Диссертация (1149863), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Такое приближение называется LPA’ (local potential approximation’), здесь учитывается перенормировкаполя ϕ, в отличии от более простого LPA, где Zk ≡ 1, и перенормируютсялишь параметры потенциала Uk (ϕ). Для потенциала примем квадратичнуюаппроксимацию.Вблизи критичности ренормализационные функции демонстрируют степенное поведение Xk ∼ k −aX , Yk ∼ k −aY и Zk ∼ k −η, где aX , aY – аномальныеразмерности соответствующих величин, η – индекс Фишера.

Естественноопределить “бегущие аномальные размерности” соотношениямиγXk = −∂s ln Xk ,γYk = −∂s ln Yk ,ηk = −∂s ln Zk .(3.32)По мере приближении к неподвижной точке при s → −∞ величины (3.32)стремятся к аномальным размерностям aX , aY , η. Тогда динамический крити-71ческий индекс z, определяющий дисперсию критических флуктуаций ω ∼ k z ,даётся выражением z = 2 − η + aX .В рассматриваемой модели (3.29) ИК регуляризатор Rk является матри-цей 5 × 5 по полевым индексам.

Из структуры квадратичной части действияследует структура матрицы Rk0Rk =  Rkϕ (p)0Rkϕ (p)0000Rkv (p).(3.33)Наиболее часто используемым ядром является функция Rkϕ (p) = (k 2 −p2) Θ(1 − p2/k 2) [63]. В работах [64; 65] показано, что такой выбор в рамкахLP A′ схемы ускоряет сходимость полевых разложений и повышает точностьчисленных результатов, полученных в ведущих порядках разложения потенциала. Более того, тета-обра́зный регуляризатор допускает аналитическое вычисление петлевого интеграла (3.22).

Отметим также, что при рассмотренииприближений с учётом более старших производных в разложении (3.31) используют более гладкие ядра, поскольку тета-регуляризатор из-за неаналитичести приводит к техническим трудностям. Из соображений размерностирегуляризатор Rkv (p) возьмём в виде Rkv (p) = (k d+ζ − pd+ζ) Θ(1 − p2/k 2)I, где I– единичная матрица по индексам поля скорости.Как было описано ранее, подстановка аназаца (3.30) в функциональноеРГ уравнение (3.22) приводит к системе РГ уравнений на константы связи.Функция Xk = Xk (ρk ) находится подходящим дифференцированием Γkδ ΓkXk (ρk ) = lim ∂iω′ω→0δϕ(−q, −ω)δϕ (q, ω) 2q→0,′ϕ =vj =0ρ=ρk(3.34)72действуя производной ∂s на обе части равенства и используя уравнение Вейттериха (3.22), получим [2]δ tr ln Γk + Rk 1=∂s Xk (ρk ) = ∂ s lim ∂iω′ (q, ω) 2 ω→0δϕ(−q,−ω)δϕϕ′ =vj =0q→0 ρ=ρk1= ∂ s lim ∂iω.−2 ω→0q→02(3.35)Аналогичными действиями получим РГ уравнения для “константы” ренормализации поля δ tr ln+ Rk 1=∂s Zk (ρk ) = ∂ s lim ∂q2′ω→02δϕ(−q,−ω)δϕ(q,ω)ϕ′ =vj =0q→0 ρ=ρk1= ∂ s lim ∂q2−,2 ω→0q→02[2]Γk(3.36)для аномальной размерности Yk (ρk )1δ ∂s Γk1∂s Yk (ρk ) = − lim∂ s lim=−′ (−q, −ω)δϕ′ (q, ω) ω→02 ω→0δϕ4ϕ′ =v =0q→0q→02,jρ=ρk(3.37)и РГ уравнениеδ3∂s Γk=∂s [Xk (ρk )Ak (ρk )] = lim ∂iqjω,ν→0δvj (q, ω)δϕ(−q − p, −ω − ν)δϕ′ (p, ν) ′q,p→0ϕ =vj =0ρ=ρk1= ∂ s lim ∂iqj+,(3.38)2 ω,ν→0q,p→073позволяющее вместе с уравнением (3.35) найти эволюцию заряда Ak (ρk ).Также получим поток для вариационной производной потенциалаδHk [ϕ]δ∂sΓk 1∂s∂ s lim= lim=ω→0ω→0 δϕ′ (q, ω) ′δϕ2ϕ =v =0q→0q→0(3.39).jρ=ρkВ диаграммах внешним хвостам соответствуют поля: пунктирная линия –поле скорости, перечёркнутая линия – поле ϕ′ .

Линии в петлях соответ[2]ствуют пропагатору (Γk + Rk )−1, чьи элементы взяты на конфигурации[2]{ϕ′ = vj = 0, ϕ = ϕk }. Найдем его. Матрица Γk в координатном представлении имеет видδΓk δϕ1 δϕ2[2]kΓk =  δϕδΓ′ 1 δϕ2δΓkδvi 1 δϕ2δΓkδϕ1 δϕ′2δΓkδϕ′1 δϕ′2δΓkδvi 1 δϕ′2δΓkδϕ1 δvj 2 δΓk  ,δϕ′1 δvj 2 (3.40)δΓkδvi 1 δvj 2где ϕ1 = ϕ(x1, t1), прочие поля аналогично. Подставляя сюда разложение(3.30), получим в импульсно-частотном представлении[2]Γk0i ωXk + Zk p2 + 2λk ρk02= − i ωXk + Zk p + 2λk ρk−2Yki piXk Ak ϕk  .

(3.41)−10− i pj Xk Ak ϕkDjiОкончательно приходим к выражению для искомого пропагатора2Yk +(Xk Ak ϕk )2 pj Dji pi|hk |2[2](Γk + Rk )−1 = 1h∗k1hk0i piDji Ahk ϕk k0где hk = i ωXk + Zk p2 + 2λk ρk + Rkϕ .− i pj Dji Xk Ah∗k ϕkk0−1+ Rkv )−1(Dji(3.42)74−1Заметим, что t-локальность действия vi Dijvj связана с галилеевой ин-вариантностью модели. Действительно, рассмотрим преобразование x − x′ →x − x′ + V (t− t′ ), тогда коррелятор скорости hυj (x,t)υi(x′,t′ )i = Dji(x − x′, t− t′ )преобразуется по закону Dji (x − x′, t − t′) → Dji (x − x′ + V (t − t′ ), t − t′). Чтобы−1vj , мы должны брать корреляторобеспечить инвариантность действия viDijв виде Dji (x − x′ , t − t′ ) = δ(t − t′ )D̄ji (x − x′ ) (3.3), где D̄ji (x − x′) зависящаяисключительно от координат функция.

Теперь формально можно выписать−1РГ уравнение на Dij. Оно даётся диаграммой−1∂s Dij=−1∂s2,на нулевой втекающей частоте. Из-за запаздывающей структуры пропагатораграф содержит произведение Θ(t − t′ )Θ(t′ − t) (либо в импульсном представR−1лении – dωh−2k ), поэтому имеет место тождественное равенство ∂s Dij = 0.−1Действие для поля скорости viDijvj не перенормируется.Следующий шаг связан переходом к безразмерным зарядамg1 = Xk−1 Yk Zk−2 k d−4 λk ,g3 = Xk Yk−1 Zk k 2−d ρk ,g2 = Xk Zk−1k −ζD0 ,g4 = A k ,(3.43)где переменные λk , ρk могут быть выражены через потенциал соотношениямиλk = Uk′′ (ρk ) и Uk′ (ρk ) = 0, здесь Uk′ = ∂Uk /∂ρ. Также удобно переопределить безразмерные константы g1 → g1 /c(d), g2 → g2/c(d), g3 → c(d) g3, где−1c(d) = 2d+1πd/2 Γ(d/2) .

В результате получаем выражения для аномаль-75ных размерностей (3.32) и РГ уравнения для констант связи93γXg12 g3 Q(3,0,1,0) − g1 g2 g3 g42 α Q(2,1,0,1|0,0) ,(3.44)k =229 2γYk =g g3 Q(3,0,2,0|0,0) + 3 g1 g2 g3 g4 (1 − g4 ) α Q(2,1,1,1|0,0) +2 112+ g2 (1 − g4 ) α Q(1,1,1,1|0,0) ,29 2ηk = −g g3 [2 Q(4,0,1,1|1,2) − 2 Q(3,0,1,1|2,1) − d Q(3,0,1,0|1,1)]+2d 13αg1 g2 g3 g4 [2 Q(2,1,0,1|1,1) − 2 g4 Q(3,1,0,2|1,2)++2dd−1+αQ(0,1,0,0|0,0) ,+ 2 g4Q(2,1,0,2|2,1) + d g4 Q(2,1,0,1|1,1)] − g22d9 2XY∂s g1 = (d − 4 + γk − γk + 2 ηk ) g1 +g Q(2,0,1,0|0,0) −(3.45)2 13− g1 g2 g42 αQ(1,1,0,1|0,0) ,2∂s g2 = −ζ g2 + (ηk − γXk ) g2 ,3Y∂s g3 = −(d − 2 + γXQ(1,0,1,0|0,0)+k − γ k + ηk ) g3 +2αg2 g4 (1 − g4)+Q(0,1,0,1|0,0) ,2 g132∂ s g4 = g4 γ XQ(4,0,1,1|1,1) −k − 18 g1 g3 g4 Q(3,0,1,0|0,0) −2d2 g4− 6αg1 g2 g3 g4Q(2,1,0,1|0,0) − Q(3,1,0,2|1,1) −21g4Q(2,0,1,0|0,0) −Q(3,0,1,1,|1,1).−3 g122dБезразмерные функции зарядовZ∞(1 + f (y))n3 h (m1 ) im2 (d/2−1+n4)eQ(n1, n2, n3, n4|m1 , m2 ) ≡ −∂shydy,h1 (y)n1 h2 (y)n2 10Z ∞δδ+ s2 (y),(3.46)∂es =dy s1 (y)δr1(y)δr2(y)−∞76отражают непертурбативный характер РГ уравнений.

Здесь h1 (y) = y +r1(y) + 2 g1 g3 ,h2 (y) = y + r2(y), s1 (y) = (2 − ηk ) r1(y) − 2 y r1′ (y),(d + ζ) r2(y) − 2 y r2′ (y),y),(m1 )h1(y) = ∂ m1 h1 (y)/∂y m1 ,r2(y) = (1 − y (d+ζ)/2)Θ(1 − y),s2 (y) =r1(y) = (1 − y)Θ(1 −f (y) = g2 g3 g42 αy/h2(y).В отсутствии поля скорости вклад вершины с зарядом g2 опускается, иуравнения сводятся с известным РГ уравнениям для модели A [35]. В противном случае, когда вершина c зарядом g1 не рассматривается, мы приходимк результатам анализа модели Крейчнана турбулентного переноса пассивнойпримеси [10].Рассмотрим предел слабой связи модели (3.29), раскладывая систему(3.48) в окрестности логарифмической размерности d = 4 − ε и считая за-ряды малыми. Также учтём условие ε ∼ ζ → 0, которое предполагается приисследовании модели в рамках квантово-полевой РГ [53] и является необ-ходимым для обеспечения ИК существенности обеих вершин. Система уравнений в ведущем порядке (что соответствует однопетлевому приближению)имеет вид9 2g Q(2,0,1,0|0,0) −2 132− g1 g2 g4 αQ(1,1,0,1|0,0) ,2∂s g1 = (−ε − γYk + 2 ηk ) g1 +∂s g2 = −ζ g2 + ηk g2,3Q(1,0,1,0|0,0)+2αg2 g4(1 − g4 )+Q(0,1,0,1|0,0) ,2 g11g4∂s g4 = −3 g1Q(2,0,1,0|0,0) −Q(3,0,1,1,|1,1) ,22d∂s g3 = −(2 − ε −γYk+ ηk ) g3 +77аномальные размерности даются соотношениямиγXk = 0,1γYk = g2 (1 − g4 )2α Q(1,1,1,1|0,0),23+αQ(0,1,0,0|0,0).ηk = g22d(3.47)Всюду, кроме уравнения на g3 , функции Q следует брать в нулевомприближении по зарядам.

Прямые вычисления дают Q(1,1,1,1|0,0) = 2,Q(0,1,0,0|0,0) = 2, Q(2,0,1,0|0,0) = 2, Q(1,1,0,1|0,0) = 2, Q(3,0,1,1,|1,1) = d/2,Q(1,0,1,0|0,0) = 1−4g1 g3 +2g2 g3g42 α, Q(0,1,0,1|0,0) = 4/3. В работе [53] вместовеличины g3 использовалась переменная τ = g1g3 . Окончательно мы получимдля РГ уравнений∂s g1 = −εg1 + 9g12 +3+αg1 g2 − α[3g42 + (1 − g4 )2]g1 g22(3.48)3+α 2g ,4 232∂s τ = −τ(2 + γτ ) + g1 + αg2 g4(1 − g4 ),233∂s g4 = g1 (4g4 − 1),4∂s g2 = −ζ g2 +и для аномальных размерностейγXk = 0,γYk = g2 (1 − g4 )2α3+αηk = g2,4(3.49)где γτ = −3g1 − g2 (3 + α)/4. Данные выражения в точности воспроизводятрезультаты однопетлевых расчётов [53], что можно считать проверкой нашихвычислений.783.4Скейлинговые режимы моделиСистема (3.48) зависит от трёх параметров α, d, ζ, поэтому мы будемрассматривать картину скейлинговых режимов модели в плоскости (d, ζ) принекоторых значениях “сжимаемости” α.

Результаты вычислений показанына Рис. 3.1. В рассматриваемой модели обнаружено четыре ИК-устойчивыхскейлинговых режима– I. Гауссова фиксированная точка: g1 ∗ = g2 ∗ = 0, ∀g4∗. Флуктуациипараметра порядка и поля скорости здесь несущественны. Динамический критический индекс z = 2.– II. Фиксированная точка, соответствующая чистой A модели: g1 ∗ 6=0, g2∗ = 0, g4 = 0. Здесь ведущую роль играют критические флук-туации, в то время как турбулентные пульсации, с заданным коррелятором () при ζ < 0, оказываются несущественными.

Численныеоценки дают значение критического индекса z ≈ 2.046 при d = 3 иz ≈ 2.151 при d = 2. Модель A также была исследована в работе[35] в рамках UZA аппроксимации, которая учитывает зависимостьренормализационных функций Xk , Zk от полей.– III. Фиксированная точка, соответствующая модели Крейчнана турбулентного переноса пассивной примеси: g1 ∗ = 0, g2∗ 6= 0, g4 = 0. В данном случае критические индексы вычисляются точно ν−1 = 2 − ζ, η =ζ, z = 2 − ζ и для физического случая (ζ = ζK )воспроизводят законРичардсона [44]. Данный режим оказывается устойчивым при значе-ниях α < αc ≈ 2.26.– IV. Фиксированная точка: g1 ∗ 6= 0, g2∗ 6= 0, g4∗ 6= 0.

Характеристики

Список файлов диссертации