Отзыв официального оппонента 2 (1149916)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОТЗЫВофициального оппонента на диссертационную работуБанкевича Сергея Викторовича «О монотонности интегральныхфункционалов при перестановках», представленную на соисканиеучёной степени кандидата физико-математических наук поспециальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамическиесистемы и оптимальное управление.Актуальность диссертации. Диссертация С.В. Банкевича посвящена исследованию аналогов неравенства Полиа-Сегё для интегральныхфункционалов при различных равноизмеримых перестановках. Изучение поведения интегральных функционалов при различных перестановках восходит к классическим работам Я. Штейнера, Г.

Шварца, связанас именами Г. Харди и Дж. Литтлвуда, Ф. Рисса, Г. Полиа и Г. Сегё,Г. Фабера и Э. Крана. Затем эти методы получили применение в известных работах Г. Таленти, Э. Либа, Дж. Бразерса и У. Цимера, А. Альвино, Дж. Тромбетти и П.-Л. Лионса, В.Н.

Дубинина, Б. Каволя и многихдругих известных исследователей. Исследования эти активно идут понастоящее время (Ф. Брок, А. Солынин, Л. Эспозито и Дж. Тромбетти,С. Виллани, Я. Бренье), что связано с универсальностью и мощью данного класса подходов, обширным классом решаемых задач (получениенеравенств, точных констант и др.). Основное внимание в диссертацииуделяется изучению поведения под действием перестановки штейнеровского типа интегральных функционалов, содержащих при производныхвес, зависящий от переменной интегрирования. В частности, в этом направлении автор закрывает пробел в работе Ф.

Брока 1999 года, связанный с эффектом Лаврентьева, и обобщает результаты этой работы вплане переноса результата на многомерный случай и рассмотрения монотонной перестановки вместо симметричной. Также автор рассматривает обобщение неравенства Полиа-Сегё для интегральных функционаловс переменным показателем суммирования. Изучение пространств с переменным показателем суммирования, соответствующих интегральных1функционалов и уравнений с нестандартными условиями коэрцитивности и роста является одним из основных современных направлений втеории функциональных пространств, вариационном исчислении и уравнений в частных производных. Таким образом, тематика диссертацииявляется актуальной.Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, где обосновывается актуальность выбранной темы и излагаются основные полученные результаты, четырёх глав и заключения. В главе 0 содержатсяформулировки используемых результатов из теории функций. В главе 1автор получает необходимые условия на весовую функцию для справедливости неравества Полиа-Сегё при монотонной перестановке и доказывает что эти условия и достаточны в многомерном случае для перестановок соболевских функций при условии соответствующего степенногороста интегранта по градиенту и роста интегранта по самой функциине выше критического соболевского показателя.

При рассмотрении перестановок липшицевых функций условия степенного роста интегрантаи ограниченности веса a не нужны, также ограниченность веса не нужна для показателя роста интегранта больше размерности пространства.Аналогичные условия получены с закреплением функций на левом конце. Достаточность условий вначале проверяется на кусочно-линейныхфункциях с помощью специальных числовых неравенств для веса a. Затем автор доказывает свойство слабой полунепрерывности функционаласнизу, и с помощью леммы Брока о существовании для сходящейся в W 1,1последовательности слабо сходящейся в том же пространстве подпоследовательности перестановок распространяет неравенство на соболевскиефункции. Отмечу, что необходимость условия проверяется при конкретном выборе F = pα со специальным выбором α.Вторая глава диссертации посвящена обобщению полученного неравенства в одномерном случае на функционалы без ограничений на ростинтегранта.

В 1999 году появилась работа Ф. Брока, где было доказано неравенство Полиа-Сегё для симметричных перестановок также без2ограничений на рост интегранта, однако в доказательстве имелся пробел— возможность приближения W 1,1 функции кусочно-линейными в смысле W 1,1 и функционала доказана не была. Автор восполняет этот пробел.Фактически, вторая глава диссертации и посвящена доказательству возможности такого приближения. Рассматриваются в основном монотонные перестановки для неотрицательных функций, а также для функций с закреплением на конце интервала.

В конце главы приводится доказательство для случая симметричной перестановки, рассматриваемого Броком, который оказывается проще. Технически результаты второйглавы представляют собой наиболее сложную часть диссертации.Приведём наиболее полный результат для одномерного случая, вытекающий из результатов первой и второй глав диссертации. ПустьZ 1F (u(x), a(x, u(x))|u′ (x)|) dx, 0 ≤ u ∈ W 1,1 (−1, 1),J(u) =−1где F (·, ·) — непрерывна, выпукла и строго возрастает по второму аргументу, F (·, 0) ≡ 0, вес a непрерывен. Тогда необходимым и достаточнымусловием выполнения для всех F из рассматриваемого класса неравенства Полиа-Сегё J(ū) ≤ J(u) , где ū — монотонно неубывающая перестановка u, является чётность функции a(·, v) для всех v и выполнениеусловияa(s, v) + a(t, v) ≥ a(1 − t + s, v) для всех v ≥ 0,−1 ≤ s ≤ t ≤ 1.

(1)Для выполнения неравенства Полиа-Сегё для функций, закреплённых налевом конце, u(−1) = 0, условие (??) является необходимым и достаточным. Для случая симметричной перестановки u∗ необходимым и достаточным условием выполнения неравенства Полиа-Сегё J(u∗ ) ≤ J(u) длявсех F из рассматриваемого класса и неотрицательных u ∈ W 1,1 (−1, 1)является чётность и выпуклость весовой функции по первому аргументу(как раз здесь автор закрывает пробел в доказательстве Брока).Третья глава диссертации посвящена получению аналога неравенстваПолиа-Сегё с переменным показателем суммирования.

Оказывается, что3прямое обобщение с интегрантом |ξ|p(x) даже в одномерном случае невозможно, ибо влечёт постоянство показателя p(x). Поэтому автор рассматриваетфункционал с интегрантом (1 + |ξ|2 )p(x)/2 :Z 1(1 + |u′ (x)|2 )p(x)/2 dx.J (u) =−1Здесь оказывается, что выполнение для этого функционала неравенстваПолиа-Сегё для симметрических перестановок кусочно-линейных функций, J (u∗ ) ≤ J (u), влечёт чётность и выпуклость показателя p(x) ивыпуклость функции K(s, x) = s(1 + s−2 )p(x)/2 . Оказывается, что этиусловия и достаточны для выполнения неравенства Полиа-Сегё для u ∈W01,1 (−1, 1).

Автор также находит достаточные условия выпуклости функции K(s, x). Весьма неожиданно оказывается, что в многомерном случаевыполнения неравенство Полиа-Сегё для рассматриваемого функционала в случае штейнеровской симметризации по некоторому направлениювлечёт постоянство показателя p(·) вдоль этого направления.В заключении приводится краткая сводка основных результатов диссертации.Научная новизна и достоверность работы. Научная новизна диссертации заключается в i) получении необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Полиа-Сегё для достаточно общего классаинтегральных функционалов при монотонных перестановках; ii) создании оригинального метода доказательства возможности приближенияW 1,1 (−1, 1) функций кусочно-линейными в смысле W 1,1 (−1, 1) и функционала без ограничений роста на интегрант, что позволяет строго доказать неравенство Полиа-Сегё как для монотонных, так и для симметричных перестановок; iii) получении необходимых и достаточных условийвыполнения аналога неравенства Полиа-Сегё в случае функционалов спеременным показателем суммирования.Все результаты диссертации являются новыми, снабжены строгимиматематическими доказательствами, их достоверность не вызывает сомнений.

Результаты диссертации опубликованы в 4 работах в рецензируемых научных изданиях из списка ВАК, представлены в ряде сборников4тезисов международных конференций. Особенную ценность полученныеС.В. Банкевичем результаты представляют в силу своей законченнойформы — автор получает необходимые и достаточные условия. Крометого, большой интерес для дальнейших приложений представляет развитый С.В. Банкевичем метод приближения функций на отрезке. Представленные в диссертации результаты и методы несомненно найдут своёприменение и развитие в дальнейших исследованиях.Замечания к работе.1. Страница 5 — опечатка в слове «используется», страница 23 — в слове«рассмотрим».

Страница 25, при введении множеств U1 , U2 , U междуними пропущены знаки препинания.2. Страница 9 — издание, в котором автор опубликовал [55] сейчас называется «Записки научных семинаров ПОМИ», а не «Записки научныхсеминаров Ленинградского отделения . . . АН СССР».3. Предложение 2 на странице 17 называется теоремой Банаха-Сакса илиМазура (для общего случая банаховых пространств). Предложение 3 тамже является по сути частным случаем теоремы Уитни. Эти утвержденияявляются классическими и их следовало бы поименовать.4. В предложении 4 на странице 17 содержится какая-то ошибка — функция f (ϕh ) определена на отрезке [−1, 1], а автор пишет о сходимостиf (ϕh ) к f в L1 (R).5. Доказательство теоремы 1.1 в многомерном случае на странице 23написано уж очень кратко. Функции u1 , u2 , строго говоря, не являютсякусочно-линейными.6. Замечание 1.1 на странице 23 приведено без доказательства.7.

Страница 26, в выражении для Di ū(x′ , y) пропущено деление на Dn ȳ.В формулах 1.7 и 1.8 в средних строчках в нормах, похоже, находятсялишние члены u, ū (аргументы веса a).8. Страница 29, строка 3 снизу. Откуда-то у автора возникают u′k . Видимо, имеется в виду Jε (∇uk ), и слабая сходимость ∇uk к ∇u. Похожена артефакт от одномерного случая. Эти опечатки очень затрудняют5корректное восприятие равенства на строке 4 следующей страницы.9. Страница 37, автор пишет kuh k∞ < 2r при достаточно больших h. Насамом деле, kuh k∞ ≤ kuk∞ по построению.10. Страница 39, строки 3,4.

Если симметричность множества нулей легко видеть, то утверждение на строке 4 всё-таки требует доказательства(несложного, но оно необходимо), так же как и фраза на строках 5,6.11. Страница 41, содержание замечания 2.2 следовало бы включить влемму 2.5.12. Страница 43, строка 3, автор пишет “Очевидно, получившиеся функции bl удовлетворяют (H1)-(H7)”. Автору это, конечно, очевидно, но отчитателя проверка семи условий требует определённой работы.13. Страница 43, в начале доказательства шага 3 автор пишет “абсциссыточек излома.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации