Диссертация (1149911), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Обозначимαℎ, := |Ωℎ, |,Тогда ℎ′ =βℎ,αℎ,−+−βℎ, := ℎ (+ℎ, ) − ℎ (ℎ, ) = (ℎ, ) − (ℎ, ).в Ωℎ, . Заметим, что∫︁∑︁|βℎ, | 6 |′ | 6 ‖′ ‖1 [−1,1] < ∞,ℎ∑︀а значит, |βℎ, | → 0 при ℎ → 0 по теореме Лебега.Определим функцию ϕℎ ∈ 11 [0, 1] следующим образом:ϕℎ (0) = 0ϕ′ℎ = 1ϕ′ℎ(︁ |β | )︁ℎ,= max,1αℎ,в [0, 1] ∖ ℎ ,в Ωℎ, .36∫︀ 1∑︀Заметим, что 0 |ϕ′ℎ | 6 1 + |βℎ, | < ∞.Покажем, что ϕ′ℎ → 1 в 1 (0, 1):∫︁)︁(︁ |β | )︁∑︁∑︁(︁ℎ,′|βℎ, | → 0., 1 − 1 αℎ, 6max|ϕℎ − 1| =αℎ,Отсюда следует, что ϕℎ удовлетворяет условиям предложения 4.: [0, 1] → [0, 1] — ограничение обратной к ϕℎРассмотрим теперь ϕ−1ℎ′функции на [0, 1].

Тогда 0 6 (ϕ−1ℎ ) 61 иϕ−1ℎ (0) = 0′(ϕ−1ℎ ) = 1в [0, 1] ∖ ϕℎ (ℎ ),(︁ α)︁ℎ,−1 ′(ϕℎ ) = min,1|βℎ, |в [0, 1] ∩ ϕℎ (Ωℎ, ).Возьмём ℎ = ℎ (ϕ−1ℎ ). Заметим, что ℎ (0) = (0), и−1 ′′−1′ℎ = ℎ′ (ϕ−1ℎ ) · (ϕℎ ) = (ϕℎ )в [0, 1] ∖ ϕℎ (ℎ ),(︁ |β | )︁ℎ,′′−1−1 ′ℎ = ℎ (ϕℎ ) · (ϕℎ ) = sign βℎ, · min 1,αℎ,в [0, 1] ∩ ϕℎ (Ωℎ, ).Тем самым, ℎ липшицева, поскольку ′ ограничена в [0, 1] ∖ ℎ .Покажем, что ℎ → в 11 [0, 1].

Для этого достаточно оценить‖′ℎ∫︁′− ‖1 6|′ℎ∫︁′−|+[0,1]∖ϕℎ (ℎ )ℎ1∫︁′|=′(ϕ−1ℎ ) − | [0,1]∩ϕℎ (ℎ )∫︁∫︁|′ℎ | +|′ | =: ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 .[0,1]∩ϕℎ (ℎ )′∫︁′| − (ϕℎ )| 6=ϕ−1ℎ ([0,1])∖ℎ[0,1]∖ϕℎ (ℎ )|′ − ′ (ϕℎ )| .[0,1]В силу предложения 4, ℎ1 → 0. Далее,∑︁∑︁∑︁∑︁ℎ2 6 |ϕℎ (ℎ )| =|ϕℎ (Ωℎ, )| =max(|βℎ, |, αℎ, ) 6αℎ, +|βℎ, | → 0.Наконец, ℎ3 → 0 по абсолютной непрерывности интеграла, и утверждение до­казано.Осталось показать, что 1 (ℎ ) → 1 ().37∫︁(︀)︀ ℎ (), (, ℎ ())|′ℎ ()| 1 (ℎ ) =[0,1]∖ϕℎ (ℎ )∫︁(︀)︀ ℎ (), (, ℎ ())|′ℎ ()| =: ^ℎ1 + ^ℎ2 .+[0,1]∩ϕℎ (ℎ )Поскольку ∈ 11 [0, 1], имеем ∈ ∞ ([0, 1]). Обозначим ‖‖∞ = , тогда‖ℎ ‖∞ < 2 при достаточно больших ℎ. Кроме того, |′ℎ | 6 1 почти всюду вϕℎ (ℎ ). Тогда ^ℎ2 6 |ϕℎ (ℎ )| → 0, где =Далее,∫︁^1ℎ =max[−2,2]×[− , ]; =max.[0,1]×[−2,2](︀)︀−1′−1−1 ′ (ϕ−1()),(,(ϕ())|(ϕ())(ϕ)|)ℎℎℎℎ[0,1]∖ϕℎ (ℎ )∫︁(︀)︀ (), (ϕℎ (), ())|′ ()| =ϕ−1ℎ ([0,1])∖ℎ∫︁=(︀)︀ (), (ϕℎ (), ())|′ ()| {ϕ−1ℎ ([0, 1]) ∖ ℎ } .[0,1]Последнее равенство, вообще говоря, не имеет смысла, так как ϕℎ () можетпринимать значения вне [0, 1].

Определим (, ) = (1, ) при > 1, теперьвыражение корректно. Заметим, что {ϕ−1ℎ ([0, 1]) ∖ ℎ } возрастают, так как−1−1множества ϕ−1ℎ ([0, 1]) возрастают и ℎ убывают, то есть ϕℎ1 ([0, 1]) ⊂ ϕℎ2 ([0, 1])и ℎ1 ⊃ ℎ2 при ℎ1 6 ℎ2 . На отрезке [0, 1] (и даже ϕℎ ([0, 1])) функция убывает,а также ϕℎ () убывает по ℎ, значит (ϕℎ ()) будет расти по ℎ. В таком случаеможно применить теорему о монотонной сходимости и получить∫︁(︀)︀^1ℎ → (), (, ())|′ ()| .[0,1]Замечание 2.1.

Очевидно, что те же рассуждения с закреплением функ­ции на левом конце можно провести на любом интервале [0 , 1 ], где вес38 убывает по . То есть можно получить последовательность {ℎ }, удовле­творяющуюℎ → в 11 [0 , 1 ];∫︁1∫︁1(︀)︀(︀)︀ ℎ (), (, ℎ ())|′ℎ ()| → (), (, ())|′ ()| .ℎ (0 ) = (0 );00Аналогично, если возрастает по , можно аппроксимировать с закрепле­нием на правом конце.Следствие 2.1. Пусть функция непрерывна, чётна, убывает на [0, 1] иудовлетворяет неравенству (1.3). Тогда для любой ∈ 11 [−1, 1] выполнено(, * ) 6 (, ).Доказательство. Неравенство немедленно следует из теоремы 1.3 и леммы 2.1.2.3Свойства весовой функцииЗдесь мы получаем несколько следствий из условия (1.3) на вес.

Дляудобства в пределах этого параграфа мы опускаем второй параметр веса:(, ) = (); очевидно, что все полученные свойства будут выполняться длялюбых .Лемма 2.2. i) Пусть функция удовлетворяет условию (1.3). Если найдётсятакое 0 ∈ [−1, 1], что (0 ) = 0, то либо ≡ 0 на [0 , 1], либо множествонулей функции периодично на [0 , 1], причем период нацело делит 1 − 0 .ii) Пусть функция удовлетворяет условию (1.3) и чётна. Если най­дётся такое 0 ∈ [−1, 1], что (0 ) = 0, то либо ≡ 0, либо функция периодична на отрезке [−1, 1], причем период нацело делит 1 − 0 .Доказательство. i) Прежде всего, заметим, что если для некоторых 6 выполнено () = () = 0, то неравенство (1.3) влечёт0 = () + () > (1 − ( − )) > 0,39то есть (1 − ( − )) = 0.

Подставив = = 0 , получаем (1) = 0.Точно так же, если 6 1 − и () = (1 − ) = 0, то ( + ) = 0.Тем самым, множество нулей функции симметрично на отрезке [0 , 1],и если () = ( + Δ) = 0 (Δ > 0), то ( + Δ) = 0, для + Δ 6 1.Отсюда следует, что множество корней либо периодично на отрезке [0 , 1], либосовпадает с ним.ii) Периодичность нулей функции следует из её чётности и из первойчасти утверждения леммы. Обозначим расстояние между соседними нулями заΔ.Тогда для −1 6 6 1 − Δ выполнено() = () + (1 − Δ) > ( + Δ).С другой стороны, −1 6 −( + Δ) 6 1 − Δ, и( + Δ) = (−( + Δ)) + (1 − Δ) > (−) = ().Тем самым, () = ( + Δ).Лемма 2.3. Пусть функции 1 и 2 удовлетворяют неравенству (1.3).

Тогдафункции max(1 (), 2 ()) и 1 () + 2 () тоже ему удовлетворяет.Доказательство. Положим () = max(1 (), 2 ()). Тогда(1 − + ) = max(1 (1 − + ), 2 (1 − + )) 6 max(1 () + 1 (), 2 () + 2 ())6 max(1 (), 2 ()) + max(1 (), 2 ()) = () + ().Утверждение для функции () = 1 () + 2 () очевидно.Лемма 2.4. Пусть функция удовлетворяет неравенству (1.3), ∈ N. Тогдакусочно линейная функция , интерполирующая функцию по узлам (−1 +2 ), = 0, 1, . . .

, , тоже удовлетворяет неравенству (1.3).Доказательство. 1. Пусть = −1+ 2 , = −1+ 2 . Тогда неравенство выполня­ется для , потому что оно выполняется для , а в этих точках они совпадают.2. Пусть теперь = −1 + 2 , и ∈ [−1 + 2 , −1 + 2(+1) ].Рассмотрим линейную функцию ℎ1 () = (1 − + ) − () − (). Изчасти 1 следует ℎ1 (−1 + 2 ) 6 0 и ℎ1 (−1 + 2(+1) ) 6 0. Значит, поскольку ℎ140линейна, ℎ1 () 6 0.

Тем самым, неравенство выполняется для любого = −1+ 2и ∈ [−1, 1].3. Пусть и удовлетворяют соотношению 1 − + = 2 .Рассмотрим функцию ℎ2 () = ( 2 ) − ( + ) − ( + ). Если взять0 такое, что + 0 — один из узлов, то + 0 — тоже узел. Следовательноℎ2 (0 ) = ( 2 )−(+0 )−(+0 ) 6 0. Поскольку ℎ2 линейна между подобными0 , получаем ℎ2 () 6 0 для всех допустимых .4. Наконец, для произвольного ∈ [−1, 1] рассмотрим ℎ3 () = (1 − +) − () − ().

Заметим, что если или 1 − + являются узлами, то изчастей 2 и 3 следует ℎ3 () 6 0. Поскольку ℎ3 линейна между такими , имеемℎ3 () 6 0 для всех допустимых , что завершает доказательство.2.4Доказательство неравенства (1.2) для произвольных весовВ этом параграфе мы избавимся от условия монотонности веса по . Будемэто делать в несколько этапов.Для начала отметим, что все свойства функции существенны лишьв окрестности графиков функций , .

Более того, все рассуждения этогопараграфа будет построены так, чтобы использовать свойства веса только вокрестности графика .Мы вводим несколько ограничений на весовую функцию. Каждое следу­ющее, будучи добавленным к предыдущим, задаёт более узкий класс весов.(1) (, ) чётна по и удовлетворяет неравенству (1.3), а также (, ) < ∞.(2) На множестве ∈ [min (), max ()], для которых (·, ) ̸≡ 0, количе­ство нулей функций (·, ) ограничено константой, не зависящей от .(3) Если (0 , (0 )) = 0 для некоторого 0 , то (·, (0 )) ≡ 0. Кроме того,выполнено lim (, ()) = 0, где→∞ () := { ∈ [min (), max ()] : (·, ) ̸≡ 0},max |(1 , ) − (2 , )| (, ) := sup∈|1 −2 |6 2min(, )2dist(,−1 ())6 .(2.4)41(4) Найдётся такое чётное , что (·, ) линейны для каждого на участках[−1 + 2 , −1 + 2(+1) ].(5) Множество ∈ R, для которых (·, ) имеет участки постоянства, отли­чается от множества ∈ R таких, что (·, ) ≡ 0, лишь на множество меры 0.(6) Отрезок [−1, 1] можно разбить на конечное число промежутков, на каж­дом из которых в -окрестности графика () вес не меняет монотонностипо .(7) Пусть 1 < 2 < 3 , и на [1 , 2 ] вес (·, ) в -окрестности графикафункции убывает, а на [2 , 3 ] возрастает.

Тогда в некоторой окрестноститочки (2 ) имеем (·, ) ≡ 0.Вес, удовлетворяющий условию (1), мы будем называть допустимымдля заданной функции ().Теперь мы можем сформулировать основное утверждение главы.Теорема 2.1. Пусть ∈ F, функция ∈ 11 [−1, 1] неотрицательна, и ве­совая функция : [−1, 1] × R+ → R+ непрерывна и допустима для . Тогдасправедливо неравенство (1.2).Мы докажем неравенство (1.2) при условиях (1) − (7), а затем будемпостепенно избавляться от них.Для доказательства нам потребуются следующаяЛемма 2.5.

Характеристики

Список файлов диссертации