i) Предположим, что (, ) ̸≡ (−, ). Тогда найдутся такие 0 ∈ (−1, 1)и 0 ∈ R+ , что(0 , 0 ) < (−0 , 0 ).Поэтому существует ε > 0 такое, что(, ) < (−, ) для всех 0 − ε 6 6 0 , 0 6 6 0 + ε,и можно взять следующую функцию:⎧⎪⎪⎨1 () = 0 + ε, ∈ [−1, 0 − ε]1 () = 0 + 0 − , ∈ (0 − ε, 0 )⎪⎪⎩ () = , ∈ [0 , 1]10Тогда 1 () = 1 (−) и(1 ) − (1 )−∫︁0∫︁0 +ε(︀)︀(︀)︀= 0 + 0 − , (, 0 + 0 − ) − 0 + 0 + , (, 0 + 0 + ) 0 −ε∫︁0=0 −ε−0(︀ (︀)︀(︀)︀)︀ 0 +0 −, (, 0 +0 −) − 0 +0 −, (−, 0 +0 −) < 0,21что противоречит предположениям теоремы. Утверждение (i) доказано.ii) Предположим, что условие (1.3) не выполняется. Тогда в силу непре­рывности функции найдутся такие −1 6 6 6 1, ε, δ > 0 и 0 ∈ R+ , чтодля любых 0 6 6 ε и 0 6 6 0 + ε справедливо неравенство( + , ) + ( − , ) + δ < (1 − + + 2, ).Рассмотрим функцию 2 (см.

рис. 1.1а):⎧⎪2 () = 0 , ∈ [−1, ] ∪ [, 1]⎪⎪⎪⎪⎨ () = + − , ∈ [, + ε]20⎪2 () = 0 + ε, ∈ [ + ε, − ε]⎪⎪⎪⎪⎩ () = + − , ∈ [ − ε, ]20(1.4)Тогда⎧⎪2 () = 0 , ∈ [−1, 1 − + ]⎪⎪⎨ − (1 − + )2 () = 0 +, ∈ [1 − + , 1 − + + 2ε]⎪2⎪⎪⎩2 () = 0 + ε, ∈ [1 − + + 2ε, 1](см. рис. 1.1б).Имеем∫︁2ε(, 2 ) =(︀(1 − + + , 2 (1 − + + )) )︀ 2 (1 − + + ),20∫︁ε=(︀(1 − + + 2, 0 + ) )︀2 0 + ,20∫︁ε0 6 (, 2 ) − (, 2 ) =(︀ (︀)︀(︀)︀ 0 + , ( + , 0 + ) + 0 + , ( − , 0 + )0(1 − + + 2, 0 + ) )︀)︀2∫︁ε(︀ (︀)︀(︀)︀< 0 + , ( + , 0 + ) + 0 + , ( − , 0 + )(︀− 2 0 + ,0(︀( + , 0 + ) + ( − , 0 + ) + δ )︀)︀− 2 0 + , =: Δ.22262 ()@0@-−11(а) График 262 ()0-−11−+1(б) График 2Рисунок 1.1: К доказательству теоремы 1.1Рассмотрим теперь функцию (, ) = α .

Очевидно, что при α = 1 вы­полнено неравенство(︀ + δ )︀ (, ) + (, )− ,+< 0.222(1.5)В нашем случае , могут принимать значения на компакте [0, ], где = max (, ),(,)(, ) ∈ [−1, 1] × 2 ([−1, 1]).Значит найдётся и α > 1 такое, что неравенство (1.5) будет выполняться. На­−1пример, подходит любое 1 < α < (log2 2+δ ) .Тем самым, мы подобрали строго выпуклую по второму аргументу функ­цию , для которой Δ < 0. Это противоречие доказывает утверждение (ii).232. Расммотрим теперь многомерный случай.i) Предположим, что (′ , , ) ̸≡ (′ , −, ).

Тогда найдутся такие ′0 ∈, 0 ∈ (−1, 1) и 0 ∈ R+ , что(′0 , 0 , 0 ) < (′0 , −0 , 0 ).Поэтому существует ε > 0 такое, что(′ , , ) < (′ , −, ) для всех |′ − ′0 | 6 ε, 0 − ε 6 6 0 , 0 6 6 0 + ε,и можно взять функцию(︀)︀1 () = 0 + min(ε − |′ − ′0 |, 0 − ) + .У этой функции в почти каждой точке либо производная по , либо все произ­водные по ′ равны нулю. Кроме того, участки с ненулевой производной по ′дают одинаковые вклады и в (1 ), и в (1 ). Тогда дальнейшие рассужденияиз пункта 1 повторяются дословно.ii) Предположим, что условие (1.3) не выполняется.

Тогда в силу непре­рывности функции найдутся такие ′0 ∈ , −1 6 6 6 1, ε, δ > 0 и 0 ∈ R+ ,что для любых |′ −′0 | 6 ε, 0 6 6 ε и 0 6 6 0 +ε справедливо неравенство( + , ) + ( − , ) + δ < (1 − + + 2, ).Рассмотрим функцию(︀)︀2 () = 0 + min(ε − |′ − ′0 |, − , − ) + .Аналогично, вклад производных по ′ в (2 ) и (2 ) одинаков, и дальнейшиерассуждения совпадают с рассуждениями в пункте 1.Замечание 1.1. Пусть (′ , ·, ) чётна. Тогда условие (1.3) эквивалентно суб­аддитивности функции (′ , 1 − ·, ). В частности, если неотрицательнаяфункция чётна и вогнута по , она удовлетворяет (1.3).Теорема 1.2. Если неравенство (1.2) выполняется для произвольной ∈ Fи произвольной кусочно линейной , закреплённой на левом конце: (−1) = 0,то вес удовлетворяет неравенству (1.3).24Доказательство.

Будем следовать схеме доказательства пункта ii) теоремы1.1. Мы ставим дополнительное ограничение > −1 (ввиду непрерывностивесовой функции от этого требования легко потом избавиться). Также в каче­стве функции 3 берём функцию, возрастающую от нуля на отрезке [−1, ],а на отрезке [, 1] совпадающую с 2 из теоремы 1.1. Тогда функция 3 наотрезке [−1, ] совпадает с 3 , а на отрезке [, 1] совпадает с 2 . Тем самым,(3 ) − (2 ) = (3 ) − (2 ), и рассуждения теоремы 1.1 начиная с вычисле­ния Δ полностью повторяются.1.3Доказательство неравенства (1.2) для кусочно линейныхфункцийЛемма 1.1. Пусть удовлетворяет (1.3).i) Для любых ′ ∈ , −1 6 1 6 2 6 . . . 6 6 1, ∈ R+ выполненыследующие неравенства∑︁=1∑︁′′( , , ) > ( , 1 −(′ , , ) > (′ , −=1∑︁(−1) , ),для чётных ,=1∑︁(−1) , ),для нечётных .=1ii) Предположим дополнительно, что функция чётна.

Тогда для всех′ ∈ , −1 6 1 6 2 6 . . . 6 6 1, ∈ R+ также выполнены следующиенеравенства∑︁=1∑︁′′( , , ) > ( , −1 +∑︁(−1) , ),для чётных ,=1(′ , , ) > (′ ,∑︁=1(−1) , ),для нечётных .=1Доказательство. i) Будем доказывать по индукции. Для = 1 утверждениетривиально. Пусть теперь чётное. Тогда, по предположению индукции,−1∑︁=1′′( , , ) > ( , −−1∑︁=1(−1) , ).25Значит−1∑︁′′′( , , ) + ( , , ) > ( , −−1∑︁(−1) , ) + (′ , , )=1=1′> ( , 1 −∑︁(−1) , ).=1В случае нечётного воспользуемся предположением индукции в следующемвиде:∑︁∑︁′′(−1) , ).( , , ) > ( , 1 +=2=2Тогда′( , 1 , ) +∑︁′′′( , , ) > ( , 1 , ) + ( , 1 +=2∑︁(−1) , )=2′> ( , 1 −∑︁′(−1) , ) = ( , −=2∑︁(−1) , ).=1ii) Доказательство этой части очевидно.Лемма 1.2.

Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию (1.3).Тогда, если — неотрицательная кусочно линейная функция, то () > ().Доказательство. Обозначим через множество точек ∈ Ω, на которыхфункция имеет изломы, объединённое с Ω. Это множество замкнуто. Возь­мём1 := {(′ , (′ , )) : (′ , ) ∈ Ω}2 := {(′ , (′ , )) : (′ , ) ∈ } := 1 ∖ 2 .Множество 2 замкнуто. Поскольку функция кусочно линейна, множество1 открыто. Тем самым, множество тоже открыто и может быть представле­но в виде объединения конечного числа связных непересекающихся открытыхмножеств .

Обозначим число решений уравнения (′ , ) = 0 (это числопостоянно для (′ , 0 ) ∈ , поскольку количество решений может менятьсятолько при переходе через множество 2 ). Легко видеть, что эти прообразы яв­ляются линейными функциями аргумента (′ , ): = (′ , ), = 1, . . . , , и ′ ′1 (′ , (′ , )) = (′ ,) .

Мы будем считать, что 1 ( , ) < 2 ( , ) < · · · <(′ , ).26Уравнение (′ , ) = задаёт как функцию (′ , ) ∈ . Её можновыразить через (в частности, кусочно линейна): чётно =1−(′ , −1) < ∑︀(−1) =1 нечётно = −∑︀(−1) =1 чётно = −1 +′( , −1) > нечётно =∑︀∑︀=1(1.6)(−1) (−1) =1Отсюда ясно, что∑︁1| (′ ,(′ ,))| (′ , (′ , )) ==′ ( ,)=1∑︀и (′ , ) = ± =1(−1) (′ , (′ , )), где знак перед правой частью за­висит только от .Тогда() = ∫︁∑︁ (′ , (), ‖ (′ ,()) (), (,()) ()‖)=1 ∫︁ ∑︁(︁∑︁‖ (′ ,) (′ ,), (′ , (′ ,), )‖ )︁′= , ,| (′ ,)|=1=1( )× | (′ ,)|′ , (1.7)() = ∫︁∑︁ (′ , , ‖ (′ , ()) (), (, ()) ()‖)=1 = ∫︁∑︁=1( )‖ (′ , ) (′ , ), (′ , (′ , ), )‖ )︁ , ,∑︀ ′=1 | ( , )|(︁′×∑︁| (′ , )|′ . (1.8)=1Зафиксируем , ′ и и обозначим = | |, = , = , = (′ ,), = (′ , ), = .

Тогда справедлива следующая цепочканеравенств:27∑︁(︁ ‖ , ( )‖ )︁ (︁ ∑︀ ‖ , ( )‖ )︁ ∑︁ =1∑︀ >=1=1=1∑︀(︁(︁ ∑︀ ‖(−1) , ( )‖ )︁ ∑︁‖ =1 ((−1) , ( ))‖ )︁ ∑︁ =1∑︀∑︀ > ==1=1=1=1∑︀∑︀(︁ ‖ (−1) , ( )‖ )︁ ∑︁ =1=1∑︀==1 =1∑︀(︁)︁‖ =1 (−1) , ()‖ ∑︁∑︀>=1=1∑︀(︁ ‖± (−1) , ()‖ )︁ ∑︁(︁ ‖ , ()‖ )︁ ∑︁ =1∑︀= = ∑︀ . (1.9)=1 =1 =1=1Здесь в переходе (a) применено неравенство Йенсена, в переходах (b) и (e) ис­пользована чётность нормы, в (c) использовано неравенство треугольника, в (d)— лемма 1.1 и чётность веса по .Из (1.9) видно, что подынтегральное выражение в (1.7) не меньше подын­тегрального выражения в (1.8). Тем самым, доказательство завершено.Лемма 1.3. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (1.3). Тогда,если — неотрицательная кусочно линейная функция, удовлетворяющая(·, −1) ≡ 0, то () > ().Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации