Диссертация (1149863), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Формаядра может быть произвольной Rk (p), однако его асимптотические свойства63фиксируются условиямиRk (p) ∼k2,0,при p ≪ k;при p ≫ k;0,при k = 0, ∀p;∞ (или ∼ Λ2 ), при k = Λ, ∀p.(3.7)Статистическая сумма теперь имеет видZk [J] =ZDΘ exp{−S[Θ] − ∆Sk [Θ] + J Θ}.(3.8)Cреднее значение поля Θ даётся производнойΦ = hΘi =δWk [J],δJ(3.9)где Wk [J] = ln Zk [J]. В модифицированное модели определим преобразованиеЛежандраΓ̃k [Φ] = JΦ − Wk [J],(3.10)которое приводит к соотношениюδΓ̃k [Φ]= J.δφ(3.11)Γk [Φ] = Γ̃k [Φ] − ∆Sk [Φ].(3.12)Рассмотрим функционалВ ИК пределе массивный член ∆Sk [Φ] исчезает и мы приходим к свободнойэнергии системы Γk=0[Φ] = Γ̃k=0[Φ]. Для вычисления Γk=Λ [Φ] проэкспоненци-64ируем функционал −Γk [Φ]exp{−Γk [Φ]} = exp{Wk [J] − JΦ + ∆Sk [Φ]}(3.13)и используем формулу exp{Wk [J]} = Zk [J], в результате получимexp{−Γk [Φ]} =ZDΘ exp{−S[Θ] − ∆Sk [Θ − Φ] + J (Θ − Φ)}.(3.14)Переходя к пределу k → Λ и рассматривая функционалы exp{−∆Sk [Θ − Φ]}как дельта-образную последовательность limk→Λ exp{−∆Sk [Θ − Φ]} ∼ δ(Θ −Φ), получимexp{−Γk=Λ[Φ]} = exp{−S[Φ]}.(3.15)Равенство Γk=Λ[Φ] = S[Φ] выполнено.Рассмотрим эволюцию Γk [Φ] при изменении масштаба.
Сначала вычислим производную функционала Γ̃k [Φ] относительно переменной t = ln(k/Λ)∂tΓ̃k [Φ] +δΓ̃k [Φ]δWk [J]∂t Φ = −∂t Wk [J] −∂t J + J∂t Φ + Φ∂tJ,δφδJ(3.16)используя формулы (3.9) и (3.11), найдем ∂t Γ̃k [Φ] = −∂t Wk [J]. Теперь вычис-лим производную ∂tWk [J]65Z1∂t Zk [J]=−∂t Wk [J] =DΘ(∂t ∆Sk [Θ]) exp{−S[Θ] − ∆Sk [Θ] + J Θ} =Zk [J]Zk [J]ZZδ∂Rδ1tkexp{−S[Θ] − ∆Sk [Θ] + J Θ} =dd x 1 dd x 2DΘ=−2Zk [J]δJ(x1) δJ(x2)Z21δW[J]δW[J]δW[J]kkk=−+dd x1dd x2 ∂t Rk=(3.17)2δJ(x1)δJ(x2) δJ(x1) δJ(x2)Z1δ2 Wk [J]dd=−+ Φ(x1)Φ(x2) =d x1d x2 ∂t Rk2δJ(x1)δJ(x2)Zδ2 Wk [J]1dd+ ∆Sk [Φ].d x1d x2 ∂t Rk=−2δJ(x1)δJ(x2)Используя свойствоδ2 Wk [J]=δJ(x1)δJ(x2)!−1=d x1d x2∂t Rkδ2 Γk [Φ]+ RkδΦ(x1)δΦ(x2)δ2Γ̃k [Φ]δΦ(x1)δΦ(x2)δ2Γk [Φ]+ RkδΦ(x1)δΦ(x2)−1,(3.18)получим уравнение Вейттериха [6]1∂t Γk [Φ] =2Zdd−1.(3.19)Учитывая локальность ядра Rk ∼ δ(x1 − x2) в компактных обозначениях этоуравнение примет вид1∂t Γk [Φ] = ∂˜t tr ln(Γ(2) + Rk ),2(3.20)где Γ(2) – гессиан эффективного усреднённого действия Γk [Φ], производная∂˜t действует только на ядро∂˜t =Zdd y ∂t Rk (y)δ.δRk (y)(3.21)66Удобно рассматривать уравнение (3.19) в импульсном представлении1∂t Γk [Φ] =2Z−1dd p(2).∂t Rk (p) Γ (p) + Rk (p)(2π)d(3.22)Это уравнение имеет однопетлевую структуру.
Здесь нет необходимости вводить УФ обрезание, поскольку функция ∂t Rk (p) локализована в областиp . k.Уравнение (3.22) – точное интегро-дифференциальное уравнение, которое в принципе решает поставленную задачу о вычислении функционалаΓ[Φ]: необходимо найти асимптотику решения Γk [Φ] в ИК области t → −∞.При непосредственных вычислений используют различные приближённыесхемы, которые, однако, не основаны на существовании в модели каких-либомалых параметров. Это открывает возможность для проведения непертурбативного анализа.Действие S обычно включает конечное число вершин, однако функционал Γ[Φ] генерирует 1-неприводимые функции Грина любого порядка, т.е.содержит всевозможные вершины, согласующиеся со свойствами симметрии.В этом смысле Γ[Φ] определен на бесконечномерном пространстве, натянутомна всевозможные типы вершин, причем соответствующие константы связииграют роль координат функционала.
Исследовать ренормгрупповой ток бесконечного числа констант связи не представляется возможным, поэтому однаиз наиболее распространённых схем связана с решением функциональногоуравнения (3.22) на ограниченном подпространстве, натянутом на конечноечисло мономов, что приводит к конечномерному РГ потоку. Уравнение Вейттериха зависит от функции Rk , тем не менее естественно предполагаетсянезависимость физических наблюдаемых от конкретного выбора ядра Rk .При решении РГ уравнения на суженном подпространстве имеет место слабая зависимость критических показателей от обрезания Rk [61].
Здесь уместно вспомнить, что результаты борелевского пересуммирования ε-разложения67тоже зависят от способа пересуммирования, что ни как не умаляет роль теории возмущений в общем и квантово-полевой ренормализационной группы вчастности.На суженном m-мерном подпространстве функционала Γk [Φ] можнопредставить в формеΓk [Φ] =mXgj (k)Wj [Φ],(3.23)j=1где независимые локальные функционалы Wj [Φ] образуют базис в данномподпространстве, константы связи gj (k) задают “координаты” в данном базисе. Подставляя разложение (3.23) в уравнение (3.22), получим∂t Γk [Φ] =mXj=1e j (g1(k), .
. . ,gm(k), k)Wj [Φ],β(3.24)старшие мономы с j > m возникшие при этом не принадлежат рассматриваемому подпространству, поэтому они должны быть опущены. Чтобы найтификсированную точку РГ потока, вводятся безразмерные заряды ḡj (t), связанные с первоначальными соотношениями gj (k) = k ∆j ḡj (t), где величина ∆jвключает не только каноническую размерность, но и аномальные вклады.Окончательно функциональное РГ уравнение сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений∂t ḡj (t) = βj (ḡ1(t), . . . , ḡm (t)),j = 1, . .
. ,m,(3.25)здесь βj -функции явно не зависят от переменной t. Они даются выражениямиe j (k −∆1 ḡ1(t), . . . , k −∆m ḡm (t), k), (3.26)βj (ḡ1(t), . . . ,ḡm(t)) = −∆j ḡj (t) + k −∆j βначальные значения ḡj (0) для РГ траекторий находятся из граничного условия Γk=Λ[Φ] = S[Φ].68Возможные скейлинговые режимы модели находятся из анализа фазо∗} – какаявого портрета автономной системы (3.25).
Пусть g ∗ = {g1∗ , . . . , gmлибо неподвижная точка потока (3.25) при t → −∞. В малой окрестности g ∗линеаризуем РГ уравнения∂t ḡj (t) ≈ ωji(ḡi(t) − gi∗ ),Решение системы имеет вид∂βj ωji =,∂ḡi ḡ=g∗ḡj (t) ≈ gj∗ +Xi, j = 1, . . . , m.uji ci eλi t ,(3.27)(3.28)iгде λi – собственные числа матрицы ω, ci – константы интегрирования,uji – матрица, осуществляющая диагонализацию ω. РГ траектории движутся вдоль иррелевантных направлений, для которых λi > 0, в неподвижнуюточку; в релевантных направлениях – λi < 0 – траектории удаляются отфиксированной точки.
В маргинальном случае λi = 0 линейного приближения не достаточно. В моделях, представляющих интерес, существуют какиррелевантные, так и релевантные направления, последние образуют критическую поверхность. Положим имеется одно направление с отрицательнымзначением λ1 < 0, все остальные λi > 0. Например массивный член Θ2 всегдарелевантен. В этом случае критический индекс ν, связанный в сингулярностью корреляционного радиуса в критической точке, определяется формулойν = −1/λ1 [6].3.3Непертурбативные РГ уравнения моделиМетод EAA переносится и на динамические модели (во избежании путаницы вместо обозначения t для величины ln(k/Λ) в РГ уравнениях будем69использовать обозначение s, при этом t – время).
В данном случае знакtr в уравнении (3.20) обозначает как интегрирование по импульсам, так ипо частотам. Запишем действие модели A, модифицированное включениемтурбулентных пульсаций, (3.4)S[Θ] =Z1′′ δH0 [φ]′ ′−1d xdt λ φ ∇t φ + φ− λ φ φ + υi Dij υj .δφ2d(3.29)Наш дальнейший анализ основан на использовании следующего анзаца длярешения уравнения (3.20)Γk [Φ] =Z1δH[ϕ]k−1− Yk ϕ′ ϕ′ + viDijvj ,dd xdt Xk ϕ′ {∇t + Ak (∂ivi)} ϕ + ϕ′δϕ2(3.30)гдеHk =Z 1Zk (∇ϕ)2 + Uk (ϕ) dd x.2(3.31)Действие (3.29) галилеево-инвариантно, поэтому материальная производная∇t должна входить в анзац (3.30) единой структурой.
Связанный с продольной компонентой поля скорости член ∂i vi отсутствует в действии (3.29),однако его наличие в (3.30) ничем не запрещено. Безразмерная константа−1vj , как показаносвязи Ak на УФ масштабе тривиальна Ak=Λ = 0. Член viDijниже, вовсе не перенормируется. Чистая A модель без включения скорости оказывается инвариантной относительно преобразований t → −t, ϕ →ϕ, ϕ′ → ϕ′ − ∂t ϕ, что ведёт к равенству Xk = Yk [2; 62]. Однако, данныепреобразования не оставляют инвариантным действие (3.29) с включённымполем скорости. Поэтому в рассматриваемом случае Xk 6= Yk .
Ренормализа-ционные функции Xk , Yk , Zk , Ak зависят, не только от масштаба k, но и отполя ϕ, поэтому, следуя общей схеме разложения по полям, представим их ипотенциал Uk (ϕ) рядами в окрестности некоторой однородной нетривиальной70конфигурации ρk = ϕ2k /2(1)Xk = Xk (ρk ) + Xk (ρk )(ρ − ρk ) + .
. . ,(1)Yk = Yk (ρk ) + Yk (ρk )(ρ − ρk ) + . . . ,(1)Zk = Zk (ρk ) + Zk (ρk )(ρ − ρk ) + . . . ,(1)Ak = Ak (ρk ) + Ak (ρk )(ρ − ρk ) + . . . ,Uk (ϕ) =λk(ρ − ρk )2 + . . .2где ρ = ϕ2 /2. В работе [61] было показано, что при исследовании скейлинговых явлений с помощью уравнения Вейттериха, разложение функционалаΓk [Φ] по полям рационально проводить в окрестности его нетривиального однородного минимума ρk 6= 0. Такая тактика способствует улучшению сходи-мости полевых разложений и приводит к более точным результатам при учётеменьшего числа членов по сравнению с разложениями в окрестности ρk = 0.В настоящем анализе мы ограничимся учётом нулевых k-зависимых членовв разложении ренормализационных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
