Диссертация (1149863), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Параметры c0 > 0, eg02 > 0 и τe0 даются формуламиβc0 = − T ∂p22XZωsXZ1d k(2π)d (iωs + εk )(−iωs + εk+p ) dd1dk,d (ω2 + ε2 )2(2π)skωsZβdd k1β Xτe0 =.− T2λ 2 ω(2π)d ω2s + ε2kg02 = βTe,p=0(2.7)sЗдесь εk = k 2/(2m) − εF ; интегрирование по импульсу k выполняется помалой окрестности Ферми-сферы |εk − εF | < δ. Параметр δ суть дебаевскаячастота в системе электронов в твёрдом теле, либо он связан с фермиевскойэнергией εF в системе ультра-холодных газов, для которых δ = (2/e)7/3εF ≈0.49εF [57].
Переопределяя для удобства поля и параметры функционала40(2.6) с помощью заменыg0j = eg0j /c20 ,τ0 = τe0 /c0 ,√χ → χ/ c0 ,(2.8)мы придём к окончательной форме ИК эффективного действия, описывающего коллективное поведение многокомпонентной системы фермионов вблизиперехода в сверхтекучее состояниеS = tr χ† (∇2 + τ0 )χ +2 g02g01tr χ† χ +tr χ† χχ†χ.44(2.9)Важно заметить, что отныне интегрирование в выражении (2.9) проводитсялишь по d-мерным координатам.Условие устойчивости системы формулируется в виде требования положительной определённости члена взаимодействия функционала (2.9).
Дляслучая N ≥ 4 оно имеет видg02 > 0, g02 + N g01 > 0,(2.10)что следует из очевидного неравенства1tr χ χ − tr χ† χN†2> 0.(2.11)При значениях N = 2, N = 3 вершины оказываются линейно зависи2мыми tr χ† χ = 2 tr χ† χχ† χ, и действие (2.9) сводится к O(2)- и O(6)-симметричным векторным моделям φ4 с зарядом ∼ g01 + 2g02, соответственно.412.2АВП β-функцийДействие (2.9) мультипликативно ренормируемо [8]SR = Zχ2 tr χ† (−∇2 + τZτ )χ + Z1 Zχ4 µε2g2g1tr χχ† + Z2 Zχ4 µε tr χχ† χχ† , (2.12)44где ренормированные параметры связаны с затравочными соотношениями типа (1.2)χ → χZχ ,τ0 = τZτ ,g0i = gi µε Zi ,i = 1, 2.(2.13)Модель логарифмична в черырёхмерном пространстве, поэтому ε = 4 − d.Ренормгрупповые функции в данном случае связаны с РГ константами соотношениямиγi = −(g1∂1 + g2 ∂2){Zi},γτ = −(g1∂1 + g2 ∂2){Zτ},(2.14)βi = −gi(ε + γi ).Уравнение РГ в форме Калана-Симанчика приводит к известным уравнениямРГ для инвариантных зарядов [2]∂ξ ḡi =βi,2 + γτḡi |ξ=0 = gi ,где ξ ≡ ln(τ/µ2).(2.15)ИК поведение модели ξ → −∞ связано с неподвижными точками (g1∗ , g2∗) си-стемы (2.15), являющимися корнями бета-функций βi (g1∗ , g2∗) = 0, ∀i.
Фиксированные точки ИК-устойчивы, если вещественные части собственных чиселматрицы ωij ≡ ∂j βi (g1∗ , g2∗) положительны.В работе [8] показано, что при N ≥ 4 ИК-устойчивые фиксированныеточки отсутствуют, по крайней мере в однопетлевом приближении. Там жебыло указано, что пертурбативные уравнения (2.15) можно построить в виде42ε-разложений, переопределив переменные ḡi → εḡi , ξ → ξ/ε∂ξ ḡi = −ḡi +MX(K)εK Bi(2.16),K=0(K)где M = число учтённых петель − 1, а коэффициенты Bi(K)= Bi(ḡ1 ,ḡ2)находятся из разложения правых частей уравнений (2.15). При этом малыйпараметр ε выпадет из однопетлевых уравнений, что означает независимостьасимптотического поведения системы от её размерности в данном приближении.
Наряду с анализом фиксированных точек авторы [8] исследовалифазовый портрет системы (2.15) и установили, что траектории инвариантных зарядов, стартуя с различных начальных значений, пересекают границуобласти устойчивости ḡ2 + N ḡ1 > 0.Непосредственный численный анализ уравнений (2.16) невозможен ввиду расходимости ε-разложения, поэтому для исследования физически интересных случаев ε = 1, 2 ряды (2.16) должны быть пересуммированы.
Пе(K)ресуммирование требует знания АВП коэффициентов Bi. Общий способнахождения АВП здесь схож с инстантонным анализом модели φ3 , однако,интересуясь АВП петлевых разложения, мы естественным образом предполагаем, что заряды g1 и g2 одного порядка малости. Сделав переопределениеgi → zgi , будем исследовать разложения по степеням z. По окончании вычислений положим z = ε и поделим бета-функции на ε2 , получив тем самымразложение (2.16).(K)По аналогии с выражениями (1.5, 1.6, 1.8), K-ый коэффициенты G2kразложения 2k-точечной функции Грина1G2k (x1, .
. . , x2k ; z) =WZDχDχ† χ(x1)χ† (x2) . . . χ(x2k−1)χ†(x2k )e−SR , (2.17)W =ZDχDχ† e−SR .43по степеням z вычисляется в высоких порядках K → ∞ методом перевала винтеграле(K)G2k1=WZ1DχDχ χ(x1)χ (x2) . . . χ(x2k−1)χ (x2k )2π i†††Idzz K+1e−SR ,(2.18)γгде γ – замкнутый контур вокруг нуля в комплексной плоскости z. Посколькуанализ проводится в рамках схемы MS, АВП будет находиться в безмассовоймодели (2.12) в логарифмической размерности d = 4. Растянем параметры:√gi → gi /K, χ → Kχ – тогда вариационные уравнения для функционалаSR + ln z относительно полей и заряда z примут видzc g1zc g2χc tr χc χc † +χc χc † χc = 0,22zc g2 †zc g1 ††2 †χc tr χc χc +χc χc χc † = 0,− ∇ χc +22Znz gozc g2c 1d† 2††dxtr χc χc +tr χχc χχc = −1.44− ∇ 2 χc +(2.19)Контрчлены здесь также несущественны для нахождения стационарных конфигураций.
Без ограничения общности можно считать, что поля унитарнымипреобразованиями приведены к пфаффовой форме, состоящей из p = N/2блоковχc = diag(s1σ, . . . , spσ),σ= 0 −110,(2.20)где sj (x) – некоторые комплексные функции подлежащие определению. Напишем систему на неизвестные sj (x)− ∇2 si (x) + zg1pXk=1|sk (x)|2si (x) +zg2|si (x)|2si (x) = 0.2(2.21)44В качестве анзаца возьмём инстантон скалярной модели φ4 ,Cj eiαj y −1sj (x) =,|x − x0|2 + y 2Cj , αj ∈ R.(2.22)Функции sj (x) зависят от произвольных параметров x0 и y, что связано синвариантностью действия относительно трансляций и растяжений, соответственно. Подстановка анзаца (2.22) в систему дифференциальных уравнений(2.21) приводит к системе алгебраических8Ci + zg1pXk=1Ck2Ci +zg2 3C = 0.2 i(2.23)Существует m = 0, .
. . ,p−1 тривиальных решений Ci = 0, а также n = p, . . . ,1ненулевых Ci2 = −16/(2nzg1 +zg2 ), причём n+m = p. Фазы αi не фиксируютсяи являются произвольными параметрами, отражающими инвариантность дей-ствия относительно глобальных калибровочных преобразований. Корректныйучёт эквивалентных инстантонов, различающихся лишь значениями x0, y, αi,выполняется с помощью метода Фаддеева-Попова. Как и ранее, в выражение(2.18) вставляется разбиение единицы, содержащее дельта-функции, которыефиксируют произвол: x0 = 0, y = 1, αi = 0. Такая процедуры позволяет корректно учесть наличие нулевых мод при функциональном интегрированиипо флуктуациям вокруг инстантона.
Как и в предыдущей модели, флуктуационный интеграл существенен лишь для вычисления значений амплитудАВП функций Грина. Амплитуды, однако, не используются в процессе пересуммирования, поэтому важно знать лишь число нулевых мод, для которых процедура Фаддеева-Попова устанавливает “закон равнораспределений”(аналогично модели φ3 , см. Приложение А): каждая нулевая мода вноситдополнительный множитель ∼ K 1/2 в АВП. Общее число нулевых мод: 1 –диллатационная (y), 4 – трансляционных (x0), n – число произвольных фаз(αj ), N 2 − N − N – число элементов комплексной антисиммеричной матрицы,45которые не фиксируются уравнениями (2.23). Итого N 2 − 2N + n + 5. Дляопределения стационарной точки zc необходимо воспользоваться последнимуравнением (2.19)zc = −14n,3 2ng1 + g2(2.24)в результате Cj2 = 12/n.Теперь в полной аналогии с вычислениями параграфа 1.3 можно оце(K)(K)нить асимптотику вычета {G4 }, после чего для АВП бета-функций βi(K)K{G4 } получить искомую формулу(K)βi= consti K!K bn (−a)K 1 + O K −1,∼(2.25)здесь consti – несущественная для пересуммирования амплитуда, bn =(N 2 − 2N + n + 11)/2 и a = max|a(n)|, a(n) = −1/zc.
Величина a(n) меnняется вместе с зарядами g1, g2 , поэтому наибольшее из чисел a(n) даёт лидирующий вклад в АВП, а все прочие вносят лишь экспоненциально малыепоправки. И так, в исследуемой полевой модели (2.12) ε-разложения (2.16)(K)носят асимптотический характер Bi(K)∼ βi , причём их свойства определя-ются как матричной структурой инстантона, так и положением зарядов нафазовой плоскости.
Последнее обстоятельство окажется существенным припроведении процедуры пересуммирования РГ уравнений.2.3Пересуммирование РГ уравненийНиже мы используем конформный метод Бореля-Лероя, поскольку онполностью фиксируется АВП [58]. В рассматриваемом случае положение полюсов функции B(t) зависит от положения инвариантных зарядов в плоскости (ḡ1, ḡ2).46Для определённости рассмотрим систему (2.15) в случае N = 4. Имеется два типа инстантонов различной матричной структуры. Первый содержит один нетривиальный блок и приводит к значению параметра АВПa(1) = 3(2g1 + g2 )/4.
Второй имеет два блока a(2) = 3(4g1 + g2 )/8. Как результат в области устойчивости ḡ2 + 4ḡ1 > 0 существует две подобласти наплоскости (ḡ1, ḡ2), где функция B(t) обладает различными аналитическимисвойствами:Область I: если инвариантные заряды находятся в области 8ḡ1 +3ḡ2 > 0,то |a(1)| > |a(2)|. Поэтому ближайшая сингулярность борелевского образаB(t) находится в точке t = −1/a(1);Область II: если инвариантные заряды удовлетворяют условию 8ḡ1 +3ḡ2 ≤ 0, то |a(2)| > |a(1)|.
В этом случае ближайшая сингулярность функцииB(t) расположена на положительной полуоси в точке t = 1/|a(2)|.Таким образом плоскость (ḡ1 , ḡ2 ) разделена прямой 8ḡ1 + 3ḡ2 = 0. Выше этой границы аналитические свойства B(t) определяются инстантономс одним нетривиальным блоком; ниже – инстантоном с двумя ненулевымиблоками. Начальные значения инвариантных зарядов находятся в области I,здесь допустимо применение конформного метода Бореля-Лероя к уравнениям (2.16). В области II этот метод не может быть использован, посколькуполюс функции B(t) расположен на положительной полуоси.Формула (1.54) позволяет пересуммировать РГ уравнения (2.16)∂ξ ḡi = −ḡi +MXK=0(K)UiZ∞0dt tb0 e−t u(εt)K ,(2.26)ḡi|ξ=0 = gi .(K)Отметим, что Uiи u(t) являются функциями инвариантных зарядов ḡi .Систему (2.26) можно решить стандартными конечно-разностными методами, в настоящей работе использовался метод Рунге-Кутты 4-ого порядка.47Рисунок 2.1 — Траектории инвариантных зарядов при d = 3 и N = 4;пунктирная прямая – граница применимости метода пересуммирования.Рисунок 2.2 — Траектории инвариантных зарядов при d = 2 и N = 4;пунктирная прямая – граница применимости метода пересуммирования.48Рисунок 2.3 — Траектории инвариантных зарядов (d = 3 и N = 4) приразличном числе учтённых петель: одно-петлевое приближение – точечнаялиния, пяти-петлевое приближение – сплошная линия.Бета-функции модели (2.12) были вычисленны в работе [59] в пятипетлевомприближении, что соответствует M = 4 в системе (2.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
