Автореферат (1149909), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть — непрерывная функция, (·, ) возрастает на [−1, 0]и убывает на [0, 1] для всех > 0. Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1], > 0, найдётся последовательность { } ⊂ [−1, 1], удовлетворяющая → в 11 [−1, 1]и( ) → ().(6)Теорема 6. Пусть функция непрерывна, чётна, убывает на [0, 1] иудовлетворяет неравенству (5).
Тогда для любой ∈ 11 [−1, 1] выполнено(* ) 6 ().В § 2.3 доказано несколько важных свойств весовых функций, удовлетворяющих необходимым условиям. В частности установлена структурамножества нулей весовых функций.В § 2.4 с веса снимается требование монотонности и, тем самым, неравенство (4) доказано в наиболее общем виде.10Теорема 7. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, ивесовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ непрерывна и допустима для .Тогда справедливо неравенство (4).В § 2.5 завершается доказательство для функций, закреплённых налевом конце.Теорема 8.
Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна,(−1) = 0, весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ непрерывна и удовлетворяет неравенству (5). Тогда справедливо неравенство (4).В § 2.6 доказано, что условия, накладываемые на вес в работе [11],являются необходимыми в случае симметричной перестановки.Теорема 9. Если неравенство (3) выполняется для произвольной ∈ Fи произвольной кусочно линейной , то вес — чётная и выпуклая попервому аргументу функция.И наконец, в § 2.7 закрывается пробел в работе [11] в одномерномслучае.Теорема 10. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, инепрерывная весовая функция : [−1, 1] × R+ → R+ чётна и выпукла попервому аргументу. Тогда справедливо неравенство (3).В главе 3 диссертации рассмотрено обобщение неравенства ПойаСегё на случай переменного показателя суммирования.
А именно, рассматриваются два функционала:∫︁1 ()=|′ ()|() −1∫︁1ℐ()=(1 + |′ ()|2 )()2.−1Подобные функционалы возникают при моделировании электрореологических жидкостей (см., напр., [20; 21]). В частности, в настоящее времяактивно изучаются эллиптические уравнения с ()-лапласианом в качестве главного члена. Литература в этой области обширна, см. напр. [22;23] и ссылки оттуда.В § 3.1 ставится задача и вводятся обозначения.В § 3.2 получены условия, необходимые для выполнения неравенств (* ) 6 () и ℐ(* ) 6 ℐ().Теорема 11. Пусть (* ) 6 () выполнено для любой кусочно линейнойфункции > 0. Тогда () ≡ .11То есть изучение аналога неравенства Пойа-Сегё для функционалаℐ теряет смысл.Теорема 12.
Если неравенство ℐ(* ) 6 ℐ() выполняется для всех кусочно линейных > 0, то чётна и выпукла. Более того, выпукла следующаяфункция:(, ) = (1 + −2 )()2 > 0, ∈ [−1, 1].,В § 3.3 показано, что условия, необходимые для выполнения неравенства ℐ(* ) 6 ℐ(), являются и достаточными.Лемма 4. Пусть чётна, а выпукла по совокупности переменных.Тогда для любой кусочно линейной функции ∈ 11 [−1, 1] выполненоℐ(* ) 6 ℐ().Теорема 13.
Пусть чётна, а выпукла по совокупности переменных.Тогда для любой функции ∈ 11 [−1, 1] выполнено ℐ(* ) 6 ℐ().Условие выпуклости функции есть на самом деле неявное условиена функцию . В § 3.4 приведены некоторые явные достаточные условиявыполнения неравенства ℐ(* ) 6 ℐ().Выпуклость функции равносильна неотрицательности гессиана (если есть выпуклость по какому-нибудь направлению: всегда выпуклапо ), которая в свою очередь сводится к условию ′′ > ′2 (, ),где =12 ,() = () − 1,(4 − ( + 3) ln( + 1)) −(, ) =−1ln( + 1) + 4 ln(+1)−42( + 1)·.+1Теорема 14.
Пусть () > 1 — чётная непрерывная функция на [−1, 1].i) Если функция (() − 1)0.37 выпукла, то неравенство ℐ(* ) 6 ℐ()выполнено для любой неотрицательной ∈ 11 [−1, 1].√︀ii) Если () 6 2.36 для всех ∈ [−1, 1] и функция() − 1выпукла, то неравенство ℐ(* ) 6 ℐ() выполнено для произвольной неотрицательной ∈ 11 [−1, 1].В § 3.5 описаны численно-аналитические методы для получения оценок, на которых основаны выводы теоремы 14.
Пусть ℬ() ≡ sup (, ).>0Тогда12sup ℬ() = lim sup ℬ() 6 0.63;(7)→+∞>0ℬ() 6 0.5.sup(8)0661.36Наконец, в § 3.6 показано, что прямое распространение неравенстваℐ(* ) 6 ℐ() на многомерный случай несодержательно.∫︀∫︀()()Теорема 15. Если (1+|∇* ()|2 ) 2 6 (1+|∇()|2 ) 2 для любойΩнеотрицательной функции ∈ 11Ω(Ω), то (′ ,) не зависит от .В заключении перечисляются основные результаты работы.Работа поддержана грантом РФФИ 18-01-00472.Список литературы1. Steiner J. Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze // J.
ReineAngew. Math. — 1838. — Т. 18. — С. 281—296.2. Стретт (лорд Рэлей) Д. В. Теория звука. — М. : ГИТТЛ, 1995.3. Faber G. Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicherFläche und gleicher Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundtongibt // Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. München, Math.-Phys. Kl. —1923. — С. 169—172.4. Krahn E.
Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft desKreises // Math. Ann. — 1925. — Т. 94. — С. 97—100.5. Nadirashvili N. Rayleigh’s conjecture on the principal frequency of theclamped plate // Arch. Rational Mech. Anal. — 1995. — Т. 129. — С. 1—10.6. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математическойфизике. — М. : Государственное издательство физико-математическойлитературы, 1962.7. Brothers J.
E., Ziemer W. P. Minimal rearrangements of Sobolevfunctions // J. Reine Angew. Math. — 1988. — Т. 384. — С. 153—179.8. Kawohl B. On the isoperimetric nature of a rearrangement inequalityand its consequences for some variational problems // Arch. Rat. Mech.Anal. — 1986. — Т.
94, вып. 3. — С. 227—243.9. Дубинин В. Н. Преобразование функций и принцип Дирихле // Матем. заметки. — 1985. — Т. 38, вып. 1. — С. 49—55.10.Solynin A. Y., Zalgaller V. A. An isoperimetric inequality for logarithmiccapacity of polygons // Ann. Math. — 2004. — Т. 159, вып. 1. — С. 277—303.1311.Brock F. Weighted Dirichlet-type inequalities for Steiner symmetrization //Calc. Var. and PDEs. — 1999. — Т. 8, № 1.
— С. 15—25.12.Lavrentieff M. Sur quelques problèmes du calcul des variations // Ann.Mat. Pura Appl. — 1927. — Т. 4, вып. 1. — С. 7—28.13.Mania B. Sopra un esempio di Lavrentieff // Boll. Un. Mat. Ital. —1934. — Т. 13. — С. 147—153.14.Zhikov V. V. On Lavrentiev’s Phenomenon // Russian J. Math. Phys. —1995. — Т. 3, № 2. — С. 249—269.15.Alberti G., Serra Cassano F. Non-occurrence of gap for one-dimensionalautonomous functionals // Proceedings of “Calc. Var., Homogen. andCont. Mech.” / под ред. G. Bouchitté, G. Buttazzo, P.
Suquet. —Singapore, 1994. — С. 1—17.16.Esposito L., Trombetti C. Steiner symmetrization: a weighted versionof Pólya-Szegö principle // NoDEA Nonlinear Differential EquationsAppl. — 2007. — Т. 14, вып. 1/2. — С. 219—231.17.Cianchi A., Fusco N. Steiner symmetric extremals in Pólya-Szegö typeinequalities // Adv. Math. — 2006.
— Т. 203, вып. 2. — С. 673—728.18.Landes R. Some remarks on rearrangements and functionals with nonconstant density // Math. Nachr. — 2007. — Т. 280, № 5/6. — С. 560—570.19.Либ Э., Лосс М. Анализ. — Новосибирск : Научная книга, 1998.20.Rajagopal K. R., Ružička M. On the modeling of electrorheologicalmaterials // Mech. Research Comm. — 1996. — Вып. 23. — С. 401—407.21.Ružička M.
Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory.Т. 1748. — Berlin : Springer, 2000. — (Lecture Notes in Mathematics).22.Lebesgue and Sobolev spaces with Variable Exponents. Т. 2017 /L. Diening [и др.]. — Berlin : Springer, 2011. — (Lecture Notes inMathematics).23.Жиков В. В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптическихуравнениях с нестандартными условиями роста. — Новосибирск : Т.Рожковская, 2017.14Публикации автора по теме диссертацииПубликации в рецензируемых изданиях24. Банкевич С.
В., Назаров А. И. Об обобщении неравенства ПойаСеге для одномерных функционалов // Доклады Академии Наук. —2011. — Т. 438, № 1. — С. 11—13.25. Bankevich S. V., Nazarov A. I. On monotonicity of some functionalsunder rearrangements // Calc. Var. and PDEs. — 2015. — Т.
53, № 3/4. — С. 627—647.26. Банкевич С. В. О монотонности некоторых функционалов при монотонной перестановке по одной переменной // Зап. научн. сем.ПОМИ. — 2016. — Т. 444. — С. 5—14.27. Банкевич С. В. О неравенстве Пойи–Сегё для функционалов с переменным показателем суммирования // Функц. анализ и его прил. —2018. — Т. 52, вып. 1. — С. 56—60.Прочие публикации28. Банкевич С.
В., Назаров А. И. О поведении некоторых функционаловпри монотонных перестановках // Международная конференция подифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисыдокладов. — Владимир, 2006. — С. 26.29. Банкевич С. В. О свойствах монотонной перестановки // Международная конференция «Теория приближений». Тезисы докладов. —СПб, 2010.
— С. 3.30. Банкевич С. В. Об эффекте Лаврентьева для одномерных функционалов // Международная конференция по дифференциальнымуравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — Владимир, 2010. — С. 28.31. Bankevich S. V. On monotonicity of some functionals underrearrangements // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвящённая 110-летию И.
Г.Петровского. Сборник тезисов. — М., 2011. — С. 14.32. Bankevich S. V. The Pólya-Szegő type inequality with variableexponent // Международная конференция по дифференциальнымуравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — 2016. —С. 242.15Банкевич Сергей ВикторовичО монотонности интегральных функционаловпри перестановкахАвтореф. дис. на соискание ученой степени канд.
физ.-мат. наук... Заказ №Подписано в печатьФормат 60×90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз.Типография.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
