Диссертация (1149863), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Результаты численного анализа для случая N = 4 показаны на Рис. 2.1 при ε = 1 и на Рис. 2.2при ε = 2. Видно, что при d = 3 траектории инвариантных зарядов, стартуя сразличных начальных значений, пересекают границу области устойчивостидействия при некотором значении ξ0 параметра ξ. Аналогичное поведениенаблюдается для прочих значений N ≥ 4. В двумерной системе также от-сутствуют ИК устойчивые фиксированные точки. Здесь только траекториис достаточно малыми начальными значениями зарядов пересекают границуобласть устойчивости, что явствует из Рис. 2.2, все остальные – не нару-шают устойчивость системы. Поэтому судить о наличии или типе фазовогоперехода в двумерной модели (2.9), используя лишь пересуммированные пятипетлевые разложения, невозможно.49На Рис.

2.3 показана зависимость РГ траекторий от числа учтённыхпетлевых вкладов в уравнениях (2.26) при d = 3. Видно, что траекториисходятся с увеличением M, и пятипетлевое приближение оказывается достаточным, чтобы гарантировать объективность выводов о потере устойчивостисистемы и оценить значение ξ0 .

Найденные решения системы (2.26) являются устойчивыми относительно малых изменений начальных данных. Заметимтак же, что при рассмотрении 4-петлевых бета-функций, удаётся обнаружитьустойчивую в ИК области фиксированную точку, которая отсутствует приучёте младших петель и вновь исчезает при анализе 5-петлевых вкладов. Такое поведение не позволяет считать эту точку действительно существующей.Она рассматривается как артефакт теории возмущений.В области устойчивости, а также в некоторой окрестности вне её, a(1)даёт наибольший вклад в АВП при любых значениях N > 2. Естественнопредположить, что фазовый переход первого рода в системе происходит, когда РГ траектории пересекли границу области стабильности, но ещё не отдалились от ней, поэтому при любых N метод Бореля-Лероя может быть реализован с АВП, определяемой лишь величиной a(1).

Иными словами, главныйвклад в АВП при исследовании модели (2.12) в окрестности границы устойчивости системы даёт наиболее вырожденный нетривиальный инстантон.Точка ξ0 не является точкой фазового перехода первого рода; при ξ = ξ0появляются лишь метастабильные состояния. При каком значении ξc этисостояния станут стабильными, т.е. в системе появится конденсат, можнобудет судить лишь после включения в действие (2.12) старших членов типа∼ χ6 . При построении модели (2.9) такие вершины отбрасывались ввиду ихИК несущественности по сравнению с ведущими членами типа ∼ χ4 , однакотеперь они релевантны с точки зрения обеспечения устойчивости системы.502.4Ренормировка составных операторовПри петлевом разложении функционала (2.4) в действии (2.12) возникает вершина F3 ≡ tr(χ† χ)3, которая в рамках ренормгруппового анализабудет рассматриваться как составной оператор [2] с канонической размерно-стью ∆3 = 6 − 3ε.

Можно составить ещё два монома той же размерностиF2 ≡ tr(χ†χ)2 tr(χ† χ) и F1 ≡ (tr χ† χ)3. В процессе ренормировки операто-ры одной размерности могут смешиваться друг с другом, поэтому в действие(2.12) должна быть включёна линейная комбинация λ0j Fj /36, где λ0j – затравочные источники. Определим ренормированные параметры λi соотношениемλ0j = Zjk λk µ2ε−2.

Матрица констант ренормировки имеет общий для схемыMS вид (1.3)Zjk = δjk +{Z}jk+ старшие полюса по ε,εj, k = 1, 2, 3.(2.27)Полюс {Z}jk является функций только зарядов gi . Аналогично (2.14) можнонаписать РГ функции для источников λjβλj = −(2ε − 2)λj + λk (g1 ∂1 + g2 ∂2){Z}kj .(2.28)Константы ренормировки Zjk находятся из требования УФ конечности ренормированных 6-хвостых функций Грина с одной вставкой составного оператора Fj . Бета-функции (2.28) были вычислены в однопетлевом приближении51βλ1 = 2(1 − ε)λ1 + g133λ1(N 2 − N + 14) + λ2(N − 1) + λ3 +443+ g2 [λ1(N − 1) + λ2 ] ,21 βλ2 = 2(1 − ε)λ2 + g1 λ3 (6N − 9) + λ2(N 2 − N + 38) +43+ g2 [6λ1 + λ2 (N − 2) + 3λ3] ,2βλ3 = 2(1 − ε)λ3 +(2.29)153g1λ3 + g2 [λ3(N − 4) + 4λ2] ,22растяжение зарядов gi → gi /16π2 подразумевается.В процессе перенормировки операторов Fi должно быть учтено полноесемейство составных операторов с одинаковой канонической размерностьюпри d = 4.

Помимо самих мономов Fi это семейство включает следующиеоператорыf2 = tr ∇2χ† ∇2χ,f45 = (tr ∇χ† ∇χ)(tr χ† χ)f41 = tr ∇2χ† χχ† χ + tr χ† ∇2 χχ† χ,f42 = tr ∇χ† χ∇χ†χ + tr χ† ∇χχ† ∇χ,(2.30)f43 = (tr ∇2χ† χ)(tr χ† χ) + (tr χ† ∇χ)(tr χ† χ),f44 = (tr ∇χ†χ)(tr ∇χ† χ) + (tr χ† ∇χ)(tr χ† ∇χ),с каноническими размерностями d[f2] = D + 2, d[f4i] = 2D − 2. Оператор дифференцирования здесь действует только на первое поле следующее за ним.Мы ограничиваемся лишь учётом Fi; вклады (2.30) опущены по причинам,которые обсудим ниже.522.5Функциональное описание фазового переходаКак было отмечено выше, параметром порядка фазового перехода в рассматриваемой модели является среднее значение ∆ ≡ hχi, появление которогосвидетельствует о переходе системы в упорядоченную фазу. Функциональноепреобразование Лежандра [60] позволят находить точное значение ∆ как решение вариационной задачи на экстремум функционалаΓ(∆, ∆†) = ln Z(A, A†) − tr ∆A† − tr ∆†A(2.31)где “статистическая сумма” модели (2.9) во внешних полях A, A††Z(A, A ) =Z††DχDχ† e−S+tr ∆A +tr ∆ A .(2.32)Средние полевые значения ∆, ∆† находятся дифференцированием Z(A, A†)по соответствующим источникам∆=δln Z(A, A†),†δA∆† =δln Z(A, A†).δA(2.33)Функционал (2.31) – производящий функционал 1-неприводимых функцийГрина, которые находятся подходящим дифференцированием Γ = Γ(∆, ∆†)по его полевым аргументам.

В частности, определение (2.31) приводит куравнениям состояния системыδΓ = −A,δ∆†δΓ = −A† ,δ∆(2.34)определяющим значения ∆, ∆† во внешних полях A, A†; функционал −Γ сутьсвободная энергия системы.53−Γab cΔРисунок 2.4 — Схематическое изображение свободная энергия как функциипараметра порядка: a – неупорядоченная фаза, b – метастабильноесостояние, c – “сверхтекучая” фаза.В древесном (среднеполевом) приближении свободная энергия в расширенной старшими членами Fi модели (2.9) на однородных полевых конфигурациях имеет вид2g2g1tr ∆∆† + µε tr ∆∆†∆∆†+(2.35)443λ2λ3λ1tr ∆∆† + µ2ε−2 tr ∆∆†∆∆† tr ∆∆† + µ2ε−2 tr ∆∆†∆∆†∆∆†.+µ2ε−2363636−Γ =τ tr ∆∆† + µεБесконечны объём системы V =Rdd x считается отнесённым к −Γ, поэтому,строго говоря, функция (2.35) – удельная свободная энергия, см. Рис.2.4.Без ограничения общности можно считать, что антисимметричные матрицы ∆, ∆† приведены к пфаффовой форме типа (2.20) с вещественнымикоэффициентами ∆m , m = 1, .

. . , N/2 на главной диагонали. Тогда уравнениясостояния (2.34), определяющие экстремум свободной энергии, в отсутствиивнешних полей сведутся к системе∂Γ= 0.∂∆m(2.36)Точка фазового перехода находится из условия равенства свободных энергий системы в неупорядоченной (a) и упорядоченной (c) фазах: Γ = 0 (см.54Рис. 2.4). При дальнейшем понижении температуры нетривиальный минимум−Γ становится глобальным, а сверхтекучая фаза устойчивой.Петлевые поправки к древесному приближению (2.35) содержат ИКсингулярности, которые суммируются методом ренормализационной группыв инвариантные переменные (2.16), т.е. параметры gi , λj и поля ∆m в (2.35)¯ m, которые тедолжны быть заменены на из инвариантные аналоги ḡi , λ̄j , ∆перь зависят от безразмерного параметра ξ = ln(τ/µ2).

После этой процедурывклады от старших петель дают лишь регулярные ε-поправки к древесномуприближению (2.35). Введём безразмерную переменную zm ≡ ∆m/µdχ , гдеdχ = 1 − ε/2 – каноническая размерность поля χ, тогда соответствующие РГуравнения на инвариантные величины запишутся в видеβi, ḡi |ξ=0 = gi , i = 1, 2;2 + γτβλj∂ξ λ̄j =, λ̄j ξ=0 = λj , j = 1, 2, 3;2 + γτ¯ m¯ m = −∆¯ m dχ + γχ , ∆= zm , m = 1, . .

. , N/2.∂ξ ∆ξ=02 + γτ∂ξ ḡi =(2.37)Разрешая систему (2.36) для функционала (2.35) при условии Γ = 0, получим2nḡ1 + ḡ2¯ 2 = −9,∆m2 4n2λ̄1 + 2nλ̄2 + λ̄3exp(ξ) =(2nḡ1 + ḡ2 )29,16 4n2λ̄1 + 2nλ̄2 + λ̄3(2.38)(2.39)где n – количество ненулевых решении ∆m уравнения (2.36). При уменьшении ξ инвариантные заряды пересекают границу устойчивости N ḡ1 + ḡ2 = 0 вточке ξ0, после чего появляется нетривиальное решение (2.38). Появившейся фазе соответствует параметр порядка ∆ с n = N/2 ненулевыми блоками.Уравнение (2.39) определяет “температуру” ξ = ξc фазового перехода первогорода, при которой новое решение (2.38) становится глобальным минимумомсвободной энергии.

Характеристики

Список файлов диссертации