Автореферат (1149909)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиБанкевич Сергей ВикторовичО монотонности интегральных функционаловпри перестановкахСпециальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения,динамические системы и оптимальное управлениеАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:доктор физико-математических наук, профес­сор Назаров Александр ИльичОфициальные оппоненты:Степанов Владимир Дмитриевич,член-корреспондент РАН, доктор физико­математических наук, профессор,Федеральное государственное автономное об­разовательное учреждение высшего обра­зования «Российский университет дружбынародов», главный научный сотрудникСурначёв Михаил Дмитриевич,доктор физико-математических наук,Федеральное государственное учреждение«Федеральный исследовательский центрИнститут прикладной математики им.М.В.

Келдыша Российской академии наук»,старший научный сотрудникВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеобразовательное учреждение высшего обра­зования «Владимирский государственныйуниверситет имени Александра Григорьевичаи Николая Григорьевича Столетовых»Защита состоится 14 июня 2018 г. в 14 часов на заседании диссерта­ционного совета Д 212.232.49 при Санкт-Петербургском государственномуниверситете по адресу: 198504, Россия, Санкт-Петербург, Старый Петер­гоф, Университетский пр., дом 28, ауд. 405..С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научной библиотекеим. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета поадресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9, а также насайте https://disser.spbu.ru/files/disser2/disser/2b2QTcvhkz.pdf.Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учре­ждения, просьба направлять по адресу: 198504, Россия, Санкт-Петербург,Старый Петергоф, Университетский пр., дом 28, ауд.

405., ученому секре­тарю диссертационного совета Д 212.232.49.Автореферат разослан «»Ученый секретарь диссертационногосовета Д 212.232.49, докторфизико-математических наук, доцент2018 года.Чурин Ю. В.Общая характеристика работыАктуальность темы исследования. Перестановки играют значи­мую роль в вариационном исчислении. Впервые симметричная переста­новка (симметризация) была введена Штейнером в 1836 году. Штейнерработал над доказательством изопериметрического неравенства (задачейДидоны) о максимальной площади плоской фигуры с фиксированнымпериметром.

Штейнер используя симметризацию доказал в [1], что ес­ли максимум существует, он достигается на круге. Только в 1879 годуВейерштрасс доказал существование максимума методами вариационно­го исчисления.Примерно во время появления доказательства в своей книге [2] лордРэлей сформулировал гипотезу о том, что среди всех плоских мембран за­данной площади, закреплённых по краю, наименьшей основной частотойобладает круг (а точнее, предположил, что выполняется некоторая оценкапервого собственного числа через меру области). Математически эта зада­ча сводится к нахождению минимума первого собственного числа задачиДирихле для оператора Лапласа, которая имеет вариационную природу.Гипотеза Рэлея была доказана независимо Фабером ([3]) и Краном ([4]) сиспользованием симметризации и получила в дальнейшем название нера­венства Крана-Фабера.

Отметим, что другая гипотеза Рэлея о наименьшейосновной частоте закреплённой пластины была доказана лишь в 1995 годуНадирашвили [5] с использованием варианта симметризации, предложен­ного ранее Пойа и Сегё.Впоследствии изучение свойств перестановок получило дальнейшееразвитие в работах Пойа и Сегё, подытоженное в классическом труде[6].

«Изопериметрические неравенства в математической физике». В кни­ге при помощи симметризации доказано множество соотношений междуразличными геометрическими и физическими характеристиками областей,такими как уже упомянутые периметр, площадь, основная частота мембра­ны, основная частота закреплённой пластины, а также моментом инерции,жёсткостью кручения, ёмкостью и другими.

Эти соотношения позволяютне только сформулировать утверждения относительно наиболее выгодныхформ области с точки зрения разнообразных величин, но и оценить слож­ные для вычисления величины через те, которые получить просто.В частности, в книге [6] доказано так называемое неравенство Пойа­Сегё, состоящее в следующем. Пусть функция : R → R+ (здесь и далееR+ = [0, ∞)) гладкая и финитная, тогда выполнено неравенство∫︁∫︁*|∇ ()| 6 |∇()| ,(1)RRгде * — симметричная перестановка функции .

И даже более общееутверждение: для > 0 и для любой выпуклой : R+ → R+ , > 03выполнено∫︁ (|∇* ()|) 6R∫︁ (|∇()|).(2)RТакже, поскольку это неравенство может применяться для нахож­дения функций, доставляющих минимум функционала, особый интереспредставляет вопрос, когда (2) превращается в равенство. Только в 1988году Бразерс и Зимер ([7]) установили условия, при которых из равенствав (2) следует совпадение и * с точностью до параллельного переноса.В течение 80-х годов вышло несколько публикаций об обобщениинеравенства Пойа-Сегё на функционалы вида∫︁ ()(‖∇‖).Далее, в работе [8] неравенство Пойа-Сегё распространено при некоторых(необходимых, судя по всему) ограничениях на функционалы вида∫︁ (′ , )(‖∇‖),где норма ‖·‖ — некоторая взвешенная норма с весами, зависящими от ′ .Доказательство дано для гладких функций . Также, аналогичные нера­венства были получены для монотонной перестановки.Отметим ещё связанное с перестановками понятие поляризации,которое исползьзуется для доказательства многих утверждений изопери­метрического характера (см., например, [9; 10]).Степень разработанности темы исследования.

Существенносложнее оказалось распространить неравенство на более общую зависи­мость от функции и от переменной, по которой происходит перестановка.Значительную роль в решении этого вопроса сыграла работа [11]. В нейдля липшицевых функций при некоторых условиях на весовую функциюбыл получен аналог неравенства (2).∫︁∫︁ (′ , * (), ‖* ‖) 6 (′ , (), ‖‖),(3)ΩΩ′где = (1 , . . . , ) = ( , ), = (1 (′ , ())1 , . . . , −1 (′ , ())−1 , (, ()) ).Однако в переносе этого неравенства на общий случай содержится про­бел. В [11] доказано, что если последовательность функций сходится в 11 (R ), то подпоследовательность из симметризаций этих функций схо­дится там же слабо.

Ввиду этого факта доказательство можно вести последующей схеме.– Неравенство доказывается для кусочно линейных функций .– Доказывается, что функционал слабо полунепрерывен снизу.4– Находится последовательность кусочно линейных функций , при­ближающих предельную функцию в смысле пространств Соболева( → в 11 (R )) и в смысле функционала (( ) → ()). После чегоможно написать(* ) 6 lim (* ) 6 lim ( ) = ().Автор работы [11] постулировал существование по существу бездоказательства.

Между тем, приближение функции в смысле функциона­ла регулярными (в частности липшицевыми) функциями нельзя назватьпростым вопросом. Известно множество примеров, когда даже инфимумфункционала по естественной области определения функционала отлича­ется от инфимума по множеству регулярных функций, в том числе и водномерном случае. Для таких функционалов говорят о возникновенииэффекта Лаврентьева.В 1927 г.

М. А. Лаврентьев обнаружил ([12]), что для интегральногофункционала с выпуклым по производной и коэрцитивным интегрантоминфимум по абсолютно непрерывным функциям может быть строго мень­ше инфимума по липшицевым функциям. В [13] дан более простой пример,для которого возникает эффект Лаврентьева в одномерном случае.В работе [14] получено знаменитое логарифмическое условие отсут­ствия эффекта Лаврентьева в многомерном случае, а также приведеныпростые примеры на плоскости, для которых эффект Лаврентьева име­ет место.В статье [15] показано, что для функционалов вида∫︁ 1 ((), ′ ())−1можно найти последовательность регулярных функций , приближаю­щих и в 11 [−1, 1], и в смысле функционала.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации