Автореферат (1149909), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В частности, для такихфункционалов эффект Лаврентьева отсутствует.В статье [16] пробел в работе [11] частично закрыт для функционаловсхожей структуры при помощи тонких результатов геометрической теориифункций, полученных в работе [17], и приближения лагранжиана снизу.Отметим ещё работу [18], в которой рассматривается неравенствоПойа-Сегё с весом для монотонных перестановок в двумерном случае приусловии, что функция закреплена на левом краю прямоугольника. Нера­венство доказано при условии степенного роста интегранта по производнойи убывания веса по . Заметим, что условие на вес довольно ограничи­тельны.Цели и задачи.

Целью диссертации является обобщение неравен­ства Пойа-Сегё как на более общие функционалы и формы зависимостиот свободной переменной, функции и её производной, так и на случай мо­нотонной перестановки, которая также представляет серьёзный интерес.5Основной задачей является ввести зависимость от переменной, по которойпроисходит перестановка.Научная новизна. Выносимые на защиту положения являются но­выми.Теоретическая и практическая значимость работы. Работаносит теоретический характер.

Результаты представляют интерес дляспециалистов по вариационному исчислению и уравнениям в частных про­изводных.Методология и методы исследования. При доказательстве ос­новных результатов диссертации были использованы классические методывариационного исчисления, математического и функционального анали­за, а также обобщение метода аппроксимации в смысле функционала,разработанного в [15]. В главе 2 использован разработанный автором ориги­нальный метод аппроксимации непрерывной функции многих переменныхфункциями с конечным числом монотонных участков при некоторых огра­ничениях.Положения, выносимые на защиту.– Получены необходимые условия на вес для выполнения неравенстваПойа-Сегё с весом для монотонной перестановки.– Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановкив случае ограниченного (степенного) роста интегранта .– Доказано неравенство Пойа-Сегё с весом в одномерном случае без огра­ничений, лишь при необходимых условиях.– Доказана необходимость условий, налагаемых в работе [11] на вес длявыполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для симметризации.– В одномерном случае закрыт пробел в работе [11]: доказано неравенствоПойа-Сегё с весом для симметризации без дополнительных ограниче­ний.– Представлены необходимые и достаточные условия выполнения нера­венства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки на функциях,закреплённых на левом конце.

Неравенство доказано в многомерномслучае для интегрантов ограниченного роста по производной и в одно­мерном случае без дополнительных ограничений.– Представлены необходимые и достаточные условия выполнения нера­венства Пойа-Сегё с переменным показателем суммирования в одномер­ном случае. Показано, что прямое многомерное обобщение отсутствует.Степень достоверности и апробация. Все результаты диссерта­ции снабжены подробными доказательствами и опубликованы в ведущихнаучных изданиях. Результаты диссертации докладывались на следующихсеминарах и конференциях:– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и ди­намическим системам (Суздаль, 2006).6– Международная конференция «Теория приближений» (Санкт-Петер­бург, 2010).– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и ди­намическим системам (Суздаль, 2010).– Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смеж­ные вопросы», посвящённая 110-летию И.

Г. Петровского (Москва,2011).– Международная школа “Variational Analysis and Applications” (Эриче,Италия, 2012).– Международная конференция по дифференциальным уравнениям и ди­намическим системам (Суздаль, 2016).– Cеминар им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петер­бургском отделении математического института им.

В.А.Стеклова РАН(Санкт-Петербург, рук: Н. Н. Уральцева, А. И. Назаров, Т. А. Суслина).– Городской семинар по конструктивной теории функций (Санкт-Петер­бург, рук.: М. А. Скопина)– Семинар по теории функций многих действительных переменных и ееприложениям к задачам математической физики (Семинар Никольско­го) (Москва, рук.: О. В. Бесов).Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [24—27], [28—32]. Работы [24; 27] опубликованы в журналах из перечня ВАК.Работы [25; 26] опубликованы в изданиях, удовлетворяющем достаточномуусловию включения в перечень ВАК — журнал «Calculus of Variations andPartial Differential Equations» и переводная версия журнала «Записки на­учных семинаров Ленинградского отделения математического институтаим.

В.А. Стеклова АН СССР» («Journal of Mathematical Sciences») входятв систему цитирования Scopus.Работы [24; 25] написаны в неразделимом соавторстве, за исключени­ем оригинального метода аппроксимации, предложенного автором.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, че­тырёх глав, содержащих 20 параграфов, заключения и списка литературы.Полный объём диссертации составляет 73 страницы, включая 6 рисункови 2 таблицы.

Список литературы содержит 61 наименование.Содержание работыВо введении описаны актуальность темы исследования и степеньее разработанности, поставлены цели и задачи, аргументирована науч­ная новизна, достоверность, теоретическая и практическая значимостьрезультатов, перечислены использованные методы, выносимые на защитуположения, публикации и доклады по теме диссертации, кратко изложенаструктура работы.В главе 0 диссертации введены обозначения, используемые в работе,а также приведены используемые известные факты со ссылками на ис­точники.7Напомним определения перестановок. Пусть Ω = × (−1, 1), где — ограниченная область в R−1 с липшицевой границей. Обозначим =(1 , .

. . , −1 , ) = (′ , ).Для измеримой неотрицательной функции , заданной на Ω выполне­на теорема о послойном представлении (см. [19, теорема 1.13]), состоящаяв следующем. Пусть (′ ) := { ∈ [−1,1] : (′ , ) > }. Тогда имеетместо равенство∫︁ ∞′( , ) = { (′ )}(),0где {} — характеристическая функция множества .Определим симметричную перестановку измеримого множества ⊂[−1, 1] и симметричную перестановку (симметризацию по Штейнеру) неот­рицательной функции ∈ 11 (Ω).∫︁∞meas meas ** ′ := [−,]; ( , ) = {( (′ ))* }().220В тех же условиях определим монотонную перестановку множества и функции ∈ 11 (Ω).∫︁∞′ := [1 − meas , 1];( , ) = { (′ )}().0В главе 1 диссертации изучается неравенство, аналогичное неравен­ству (3), с монотонной перестановкой вместо симметризации.Определим множество F непрерывных функций : × R+ × R+ →R+ , выпуклых и строго возрастающих по третьему аргументу, удовлетво­ряющих (·, ·, 0) ≡ 0.Рассмотрим функционал∫︁() = (′ , (), ‖‖),Ωгде ∈ F, ‖·‖ — некоторая норма в R , симметричная по последней ко­ординате, = (1 (′ , ())1 , .

. . , −1 (′ , ())−1 , (, ()) )— градиент с весом (обратите внимание, что только вес при зависитот ), (·, ·) : Ω×R+ → R+ и (·, ·) : ×R+ → R+ — непрерывные функции.Здесь и далее индекс пробегает от 1 до − 1.Рассмотрим неравенство() 6 ()В § 1.1 вводятся необходимые обозначения.8(4)В § 1.2 устанавливаются условия, необходимые для выполнения нера­венства (4).Теорема 1. i) Если неравенство (4) выполняется для некоторой ∈ Fи произвольной кусочно линейной , то вес чётен по , то есть(′ , , ) ≡ (′ , −, ).ii) Если неравенство (4) выполняется для произвольной ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , то вес удовлетворяет неравенству(′ , , ) + (′ , , ) > (′ , 1 − + , ),′ ∈ , − 1 6 6 6 1, ∈ R+ .(5)Также получены необходимые условия в случае закреплённых на ле­вом конце функций.Теорема 2.

Если неравенство (4) выполняется для произвольной ∈ F ипроизвольной кусочно линейной , закреплённой на левом конце: (·, −1) ≡0, то вес удовлетворяет неравенству (5).В § 1.3 доказывается неравенство (4) для кусочно линейных .Лемма 1. Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию (5).Тогда, если — неотрицательная кусочно линейная функция, то () >().Лемма 2. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (5).

Тогда,если — неотрицательная кусочно линейная функция, удовлетворяющая(·, −1) ≡ 0, то () > ().В § 1.4 устанавливается слабая полунепрерывность функционала идоказывается теорема, которая в дальнейшем является основой для пре­дельных переходов.Теорема 3. Пусть ⊂ ⊂ 11 (Ω). Предположим, что для каждого ∈ найдётся последовательность ∈ такая, что → в 11 (Ω)и ( ) → (). Тогдаi) Если для любой функции ∈ выполнено ( * ) 6 (), то длялюбой функции ∈ будет выполнено (* ) 6 ().ii) Если для любой функции ∈ выполнено () 6 (), то длялюбой функции ∈ будет выполнено () 6 ().В § 1.5 неравенство (4) доказывается для интегрантов с ограниченнымростом по производной.Теорема 4. Пусть функция (′ , ·, ) чётна и удовлетворяет условию(5). Тогдаi) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈(Ω).9ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае.

Если 6 , то дополнительно предположим, что веса и ограничены. Тогданеравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω).Теорема 5. Пусть функция (′ , ·, ) удовлетворяет условию (5). Тогдаi) Неравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈(Ω), удовлетворяющей (·, −1) ≡ 0.ii) Предположим, что для любых ′ ∈ , ∈ R+ , ∈ R функция удовлетворяет неравенству* (′ , , ) 6 (1 + || + || ),где 1* = 1 − 1 , если < , либо * любое в противном случае. Если 6 , то дополнительно предположим, что веса и ограничены.

Тогданеравенство (4) верно для произвольной неотрицательной ∈ 1 (Ω),удовлетворяющей (·, −1) ≡ 0.Глава 2 диссертации посвящена снятию условия ограниченного ростас интегранта. Это удаётся сделать только в одномерном случае, поэтомудалее ∈ 11 [−1, 1] и∫︁1() = ((), (, ())|′ ()|) .−1В § 2.1 формулируется одномерный вариант задачи.В § 2.2 удаётся распространить результат статьи [15] на случай функ­ционала и доказать отсутствие эффекта Лаврентьева в случае кусочноймонотонности веса.Лемма 3.

Характеристики

Список файлов диссертации