Диссертация (1149863)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиКалагов Георгий АлибековичНЕПЕРТУРБАТИВНОЕ РЕНОРМГРУППОВОЕИССЛЕДОВАНИЕ СКЕЙЛИНГОВОГО ПОВЕДЕНИЯСпециальность 01.04.02 —«теоретическая физика»Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорНалимов Михаил ЮрьевичСанкт-Петербург — 20182ОглавлениеСтр.Введение . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Глава 1. Инстантонный анализ модели φ3 . . . . . . . . . . . . . . . .181.1 АВП функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2 Вычисление флуктуационного интеграла . . . . . . . . . . . . .221.3 АВП ренормгрупповых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4 Методы борелевского пересуммирования . .
. . . . . . . . . . .321.5 Результаты пересуммирования индекса η . . . . . . . . . . . . .34Глава 2. Инстантонный анализ матричной модели . . . . . . . . . .372.1 Эффективная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372.2 АВП β-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.3 Пересуммирование РГ уравнений . . . . . .
. . . . . . . . . . . .452.4 Ренормировка составных операторов . . . . . . . . . . . . . . . .502.5 Функциональное описание фазового перехода . . . . . . . . . .52Глава 3. Турбулентное перемешивание критической жидкости:непертурбативный ренормгрупповой анализ . . . . . .
. .593.1 Модель A c турбулентным перемешиванием Крейчнана . . . . .593.2 Уравнение Вейттериха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.3 Непертурбативные РГ уравнения модели . . . . . . . . . . . . .683.4 Скейлинговые режимы модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78Заключение . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .853Приложение А. Получение формулы 1.13 . . . . . . . . . . . . . . .92Приложение Б. Вычисление диаграмм в разложении детерминанта 944ВведениеАктуальность темы.Наиболее универсально и естественно скейлинговые явления в системах различной физической природы описываются теоретико-полевыми методами, в рамках которых задача сводится к исследованию поведения эффективных полевых моделей в инфракрасной (ИК) области.
Эффективноедействие в зависимости от геометрии поля строится из инвариантов соответствующей группы симметрии, причём ведущий вклад в асимптотику даютИК-существенные инварианты в соответствии с их размерностями. Поэтомуренормгрупповой (РГ) поток определяется лишь общими свойствами исследуемой модели, что приводит, при наличии ИК-устойчивых фиксированныхточек РГ траекторий, к универсальности скейлингового поведения физических систем.Самым распространённым и даже каноническим инструментом реализации теоретико-полевых методов является теория возмущений.
Последовательный алгоритм вычитания ультрафиолетовых (УФ) расходимостей в форме R-операции Боголюбова наряду с РГ подходом позволяют вычислить βфункции и аномальные размерности моделей в виде отрезка разложения поконстанте связи, дина которого всецело определяется технической сложностью вычисления многопетлевых диаграмм Фейнмана.
По меньшей мере существуют два альтернативных теоретико-возмущенческих подхода нахождения РГ функций: ренормгруппа в реальной размерности пространства d = 2или d = 3 и ренормгруппа в размерности d = d∗ − ε, где d∗ – логарифмическая размерность модели, параметр ε считается формально малым. Впоследней схеме, впервые предложенной К. Вильсоном для модели φ4 [1],положения фиксированных точек РГ тока и значения критических показателей строятся в виде рядов по ε. При ε < 0 точной в ИК области является5теория среднего поля для данной модели, а вычисление петлевых графиковдаёт поправки по степеням ε к среднеполевому приближению.
В размернойрегуляризации (dd p → µε dd∗ −ε p, где µ – ренормировочная масса размерностиимпульса, введение которой необходимо для сохранения размерности мерыинтегрирования) УФ расходимости диаграмм проявляются в виде полюсов порегуляризатору ε, которые и вычитаются в рамках R-операции, что порождает MS (minimal subtraction) схему ренормировки [2].Несмотря на мощь теории возмущений, вопрос об аналитических свойствах пертурбативных разложений остаётся за скобками конструктивногоанализа: метод не контролирует вклады старших порядков. Поэтому единственным основанием использования теории возмущений является априорноепредположение о несущественности высших поправок. Однако оказывается,что практически все ряды носят асимптотических характер и имеют нулевой радиус сходимости. Тем не менее, асимптотический ряд с отброшенными– начиная с некоторой степени – членами при достаточно малых параметрах разложения даёт приемлемые количественные результаты, находящиеся в согласии с экспериментально получаемыми оценками.
Это характерно,например, для разложений в КЭД, однако совершенно не типично для эффективных моделей статистической физики, где формально малый параметрε вовсе не мал. В реальных размерностях пространства, в зависимости отконкретного действия, ε = 1, 2, 3, . . . . Для извлечения числовых результатовв подобных ситуациях применяют процедуру пересуммирования по БорелюЛерою доступных членов разложения, которая восстанавливает функцию поеё асимптотическому ряду.
При выполнении некоторых требований (теорема Ватсона), такое восстановление однозначно [3]. Информация, необходимая для проведения пересуммирования, содержится не только в начальныхпорядках разложения, но и в асимптотике высоких порядков, далее АВП.Проведение пересуммирования без учёта АВП не может быть признано корректным, поскольку в этом случает параметры преобразования Бореля-Лероя6не фиксируются, а рассматриваются как подгоночные.
Поэтому методы исследования АВП, основанные на инстантонном анализе, являются ключевыминструментом для восстановления функции по соответствующему асимптотическому разложению. Подчеркнём, что инстантонный анализ играет рольнепертурбативного дополнения к теории возмущений и придаёт ей полноту: результатом теперь является не формальное разложение величины, а еёчисловое значение, допускающее сравнение с результатами других подходов.Альтернативным методом исследования скейлингового поведения, никак не связанным с существованием в модели малых параметров, являетсяметод непертурбативной ренормгруппы. Если база квантово-полевой РГ –существование в квантовой теории поля группы ренормировочных преобразований [4], то основа непертурбативной РГ – идеи Кадданова-Вильсона построения эффективного действия, определяющего ведущие ИК асимптотикив моделях статистической физики [1].
Подход непертурбативной РГ в формеметода эффективного усреднённого действия (effective average action, далееEAA) [5] лишён недостатков теории возмущений и может быть использован не только при малых значениях параметров разложения, но и в пределесильной связи, поэтому сейчас пользуется популярностью и применяется приисследовании фазовых переходов и скейлинговых явлений в задачах квантовой теории поля и статистической физики [6].В рамках инстантонного анализа в данной диссертации рассматриваются скалярная модель φ3 [7] и SU (N ) симметричная модель типа φ4 cкомплексным антисимметричным матричным полем [8]; в рамках непертурбативной РГ динамическая модель A [9] c турбулентным полем скоростиКрейчнана [10].Как было впервые показано Фишером [11], модель φ3 с мнимым зарядом непосредственно связана с вопросом о поведении нулей статистическойсуммы изинговского ферромагнетика в комплексной плоскости активности.
Вработе Янга и Ли [12] доказано, что нули распределены на единичной окруж-7ности, а плотность их распределения в окрестности точки фазового переходаимеет степенную асимптотику с показателем σ, который выражается черезиндекс Фишера η модели φ3 и даётся формулой σ = (d − 2 + η)/(d + 2 − η).Величина индекса σ может быть оценена по данным зависимости изотермической намагниченности образца от приложенного магнитного поля [13].Наиболее известным представителем квантовых систем является электронная жидкость в некоторых металлах, демонстрирующих при достаточно низких температурах непрерывный фазовый переход в сверхпроводящеесостояние, которое впервые наблюдал Каммерлинг-Оннес в 1911 году, охлаждая ртуть ниже температуры 4.15K.
Позже сверхпроводимость была открыта в целом ряде других металлов [14]. Теоретическое микроскопическоеобъяснение это явление получило в рамках модели БКШ, описавшей куперовское спаривания электронов. Однако формирование куперовских парвозможно не только в системе электронов проводимости: оно происходит вколлективе любых фермионов со сколь угодно слабым притяжением [15].
Вчастности, в системе нейтральных атомов 3He сверхтекучая фаза имеет место при температуре ниже 3mK. Как электроны проводимости, так и атомы3He имеют полуцелый спин s = 1/2, поэтому каждая частица находится вN = 2s + 1 = 2 состояниях, а соответствующая ферми-жидкость является двухкомпонентной. Естественно, вся разновидность исследуемых системне исчерпывается упомянутыми случаями; большой интерес представляютмногокомпонентные ферми-жидкости N > 2, составленные из атомов или ихизотопов, имеющих спин s > 1/2 и обладающих SU (N ) симметрией, наличиекоторой связано с независимостью амплитуды рассеяния от спиновых состояний взаимодействующих частиц [16].
Вопросы куперовского спаривания имагнетизм активно исследуются в таких системах [16—24]. Кроме атомныхсистем, SU (N ) симметрия также наблюдается и в твёрдых телах, например,в граффене [25], где благодаря геометрии решётки электроны проводимости8приобретают дополнительные степени свободы, приводящие к SU (4) симметрии.Модель A критической динамики, в соответствии с классификацией[9], является типичным представителем эффективных теорий, описывающихпроцесс релаксации и критического замедления в неравновесной системе ипозволяющих установить дисперсию ω ∼ k z флуктуаций параметра порядкав ИК пределе k → 0.
Модель A принадлежит изинговскому классу универсальности, который включает непосредственно изинговский магнетик, би-нарные смеси и критическую точку жидкость-пар. Интерес к критическимжидкостям связан с их нетривиальными физическими, термодинамическимии транспортными свойствами, поэтому проблемы поведения флюидов вблизикритичности и на сегодня остаются в фокусе как теоретических, так и экспериментальных изысканий. Использование идеализированных математических моделей, включающих лишь флуктуации параметра порядка и не учитывающих сторонние возмущения, выносит за рамки анализа критическиережимы, которые могли бы иметь место в реальности. Действительно, критическая система чрезвычайно чувствительна к пертурбациям, ввиду сингулярного поведения сжимаемости, объёмной вязкости, восприимчивости и т.д.Учёт сторонних факторов: турбулентное течение; стратификация, вызваннаяземной гравитацией; примеси и т.д.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
