Диссертация (1149863), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Используя разло-жение для ренормированного пропагатораG′2=Zφ211 + g 2 Zg22+ ... + g2N(2N )Zg2N G2(1.43)мы находим АВП констант ренормировки Zφ(N ){Zφ } = −"3Ψ(1) − 3 ln(4π) − 8 + 6 ln |p|1(N )G2 (u) + {Zu(N −1)}218#!. (1.44)30Здесь также учтена конечная часть однопетлевой диаграммы (см. Приложение Б). Между собой АВП ренормализационных констант связаны соотно(N )шением Zu(N )∼ N Zφ(2N +1)(т.к. G3(2N )∼ N G2). Корректность полученныхвыражений (1.39), (1.42) подтверждается фактом сокращения членов поряд(N )ка N в (1.39), содержащих нелокальность ln |p|, возникшую как в {G2 },так и в диаграмме (1.43).Асимптотические выражения (1.42), (1.44) могут быть сведены к стандартной форме (1) с параметрами {au = −5/12, bu = 7/2, cu = −0.106} для{Zu}; {aφ = −5/12, bφ = 5/2, cφ = −0.067} для {Zφ }.
Найденные АВП позво-ляют сравнить на сколько они близки к значения первых членов разложения(N )(N )полюсов {Zu } и {Zφ }, полученных в рамках 4-петлевого приближения.В таблице 1 представлены точные [7] и асимптотические (1.42, 1.44) значения коэффициентов {Z (N ) }. Видно, что о близости числовых оценок гово-рить не приходится. Константы Zi не являются объектами универсальными,Таблица 1 — Значения точно вычисленных членов разложения полюсов {Z (N )} [7] и ихасимптотических оценок (1.42,1.44), разложение идёт по степеням заряда u.N10.3050.0400.0830.026точные(N ){Zu } асипмт.точные(N ){Zφ }асипмт.2−0.155−0.401−0.015−0.12730.2682.1010.0110.4434−0.768−9.652−0.012−1.528а зависят от схемы ренормировки. Поэтому объективно сравнивать ренорминвариантные аномальные размерности или критические показатели.
Черезновый заряд u формулы (1.30) переписываются в видеγi = −2u∂u{Zi },βu = −u(ε + γu),(1.45)где вычеты {Zi } зависят только от u, тогда АВП u-разложения для РГ функций(N )γi(N )= −2N {Zi},βu(N ) = −2N {Zu(N −1)}.(1.46)31Критический индекс η выражается через аномальную размерность поляη = 2 γφ |u=u∗ , где u∗ – корень уравнения βu |u=u∗ = 0 – ИК-устойчивая фик(2)(3)(N )сированная точка. Из разложения βu = −εu + βu u2 + βu u3 + · · · + βu uN ,(2)(3)(2)(N )определяем искомую точку u∗ = ε/βu − ε2 βu /[βu ]3 + · · · + u∗ εN , где(N +1)u∗(N ) = −βu(2)(βu )N +1(3)exp −uc βu(2)2βu!.(1.47)Далее, используя формулы (1.42, 1.44, 1.46), мы получим АВП ε-разложениякритического индекса Фишераη(N ) =(1)Zφ(2)(3)(N )uc βu(1) N {Zu } − 2β(2)e u ,4{Zφ } (2)N+1(βu )(1.48)(3)= −1/12, βu = 3/2,βu = −125/72, uc = gc2 /(64π3) = 24/5, описываю-щуюся структурой (1) с параметрами aη = 5/18, bη = 9/2, cη = −0.000586.Сопоставление коэффициентов АПВ ε-разложения индекса Фишера с соответствующими точными значениями представлены в таблице 2.
Видно, чтоТаблица 2 — Точно вычисленные коэффициенты ε-разложения идекса η [7; 41] исоответствующие им асимптотические оценки (1.48).η(N )N1234точные −0.111 −0.059 0.0436 −0.079асипмт. 0.0004 −0.005 0.026 −0.105четвёртый порядок разложения ещё далёк от своей АВП, однако чётко прослеживается тенденция к выходу коэффициентов разложения на липатовскую асимптотику.321.4Методы борелевского пересуммированияПусть имеется некоторая функция F , заданная в виде разложения попараметру xF (x) =XFk x k ,(1.49)k≥0при этом АВП коэффициентов Fk определяется выражением (1).
Ей сопоставляется функция, называемая борелевским образом, определяемая рядомB(x) =XBk x k ,k≥0Bk =Fk,Γ(k + b0 + 1)(1.50)где Γ(k) – Гамма-функция, b0 – некоторый произвольный параметр. Исходнаяфункция связана с своим образом преобразованием Бореля-Лероя [55]F (x) =Z∞dt tb0 e−t B(xt).(1.51)0Знание АВП с некоторыми предположениями об аналитических свойствахфункции B(x) (см.
[3]) позволяет просуммировать ряд (1.49) с помощьюформул (1.50, 1.51), восстановить функцию F (x) и вычислить её значенияпри заданном x.Если в качестве разложения (1.49) выступает ε-разложение индекса η сАВП (1.48), тогда ряд для функции B(x) сходится в круге |x| < 1/aη = 18/5.Ближайшая к нулю особенность лежит на отрицательной вещественной по-луоси в точке x = −1/aη. Интегрирование в преобразовании (1.51) ведётсяпо всей положительной полуоси t ∈ [0, ∞); в точке x = 1/aη контур интегри-рования пересекает границу круга сходимости, поэтому необходимо строитьаналитическое продолжение функции B(x) во внешность области |x| < 1/aη.33Проблема решается с помощью метода конформных отображений либо метода аппроксимаций Паде [3].Обычно, конформное отображение выбирается в виде√1 + ax − 1u(x) = √1 + ax + 1⇔x(u) =4u.a(u − 1)2(1.52)Как видно u(x) = O(x) при x → 0, поэтому ряд (1.51) может быть переразложен по величине uB(x) =Xx n Bn−→n≥0гдеU 0 = B0 ,Un =nXB(u) =Xun Un ,n≥0n−mBm (4/a)mCn+m−1,m=1n ≥ 1.(1.53)Тогда конформное преобразование Бореля-Лероя функции F приобретает видF (x) =Xk≥0UkZ∞dt tb0 e−t (u(xt))k .(1.54)0Параметр b0 фиксируется условием b0 = b + 3/2 [3].При использовании метода Паде-Бореля-Лероя вычисляются Паде аппроксимантыLPM(x) =PL1+ii=0 pi x,PMjqxj=1 jM ≥ 1 L + M = N.(1.55)Коэффициенты pi ,qi фиксируются из требования равенства коэффициентовряда (1.50) и коэффициентов ряда Тейлора функции (1.55) при x → 0B0 = p 0 ,1 dn LPM (x)Bn =nn! dxx=0,n = 1,...,N.(1.56)34Разрешая эту систему относительно неизвестных pi ,qi, получаемpi = pi (B0, B1, ..., BN ),i = 1,...,L,qj = qj (B0, B1, ..., BN ), j = 1,...,M.(1.57)Тогда преобразование Паде-Бореля-Лероя определяется выражениемF (x) =Z∞L(xt).dt tb0 e−t PM(1.58)01.5Результаты пересуммирования индекса ηНачнем с результатов метода Паде-Бореля-Лероя.
Обычно параметрыa and b в формулах (1.51) и (1.58) произвольны. Параметр b0 выбирают изусловия, позволяющего ослабить сингулярность функции B(x) (1.51) в точкеx = −1/a. Воспользуемся этим условием и выберем b0 = b. Значения a и bизвестным нам из найденной АВП: a = 5/18 and b = 9/2. Выражение дляПаде-аппроксиманты имеет формуP13 (x)B1 B3 x + (B2B3 − B1 B4)x2 + (B4B3 − B2 B3)x3=.B3 − B4 x(1.59)Все прочие Паде-аппроксиманты имеют полюса на оси интегрирования. Втаблице 3 представлены результаты вычисления значения индекса η в размерностях d = 2, 3, 4, 5 при различном числе учтённых петель N .
ЗначенияN < 4 представлены для демонстрации скорости сходимости ряда и оценкипогрешности используемого метода. Эти значения получаются путём вычисления аппроксимант P12 (для N = 3), P11 (для N = 2), P10 (для N = 1).Ряд (1.50) должен иметь сингулярность типа полюса в точке x = −1/a (при35Таблица 3 —Значения индекса η полученные в рамках метода Паде-Бореля-Лероя.❍❍❍N❍❍1234d❍❍2345-0.444-0.333-0.222-0.111-1.385-0.862-0.457-0.169-0.700-0.508-0.321-0.146-1.023-0.668-0.378-0.154b = b0 ). Выделим явно этот полюс и определим модифицированную ПадеаппроксимантуLPM+1,−1/a(x) =1LPM(x).1 + ax(1.60)В результате получим4(x)P1,−1/aB1x + (B1a + B2)x2 + (B2a + B3 )x3 + (B3 a + B4 )x4.=1 + axЗаметим, что условие применимости аппроксимаций Паде складывается издвух требований: сингулярности не лежат на положительной полуоси и точкаx = −1/a является ближайшей к нулю особенностью ряда (1.50).
Результаты4представвычислений модифицированным методом с использованием P1,−1/aлены в таблице 4. Результаты полученные с использованием конформныхТаблица 4 —аппроксимацииЗначения индекса η полученные в рамках метода Паде-Бореля-Лероя с использованием4P1,−1/a❍❍❍N❍❍d❍❍12342345-0.061-0.058-0.053-0.042-0.557-0.414-0.272-0.131-1.093-0.704-0.391-0.156-0.555-0.485-0.331-0.150отображений (1.52) представлены в таблице 5. Как видно, результаты, полученные разными методами, демонстрируют большие погрешности, особеннов малых размерностях пространства, и не вполне согласуются друг с другомдаже с учетом этой погрешности.
Причиной этого являются как большие36Таблица 5 —Значения индекса η полученные в рамках конформного метода Бореля-Лероя.❍❍❍N❍❍1234d❍❍2345-0.127-0.113-0.094-0.063-0.310-0.260-0.195-0.111-0.470-0.374-0.263-0.134-0.557-0.433-0.294-0.142значения параметра ε и недостаточное количество сосчитанных порядков εразложения, так и значительное отклонения вычисленных членов разложенияот асимптотики (1.48).37Глава 2. Инстантонный анализ матричной модели2.1Эффективная модельВ вырожденных системах основной вклад в процессы столкновения даётся амплитудой s-рассеяния asc . Она является единственным параметром,описывающим взаимодействие и входящим в макроскопические физическиевеличины всей системы, поэтому при расчётах вместо реального потенциалаиспользуют δ-образный потенциалλU (x1 − x2 ) = δ(x1 − x2),2(2.1)где константа связи в трехмерной системе выражается через длину рассеяния asc и массу атома m: λ = 4πas /m; в случае притяжения λ < 0.
Кроме того, детальное устройство взаимодействие иррелевантно, если интересоватьсявопросами критического состояния, когда длина корреляции намного превосходит все микроскопические масштабы системы.Общепризнанным аппаратом исследования квантовых многочастичныхсистем является метод вторичного квантования и аппарат функций Грина,допускающий модификацию на случай систем, находящихся при конечнойтемпературе T . В формализме температурных функций Грина [56] действие,описывающее равновесную многочастичную фермионную систему со взаимодействием (2.1), имеет видSψ = ψ∗i∂∇2λ−− µ ψi + ψ∗j ψ∗i ψiψj .∂t 2m2(2.2)По переменной t подразумевается интегрирование на отрезке [0, 1/T ]; фермионное поле ψi = ψi (t, x) является грассмановым и удовлетворяет антипери-38одическим граничным условиям ψi (0, x) = −ψi (1/T, x); индекс i обозначаетспиновое состояние частицы и пробегает значения от 1 до N ; химическийпотенциал µ вырожденного фермионного газа будем полагать равным фермиевской энергии µ ≈ εF .В рассматриваемой системе температура фазового перехода Tc опре-деляется появлением аномальных решений уравнения Дайсона [56], а параметр упорядочения сверхпроводящего (сверхтекучего) фазового переходасуть среднее значение составных операторов ψi ψj и ψ∗i ψ∗j .
Чтобы построитьэффективную модель, описывающую поведение системы в окрестности точкифазового перехода, авторы работы [8], используя преобразования ХаббардаСтратоновича, вводят бозонные поля χ, χ† с помощью действияSψ,χ = ψ∗i∂∇2111−− µ ψi +tr χχ† − ψ∗i χij ψ∗j − ψi (χ† )ij ψj .∂t 2m2λ22(2.3)Результат гауссова интегрирования exp(−Sψ,χ) по переменным χ, χ† приводит к исходному фермионному действию exp(−Sψ). Новые бозонные поля χ,χ† – антисимметричные комплексные матрицы размера N × N . С помощьюуравнений Швингера было показано [8], что введённые поля являются критическими модами фазового перехода в системе, т.е. они определяют параметрпорядка hχij i = λ hψi ψj i, и в точке перехода оказываются безмассовыми.Функциональное интегрирование exp(−Sψ,χ) по фермионным полям ψ,ψ∗ приводит к новому действию, содержащему лишь бозонные переменныеSχ =∇22m†−µ−χ−iωs −1,tr χχ† − tr ln 2∇2λ−iωs + 2m + µ−χ(2.4)где ωs = πT (2s + 1) – мацубаровские частоты, s ∈ Z.
Далее логарифм вдействии (2.4) раскладывается, что приводит к представлениюSχ =11tr χχ† +2λ2+14+ ...,(2.5)39где внешние волнистые линии соответствуют полям χ, χ† , линии в петляхобозначают пропагатор hψψ∗ i; сопряжённые поля ψ∗, χ† помечены крести-ком. Для получения эффективной теории в ИК области, все петлевые частидиаграмм в действии (2.5) раскладываются по втекающим в них импульсам pи частотам, при этом поля χ, χ† считаются t-независимыми [8], а интеграл попеременной t сводится к несущественному множителю β = 1/T . В результатеэффективная модель редуцируется к функционалу типа Гинзбурга-ЛандауSGL = tr χ† (c0 p2 + τe0 )χ +ge01ge02(tr χχ† )2 +tr(χχ†χχ† ).44(2.6)Вершина (tr χχ† )2 не возникает в процессе получения эффективного действия, поэтому eg01 = 0, однако она разрешена симметрией и размерностьюи необходима для обеспечения мультипликативной ренормируемости модели.Соответствующие контрчлены генерируются вершиной tr(χχ†χχ† ) начиная соднопетлевых диаграмм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
