Диссертация (1149911), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда получаем(︀)︀̂︀̂︀ * ) − ) 6 1 ¯′ (1 , 1 , ¯1 ) − 1 · meas 10 6 (ℐ()− ) − (ℐ(11(︀ 1)︀(︀)︀+ 2 ¯′2 (2 , 2 , ¯2 ) − 1 · meas 2 + (1 + 4 ) 2 − 1 · meas δ(︀ 2)︀ +2 1 +2′( 1− 1 +,,^)−1· meas ′11^2212(︀ 2)︀ +2 1 +2′( 1,,^)−1· meas ′2− 1 +2^2222(︀)︀6 ¯′1 (1 , 1 , ¯1 ) + ¯′2 (2 , 2 , ¯2 ) 1 +2 + ( 2 + ())(2 − 1 )+3)︀(︀ +2 1 +22 1 +2′( 1− ^′1 ( 1 +,,^)+,,^)1 +2 .12^22222Здесь = max (′ , ), (¯′1 , ¯1 ) ∈ 1 , (¯′2 , ¯2 ) ∈ 2 , (^′1 , ^1 ) ∈ ′1 , (^′2 , ^2 ) ∈ ′2 .Мы переходим к пределу при → 0 и получаем′0 (1 , 1 , 1 ) + ′0 (2 , 2 , 2 )> ′0(︀ 1 +22)︀(︀ 1 +2 1 +2 2 −1 )︀2 1 −2′, 1 +,+.0222 , 2 , 266Отсюда следует, что ′0 выпукла, поскольку она чётна по .Наконец, заметим (здесь мы опускаем для краткости ′ в записи ′ ), что√︀, ) · 1 + 2 ,(,,) = ( √1 + 2где функция введена в теореме 3.2. Прямое вычисление показывает, чтоdet(′′ (, , )) =13(1 + 2 ) 2[︀ 2]︀222· ( − ()2 )( − ) − ( )2 2). То есть если ̸≡ 0, можно выбрать достаточно большое(здесь = √1+2, чтобы получить det(′′ (, , )) < 0 и, тем самым, противоречие.67ЗаключениеВ данной диссертации получены разноплановые обобщения неравенстваПойа-Сегё с введением зависимости интегранта от переменной, по которойпроисходит перестановка.
Неравенство перенесено на случай монотонных перестановок с зависимостью от свободной переменной в виде веса при производной.Также неравенство обобщено на случай переменного показателя суммированияв оригинальном неравенстве Пойа-Сегё.Более детально, получены необходимые условия на вес для выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки. Доказанонеравенство Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки в случае ограниченного (степенного) роста интегранта .
Доказано неравенство Пойа-Сегёс весом в одномерном случае без ограничений, лишь при необходимых условиях. Доказана необходимость условий, налагаемых в работе [16] на вес длявыполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для симметризации. В одномерномслучае закрыт пробел в работе [16]: доказано неравенство Пойа-Сегё с весом длясимметризации без дополнительных ограничений.
Представлены необходимыеи достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с весом для монотонной перестановки на функциях, закреплённых на левом конце. Неравенстводоказано в многомерном случае для интегрантов ограниченного роста по производной и в одномерном случае без дополнительных ограничений. Представленынеобходимые и достаточные условия выполнения неравенства Пойа-Сегё с переменным показателем суммирования в одномерном случае. Показано, что прямоемногомерное обобщение отсутствует.68Список литературы1. Steiner J. Einfache Beweise der isoperimetrischen Hauptsätze // J.
ReineAngew. Math. — 1838. — Т. 18. — С. 281—296.2. Стретт (лорд Рэлей) Д. В. Теория звука. — М. : ГИТТЛ, 1995.3. Faber G. Beweis, dass unter allen homogenen Membranen von gleicherFläche und gleicher Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton gibt //Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss.
München, Math.-Phys. Kl. — 1923. — С. 169—172.4. Krahn E. Über eine von Rayleigh formulierte Minimaleigenschaft des Kreises //Math. Ann. — 1925. — Т. 94. — С. 97—100.5. Nadirashvili N. Rayleigh’s conjecture on the principal frequency of the clampedplate // Arch. Rational Mech. Anal. — 1995. — Т. 129. — С. 1—10.6. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математическойфизике. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.7.
Brothers J. E., Ziemer W. P. Minimal rearrangements of Sobolev functions //J. Reine Angew. Math. — 1988. — Т. 384. — С. 153—179.8. Kawohl B. On the isoperimetric nature of a rearrangement inequality andits consequences for some variational problems // Arch. Rat. Mech. Anal. —1986. — Т. 94, вып. 3. — С. 227—243.9. Дубинин В. Н. Преобразование функций и принцип Дирихле // Матем.заметки. — 1985. — Т. 38, вып.
1. — С. 49—55.10. Дубинин В. Н. Преобразование конденсаторов в пространстве // Докл.АН СССР. — 1987. — Т. 296, вып. 1. — С. 18—20.11. Dubinin V. N. Capacities and geometric transformations of subsets in-space // Geom. Funct. Anal. — 1993. — Т. 3, вып. 4. — С. 342—369.12. Дубинин В. Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // УМН. — 1994. — Т.
49, 1(295). — С. 3—76.13. Brock F., Solynin A. An approach to symmetrization via polarization // Trans.Amer. Math. Soc. — 2000. — Т. 352, № 4. — С. 1759—1796.6914. Solynin A. Y., Zalgaller V. A. An isoperimetric inequality for logarithmiccapacity of polygons // Ann. Math. — 2004. — Т. 159, вып. 1. — С. 277—303.15.
Bobkov V., Kolonitskii S. On qualitative properties of solutions for ellipticproblems with the -Laplacian through domain perturbations // arXiv. —25.01.2017. — препринт по адресу https://arxiv.org/pdf/1701.07408.pdf.16. Brock F. Weighted Dirichlet-type inequalities for Steiner symmetrization //Calc. Var.
and PDEs. — 1999. — Т. 8, № 1. — С. 15—25.17. Coron J. M. The continuity of the rearrangement in 1, // Ann. ScuolaNorm. Sup. Pisa. — 1984. — Т. 11, вып. 1. — С. 57—85.18. Almgren F. J., H. L. E. Symmetric decreasing rearrangement is sometimescontinuous // J.
Amer. Math. Soc. — 1989. — Т. 2. — С. 683—773.19. Burchard A. Steiner Symmetrization is Continuous in 1, // Geometric &Functional Analysis GAFA. — 1997. — Т. 7, вып. 5. — С. 823—860.20. Lavrentieff M. Sur quelques problèmes du calcul des variations // Ann. Mat.Pura Appl.
— 1927. — Т. 4, вып. 1. — С. 7—28.21. Mania B. Sopra un esempio di Lavrentieff // Boll. Un. Mat. Ital. — 1934. —Т. 13. — С. 147—153.22. Zhikov V. V. On Lavrentiev’s Phenomenon // Russian J. Math. Phys. —1995. — Т. 3, № 2. — С. 249—269.23. Жиков В. В. О плотности гладких функций в пространстве Соболева–Орлича // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2004. — Т. 310. — С. 67—81.24.
Жиков В. В., Сурначёв М. Д. О плотности гладких функций в весовыхсоболевских пространствах с переменным показателем // Алгебра и анализ. — 2015. — Т. 27, вып. 3. — С. 95—124.25. Alberti G., Serra Cassano F. Non-occurrence of gap for one-dimensionalautonomous functionals // Proceedings of “Calc.
Var., Homogen. and Cont.Mech.” / под ред. G. Bouchitté, G. Buttazzo, P. Suquet. — Singapore, 1994. —С. 1—17.26. Esposito L., Trombetti C. Steiner symmetrization: a weighted version ofPólya-Szegö principle // NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. —2007. — Т. 14, вып. 1/2. — С. 219—231.7027. Cianchi A., Fusco N.
Steiner symmetric extremals in Pólya-Szegö typeinequalities // Adv. Math. — 2006. — Т. 203, вып. 2. — С. 673—728.28. Landes R. Some remarks on rearrangements and functionals with non-constantdensity // Math. Nachr. — 2007. — Т. 280, № 5/6. — С. 560—570.29. Либ Э., Лосс М. Анализ. — Новосибирск : Научная книга, 1998.30. Rajagopal K. R., Ružička M. On the modeling of electrorheological materials //Mech.
Research Comm. — 1996. — Вып. 23. — С. 401—407.31. Ružička M. Electrorheological fluids: modeling and mathematical theory. Т.1748. — Berlin : Springer, 2000. — (Lecture Notes in Mathematics).32. Lebesgue and Sobolev spaces with Variable Exponents. Т. 2017 / L. Diening[и др.]. — Berlin : Springer, 2011. — (Lecture Notes in Mathematics).33. Жиков В. В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптическихуравнениях с нестандартными условиями роста. — Новосибирск : Т. Рожковская, 2017.34.
Жиков В. В. К технике предельного перехода в нелинейных эллиптических уравнениях // Функц. анализ и его прил. — 2009. — Т. 43, вып. 2. —С. 19—38.35. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. Теоремы существования и единственностирешений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Матем. сб. — 2014. — Т. 205, вып.
3. — С. 3—14.36. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. Гёльдеровская непрерывность решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Тр. сем.им. И. Г. Петровского. — М., 2011. — Т. 28. — С. 8—74.37. Алхутов Ю. А., Жиков В. В. Теоремы существования решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности // Тр. МИАН.
—М., 2010. — Т. 270. — С. 21—32. — (Дифференциальные уравнения и динамические системы).38. Алхутов Ю. А. Неравенство Харнака и гёльдеровость решений нелинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста //Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, вып. 12. — С. 1651—1660.39. Алхутов Ю. А. О гёльдеровой непрерывности ()-гармонических функций // Матем. сб. — 2005. — Т. 196, вып. 2. — С. 3—28.7140. Алхутов Ю. А., Крашенинникова О.
В. Непрерывность в граничных точках решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартнымусловием роста // Изв. РАН. Сер. матем. — 2004. — Т. 68, вып. 6. — С. 3—60.41. Алхутов Ю. А., Сурначёв М. Д. О неравенстве Харнака для эллиптического (, )-лапласиана // Доклады Академии Наук. — 2016. — Т. 470, №6. — С. 623—627.42. Alkhutov Y. A., Surnachev M. D. A Harnack inequality for a transmissionproblem with ()-Laplacian // Applicable Analysis. — 2018. — С. 1—13.43. Жиков В. В., Пастухова С.
Е. О повышенной суммируемости градиентарешений эллиптических уравнений с переменным показателем нелинейности // Матем. сб. — 2008. — Т. 199, вып. 12. — С. 19—52.44. Пастухова С. Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффектЛаврентьева и вопросы достижимости // Матем. сб. — 2007. — Т. 198, вып.10. — С. 89—118.45. Жиков В.
В., Пастухова С. Е. Леммы о компенсированной компактности в эллиптических и параболических уравнениях // Тр. МИАН. — М.,2010. — Т. 270. — С. 110—137. — (Дифференциальные уравнения и динамические системы).46. Жиков В. В., Пастухова С. Е. О Γ-сходимости осциллирующих интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивности и роста // Матем.
сб. —2014. — Т. 205, вып. 4. — С. 33—68.47. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Равномерная выпуклость и вариационнаясходимость // Тр. МИАН. — М., 2014. — Т. 75. — С. 245—276.48. Буттаццо Д., Джаквинта М., Гильдебрандт С. Одномерные вариационные задачи. Введение. — Новосибирск : Научная книга, 2002.49. Рудин У. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975.50. Эванс Л., Гариепи Р. Ф. Теория меры и тонкие свойства функций. — Новосибирск : Научная книга, 2002.7251. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
