Диссертация (1149863), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поведение рассматриваемой системы не является уни-55Λ, G0.20.1−4−3−2ξ−1−0.1Рисунок 2.5 — Траектории зарядов Λ (пунктирная линия) и G (сплошнаялиния) при d = 3 и n = 2.Λ, G0.20.1−2−1ξРисунок 2.6 — Траектории зарядов Λ (пунктирная линия) и G (сплошнаялиния) при d = 2 и n = 2.версальным: величина ξc зависит от начального положения ренормгрупповыхтраекторий, однако её можно оценить.Инвариантные заряды в формуле (2.39) входят в виде линейных комбинаций Λ ≡ 4n2λ̄1 + 2nλ̄2 + λ̄3 и G ≡ 2nḡ1 + ḡ2 . Эволюция эффективныхконстант связи Λ, G при N = 4 показана на Рис.
2.5 в трехмерной системе ина Рис. 2.6 для d = 2. В ИК области вблизи появления матастабильных состояний трёхмерной системы вклад старших членов Fi остаётся малым, чтооправдывает их рассмотрение в качестве составных операторов. В двумерной системе вклад составных операторов не уменьшается в ИК области. Приd = 2 все вершины разложения в функционале Ландау-Гинзбурга (2.6) имеютодну каноническую размерность и являются одинаково существенными.Оценим температуру фазового перехода в трехмерной системе. Численное исследование уравнения (2.39) показывает незначительное изменение величины ζc = exp(ξc)/g22 ≈ 2÷3 в широком диапазоне варьирования стартового56значения g2 ≈ 10−5 ÷ 0.1.
Затравочные и ренормированные параметры моделисвязаны соотношениями τ0 = τZτ и g02 = µg2 Z2 . Отсюда следует связьexp(ξ) =22 τ0 Z2.g2 2g02 Zτ(2.40)Полагая g1 ∼ g2 ≪ 1, оценим отношение Zτ /Zg22 ∼ 1, тогда в точке переходаτ02 ≈ ζc .g02(2.41)Проводя суммирование и интегрирование в формулах (2.7) и учитывая вырожденность системы T /δ ≪ 1, получим в главном порядке по T /δ выраже-ния для затравочных величин7νF βg02 ≈eζ(3),8(πT )2βγδτe0 ≈1 − λνF ln,2λπT7νF p2F βζ(3),c0 ≈96(πT m)2(2.42)здесь pF – фермиевский импульс, νF = mpF /(2π2) – плотность состояний науровни Ферми, TF – фермиевская температура (используется ниже).
Теориясреднего поля предсказывает для модели (2.9) при любом N непрерывныйфазовый переход в сверхтекучее состояния в точке τ0 = 0, откуда находитсясоответствующая температура T01 − λνF lnγδ= 0.πT0(2.43)Мы показали, что система демонстрирует переход первого рода при τc > 0,т.е. при более высокой по сравнению с T0 температуре Tc , хотя относительнаяразность (Tc − T0)/T0 невелика: ренормгрупповое рассмотрение справедливолишь при малых τc . Вблизи точки Tc величина τ0 может быть оцененаτ0 ≈βνF Tc − T0.2c0T0(2.44)57Объединяя формулы (2.41, 2.42, 2.44, 2.8), получим оценку относительнойразности температурTc − T06912π6= ζcT07ζ(3)T0TF4(2.45).Сделаем ряд замечаний.
Вообще не только уравнения эволюции инвариантных зарядов ḡi , но и РГ уравнения для параметров λ̄i строятся в видеε-разложения. Аналогично системе (2.16) можно переписать уравнения (2.37)на λ̄i в видеMX2ε − 2(K)∂ξ λ̄i = −λ̄i +εK λ̄j Lji (ḡ1,ḡ2),εK=0λ̄iξ=0 = λi.(2.46)Сумма должна быть подвергнута преобразованию Бореля-Лероя. Поэтому(K)(K)здесь необходима АВП коэффициентов Lji . Вычисление величин Lji связа√но с ренормировкой 6-хвостых функций Грина ∼ ( K)6 со вставкой составно√(K)го оператора Fj ∼ ( K)6. В то время как при получении коэффициентов Bi√в (2.16) ренормировались вершины с четырьмя полями ∼ ( K)4. Поэтому,(N ) √(N ) √используя лишь это отличие, можно написать Lji /( N )6+6 ∼ Bi /( N )4.Тензорная структура коэффициентов разложения несущественна при пере-суммировании системы (2.46) методом (1.54). На практике, однако, оказывается, что в выполнении борелевского суммирования многопетлевого разложения (2.46) нет необходимости [59]: осуществление ренормировки составныхоператоров Fi в старших петлях не даёт какого-либо качественного и заметного количественного отличий по сравнению с результатами однопетлевогосчёта (2.29).Обсудим влияние операторов f (2.30) на полученные результаты.
Вопервых, вклады f малы по сравнению со вкладами операторов F , посколькупоследние более ИК-существенны в реальных системах d = 2, 3 в соответствии с их каноническими размерностями. Во-вторых, инстантонный анализ58показывает, что поправки старших порядков операторов f малы по 1/N посравнению со вкладами тех же порядков операторов F .59Глава 3. Турбулентное перемешивание критической жидкости:непертурбативный ренормгрупповой анализ3.1Модель A c турбулентным перемешиванием КрейчнанаВ рамках модели A релаксационная динамика скалярного параметрапорядка φ = φ(x, t) переносимого случайным полем скорости υj = υj (x, t)определяется стохастическом уравнением ланжевеновского типаλ ∇tφ(x, t) = −δH0 [φ]+ η(x, t),δφ(x, t)(3.1)где ∇t = ∂t + υj ∂j – материальная производная , λ > 0 – обратный кинематический коэффициент, случайный гауссовый шум η(x, t) с нулевым матема-тическим ожиданием определяется заданием коррелятора hη(x, t)η(x′, t′)i =2λ δ(x − x′ )δ(t − t′ ), шум моделирует фон молекулярных степеней свободы.Функционал H0 [φ] – t-локальный “гамильтониан” построенный из поля φ(x,t)и его пространственных производных.
Вблизи критической точки H0 [φ] имеетвидH0[φ] =Z1τg00dd x(∇φ)2 + φ2 + φ4 .224!(3.2)“Затравочная масса” τ0 ∼ T − Tc – отклонение температуры от её среднепо-левого критического значения Tc, константа связи g0 > 0.В настоящей работе мы используем ансамбль Крейчнана, в которомhυi (x, t)i = 0, а коррелятор hυj (x,t)υi(x′ ,t′)i = Dji берётся в виде′Dji = D0 δ(t − t )Zp>mkdd p Pji⊥ + αPjiexp[ip(x − x′ )]dd+ζ(2π)p(3.3)60kkтензоры Pji = pj pi/p2 и Pji⊥ = δji − Pji – продольный и поперечный проекторы, соответственно; префакторы D0 > 0 и α > 0.
Специальный случай α = 0отвечает несжимаемому потоку жидкости. Величина m – внешний макроскопический масштаб турбулентности, который обычно обеспечивает ИК регуляризацию. В инерционном интервале вычисляемые количественные характеристики, например аномальные размерности, не зависят от m. Отметим,что методы, которые мы намерены использовать далее, не требуют даннойрегуляризации, а потому она всюду опускается. Выписанная корреляционная функция (3.3) воспроизводит колмогоровский закон 5/3 для развитыхтурбулентных пульсаций, если ζ = ζK = 4/3.Временны́е δ(t − t′ )-корреляции более естественно понимать в смыс-ле Стратоновича, что соответствует конечному времени корреляций, которое, однако, много меньше чем прочие временны́е масштабы в системе.
Навычислительной стадии предписание Стратоновича суть регуляризация тетафункции в нуле Θ(0) = 1/2, что связано с предположением о симметричностикоррелятора Dji относительно перестановки t ↔ t′ .В соответствии в общим MSR-формализмом [2], стохастическая задача(3.1) эквивалентна квантовополевой модели с полями Θ = {φ, φ′, υj }S[Θ] =Z1′ ′−1′′ δH0 [φ]− λ φ φ + υi Dij υj .d xdt λ φ ∇t φ + φδφ2d(3.4)Данное утверждение означает, что статистическое усреднение случайной величины в первоначальной постановке (3.1) может быть представлено в видефункционального усреднения с весом exp(−S[Θ]).613.2Уравнение ВейттерихаПусть система описывается полевой моделью с действием S = S[φ, e],где e – набор параметров модели.
Флуктуации φ = φ(p) разделим на медленную компоненту φs (p) с импульсом p меньшим некоторого k и быструю модуφr (p), импульс которой находится в слое от k до Λ, где Λ – УФ регуляризация, связанная с микроскопическими масштабами системы. Тогда исходноедействие запишется в виде S[φ, e] = Sr [φr , e] + Ss [φs, e] + Srs [φr , φs, e], члены Srи Ss описывают быстрые и медленные моды соответственно, Srs – межмодовое взаимодействие. Далее выполним интегрирование по быстрым компонентам φr и получим действие для медленных мод Ss′ [φs , e′ ] с новыми параметрами e′ .
Подходящим растяжением интервал [0, k] отображается на отрезок[0, Λ], после чего описанная процедура повторяется над действием Ss′ . В результате последовательного интегрирования по коротковолновым модам эффективное действие, являющееся центральным объектом РГ Вильсона, позволяет исследовать ИК асимптотики k/Λ → 0 наблюдаемых. В классическойсхеме Вильсона само функциональное интегрирование реально проводитсялишь в рамках теории возмущений, приводящей, в частности, к построению ε-разложения, которое вновь нужно пересуммировать с использованиемАВП. Заметим, что действие S не является физическим объектом. Физическим объектом в полевых моделях является производящий функционал1-неприводимых функций Грина Γ (или свободная энергия, на термодинамическом языке), простым дифференцированием которого находятся уравнениесостояния системы, одетые пропагаторы, вершины и т.д.
Метод эффективного усреднённого действия (effective average action, далее EAA), развитыйК. Вейттерихои [5], является конструктивным способом вычисления Γ в рамах непертурбативного ренормгруппового подхода, минуя непосредственныеманипуляции с исходным действием системы S. Здесь в качестве основного62объекта анализа выступает эффективное усреднённое действие Γk , которое,по построению, интерполирует между действием S системы на УФ масштабеk/Λ ∼ 1 и функционалом Γ в ИК пределе k/Λ → 0.
Функционал Γk явля-ется свободной энергией быстрых мод k < p < Λ, заинтегрированных приреализации схемы Вильсона. Действительно, при k = 0 функциональное интегрирование проводится по всему спектру флуктуаций 0 < p < Λ, поэтому,осуществляя стандартное преобразование Лежандра, мы придём к свободной энергии всей системы. В противном случае k = Λ флуктуации вовсе неучитываются, и мы приходим к теории среднего поля Ландау, где свободнаяэнергия суть действие системы. В данном подходе импульс разделения k автоматически играет роль ИК обрезания, поэтому проблем с инфракраснымисингулярностями, как это имеет место в квантово-полевой РГ, не возникает.Пусть Θ – весь набор полевых переменных, J – набор сопряжённыхисточников, S = S[Θ] – действие модели. Тогда статистическая сумма определяется интеграломZ[J] =ZDΘ exp{−S[Θ] + J Θ}.(3.5)Чтобы на масштабе k разделить моды на быструю и медленную компонентыв действие S добавляется k-зависимый локальный массивный член ∆Sk [Θ]1∆Sk [Θ] =2Zdd pΘ(p) Rk (p) Θ(−p).(2π)d(3.6)Цель такого приёма – модификация пропагатора медленных мод добавочноймассой для подавления их вкладов в функциональное интегрирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
