Диссертация (1149863), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В данном случае существенны как критические, так и турбулентные флуктуации.Скейлинговый режим становится ИК устойчивым при α > αc ≈ 2.26.Динамический критический индекс здесь находится точно z = 2 − ζ.79Прочие показатели: ν−1, η – являются неуниверсальными. Их зависимость от α показана на Рис.3.2. Экстраполяция индексов при α → ∞даёт η ≈ 1.47 и ν−1 ≈ 2.75.2.01.0ζIVIIIIII0.0- 1.02.03.0d4.05.0(в)(а)(б)Рисунок 3.1 — Область ИК устойчивых фиксированных точек в модели(3.29). Пунктирная линия – граница между областями III и IVпредсказываемая в рамках однопетлевых расчётов [53].
Точка (3, 4/3) –физическая точка. Фазовые диаграммы при различной “сжимаемости” α:случай α = 1 показан на рисунке (a); случай α = 2.2 показан на рисунке(б); случай α = 10 – на рисунке (в).2.5ν −12.0η1.51.01020α304050Рисунок 3.2 — Неуниверсальные критические показатели ν−1, η модели(3.29) в режиме IV .Существование нетривиального скейлингового режима IV предсказанов работе [53], где для αc получено значение αc = α1−loop= 15/7 ≈ 2.14,cпри котором в реальной системе d = 3 и ζ = ζK крупномасштабное поведе-ние формируется благодаря совокупной роли критичности и турбулентности.80Однако однопетлевые разложения критических показателей не могут бытьиспользованы при реальных значениях параметров разложения [53].
В случае “малой сжимаемости” α < αc реализуется режим III. Когда параметрα превосходит αc, скейлинговое поведение системы определяется режимомIV , см. Рис. 3.1(в). Относительная разница между величинами αc = 2.26и α1−loop= 2.14 оказывается небольшой. Таким образом, непертурбативныйcанализ подтверждает выводы качественного характера работы [53].81ЗаключениеВ настоящей работе непертурбативные подходы: инстантонный анализи метод эффективного усреднённого действия – были применены к трём моделям, описывающим поведение систем вблизи критической точки или точкифазового перехода. В рамках инстантонного анализа рассматривалась модельскалярного поля φ3 и эффективная матричная модель, описывающая поведение коллектива фермионов с высшим спином в окрестности точки переходасистемы в сверхтекучее состояние.
Динамическая модель A с учётом турбулентного переноса Крейчнана была исследована методом непертурбативнойренормгруппы. Основные результаты работы заключаются в следующем.В модели φ3 в размерной регуляризации d = 6 − ε и схеме ренормировкиMS были найдены асимптотики высоких порядков разложений по заряду ренормгрупповых функций и АВП ε-разложения критического индекса η (1.48).Проведено сравнение (см. Табл. 2) коэффициентов разложения с соответствующими им значениями, вычисляемыми по асимптотической формуле, иобнаружен монотонное стремление к асимптотике.
Проведено пересуммирование ε-разложения индекса Фишера на основе известных четырехпетлевыхрезультатов [41]. Найденная АВП позволила фиксировать произвол схемыпересуммирования.В матричной модели инстантон имеет структуру с различным числомn нетривиальных блоков (2.23). В АВП (2.25) ε-разложения уравнений РГ(2.16) это приводит к серии величин a(n), которые меняются вместе с эволюцией инвариантных зарядов ḡ1 , ḡ2. Наибольший вклад в АВП в некоторойобласти плоскости (ḡ1, ḡ2) даёт наибольший по модулю a(n) в данной области.
Показано, что в действительности АВП определяется инстантоном содним нетривиальным блоком в физической области, представляющей интерес с точки зрения исследования ИК поведения модели. Результаты пере-82суммирования РГ уравнений конформным методом Бореля-Лероя на основеизвестных пятипетлевых расчётов показали, что при N ≥ 4 в модели от-сутствуют ИК-устойчивые фиксированные точки, т.е. такая система не демонстрирует критический скейлинг.
РГ траектории в ИК пределе покидаютобласть устойчивости системы. Для корректного рассмотрения поведения модели в этом случае были рассмотрены старшие члены в разложении ЛандауГинзбурга, стабилизирующие систему. В силу своей ИК несущественностипри ренормировки в одной петле они рассматривались как составные операторы. Анализ позволяет сделать заключение, что в системе фермионов соспином s > 1/2 происходит фазовый переход первого рода, причём значениетемпературу этого перехода выше оценки, даваемой теорией среднего поляЛандау (2.45). В двумерной системе однозначного ответа об ИК поведениимодели в рамках борелевского пересуммирования пятипетлевых разложенийдать нельзя.
Заметим, что при d = 2 поле χ оказывается безразмерным, поэтому все вершины в разложении Ландау-Гинзбурга оказываются одинаковосущественными, и ограничиваться лишь членами ∼ χ4 нельзя.В последней главе рассмотрена модель A стохастической динамикинесохраняющегося параметра порядка в d измерениях в присутствии сильно развитого турбулентного течения, моделируемого ансамблем Крейчнана cпоказателем ζ и параметром α, учитывающим сжимаемость потока. Стохастическая задача (3.1) сформулированная на полевой языке позволила применить метод эффективного усреднённого действия, заключающийся в решении точного РГ уравнения Вейттериха на функционалах (3.30). При решениииспользовалось приближение LP A′ и тета-образный ИК регуляризатор, оптимизирующий решения в выбранном приближении.
В пределе слабой связи4 − d ∼ ζ → 0 полученные непертурбативные РГ уравнений воспроизвелирезультаты однопетлевых расчётов [53]. Исследование ИК асимптотики РГтраекторий выявили существование черырёх ИК-притягивающих фиксированных точек.
При физических значениях параметров задачи d = 3 и ζ = 4/383система может находится в двух режимах. В случае “слабой” сжимаемостиα < αc критические флуктуации параметра порядка иррелевантны и среда пассивно перемешивается турбулентным полем скорости, демонстрируяскейлинговое поведение с точными значениями критических показателей. Всжимаемой среде α > αc скейлинговое поведение устанавливается за счётодинаково релевантного влияния турбулентных и критических флуктуаций.Данный режим был обнаружен в работе [53], однако старшие порядки теориивозмущений могли кардинально изменить однопетлевые результаты. Проведённый непертурбативный анализ подтвердил существования нового нетривиального скейлингового режима и позволил оценить значения критическихпоказателей, которые оказались неуниверсальными, а зависящими от параметра α (см. Рис. 3.2).84БлагодарностиАвтор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Налимову Михаилу Юрьевичу за неоценимое многолетнеесотрудничество и наставничество; профессору Гнатичу Михалу за многочисленные советы, конструктивную критику и всестороннюю помощь в процессе работы над диссертацией; профессору Аджемяну Лорану Цолаковичуза обсуждение рядя вопросов, затронутых в настоящей работе; Компанийцу Михаилу Владимировичу за соучастие при проведении исследований иподготовке научных статей.Автор признателен сотрудникам кафедры статистической физики;своим одногруппникам: Волгину Игорю, Дьяконову Игорю, Ивановой Эле иКуликову Анатолию; своим друзьям: Артёму, Ирине, Никите, Александру,Василию, Олегу, Анастасии; коллегам: Томашу, Шарлоте, Лукашу, Виктору;своим близким: Людмиле, Валентине, Георгию, Андрею, Виктории.Я посвящаю эту диссертацию своей Маме.85Список литературы1.
Wilsonab K. G., Kogut J. The renormalization group and the ε-expansion //Physics Reports. — 1974. — Т. 12, № 25. — С. 75.2. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критическогоповедения и стохастической динамике. — CПб. : ПИЯФ, 1998. — 774 с.3. Kleinert H. Critical Properties of φ4 -Theories. — Singapore : WorldScientific Publishing, 2001. — С. 512.4. Боголюбов Н.
Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — Четвёртое. — Москва : Наука, 1984. — 600 с.5. Wetterich C. Exact evolution equation for the effective potential // Phys.Lett. B. — 1993. — Т. 301. — С. 90.6. Berges J., Tetradis N., Wetterich C. Exact evolution equation for theeffective potential // Physics Reports. — 2002. — Т. 363. — С. 223.7. Gracey J. A.
Four loop renormalization of φ3 theory in six dimensions //Phys. Rev. D. — 2015. — July. — Vol. 92, no. 2. — P. 025012.8. Комарова М. В., Налимов М. Ю., Хонконен Ю. Температурные функцииГрина в ферми-системах: сверхпроводящий фазовый переход // ТМФ. —2013. — Т. 176, № 1. — С. 89.9.
Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of dynamic critical phenomena //Rev. Mod. Phys. — 1977. — Т. 49. — С. 435.10. Pagani C. Functional renormalization group approach to the Kraichnanmodel // Phys. Rev. E. — 2015. — Т. 92. — С. 033016.11. Fisher M. E. Lee-Yang edge singularity and φ3 field theory // Phys. Rev.Lett. — 1978. — June. — Vol. 40, no. 25. — P.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
