Диссертация (1149863), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Произведена оценка температурыфазового перехода.Двумерная система оказывается менее “универсальной”, здесь также отсутствуют ИК-устойчивые фиксированные точки РГ потока, нолишь траектории с близкими к нулю стартовыми значениями могутпокинуть области устойчивости.3. С помощью непертурбативной ренормгруппы подтверждены качественные выводы однопетлевых расчётов, что модель критическойдинамики A с учётом развитых турбулентным флуктуаций, моделируемых ансамблем Крейчнана, может демонстрировать четыре скейлинговых режима, в зависимости от соотношений параметра ζ и размерности d: тривиальная гауссова точка, чистая модель A, турбулентный перенос пассивного скаляра и нетривиальный режим, где критические и турбулентные флуктуации одинаково существенны.
Оценены значения критических показателей, которые, однако, оказываются14неуниверсальными, а зависят от параметра, задающего сжимаемостьсистемы.Научная новизна:В диссертации впервые решены следующие задачи:1. В скалярной модели φ3 в схеме минимальных вычитаний найденаасимптотика высоких порядков разложений ренормгрупповых функций и ε разложения индекса Фишера, используемая при суммировании последнего по Борелю-Лерою;2. В эффективной двухзарядной модели с комплексным антисимметричным матричным полем, описывающей критические флуктуации вблизи сверхтекучего фазового перехода в SU (N )-симметричной системефермионов, с помощью методов инстантонного анализа была найденаасимптотика высоких порядков β-функций.
Выяснено влияние матричной структуры инстантона на аналитические свойства квантовополевых разложений, что учтено при борелевском пересуммированииуравнений Гелл-Манна-Лоу. Проведена ренормировка составных операторов старших порядков, обеспечивающих устойчивость системы вИК области.
Оценена температура фазового перехода первого рода всверхтекучее состояние в системе фермионов с высшим спином.3. Скейлинговое поведение модели A критической динамики с учётомсильно развитых турбулентных пульсаций, моделируемых ансамблемКрейчнана, исследовано в рамках метода усреднённого эффективногодействия.Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты должны стимулировать развитие непертурбативных методовприменительно к анализу скейлингового поведения нелинейных коррелированных систем, где стандартные теоретико-возмущенческие подходы либодают неполное описание, либо их применение затруднительно.
Качественные и количественные результаты могут быть использованы при построениитеоретической базы экспериментальных исследований коллективов вырож-15денных ферми-частиц с высоким спином и различных ко́мплексных системвблизи их критичности.Методология и методы исследования. В работе используется аппаратквантово-полевой ренормализационной группы, в частности ренормировка составных операторов. Исследование аналитических свойств рядов теории возмущения базируется на инстантонном подходе. Для восстановления функцийпо их начальным отрезкам разложения и асимптотики высоких порядков применяется техника борелевского суммирования расходящихся рядов. Анализскейлинговых явлений в задаче о турбулентном перемешивании критическойжидкости осуществляется с помощью метода непертурбативной ренормализационной группы.Степень достоверности результатов исследования обеспечивается использованием развитых и надёжных методов теоретической физики, хорошозарекомендовавших себя при решении задач, близких к рассматриваемым внастоящей диссертации.
Результаты, как конечные, так и промежуточные,находятся в соответствии с полученными ранее другими авторами в различных частных случаях.Апробация работы. Полученные результаты обсуждались и докладывались на следующих научных конференциях и школах:1. Международная студенческая конференция “Science and Progress”(Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.);http://phys.spbu.ru/files/Book-of-abstracts-2014.pdf2. 47-я Школа ПИЯФпо Физике Конденсированного Состояния (СанктПетербург, Россия, 2013);https://lns.pnpi.spb.ru/fks2013/participants/index.html3.
48-я Школа ПИЯФпо Физике Конденсированного Состояния (СанктПетербург, Россия, 2014);16https://lns.pnpi.spb.ru/fks2014/abstracts/index.html4. 49-я Школа ПИЯФпо Физике Конденсированного Состояния (СанктПетербург, Россия, 2015);http://fks2015.pnpi.spb.ru/thesis.html5. “XIX International Scientific Conference of Young Scientists andSpecialists” (Дубна, Россия, 2015 г.);http://omus.jinr.ru/conference2015/participants.php#section16. “Small Triangle Meeting” (Медзилаборце, Словакия, 2017 г.);https://indico-hlit.jinr.ru/event/967.
“The 10th CHAOS 2017 International Conference” (Барселона, Испания, 2017 г.);www.cmsim.org/images/BOOK_OF_ABSTRACTS-CHAOS2017-8-5.pdf8. “Mathematical Modeling and Computational Physics” (Дубна, Россия,2017 г.);https://indico-new.jinr.ru/conferenceDisplay.py?confId=137Личный вклад. Вошедшие в диссертацию результаты были полученыавтором лично либо при его непосредственном участии.Публикации. Результаты диссертации опубликованы в журналах,включённых в перечень ВАК и индексируемых базами данных “Scopus”,“РИНЦ” и “Web of Sciense”, в виде четырёх печатных работ:1. G.A.
Kalagov, M. Yu. Nalimov, “Higher-order asymptotics and criticalindexes in the φ3 theory”, Nuclear Physics B 884 (2014) 672–683;2. Г. А. Калагов, М. В. Компаниец, М. Ю. Налимов, “Ренормгрупповое исследование сверхпроводящего фазового перехода: асимптотика17высоких порядков разложений и результаты трехпетлевых расчетов”,ТМФ 181:2 (2014) 374–386;3. G.A. Kalagov, M. V. Kompaniets, M. Yu.
Nalimov, “Renormalizationgroup investigation of a superconducting U (r)-phase transition usingfive loops calculations”, Nuclear Physics B 905 (2016) 16–44;4. M. Hnatič, G. Kalagov, M. Nalimov, “Turbulent mixing of a criticalfluid: the non-perturbative renormalization”, Nuclear Physics B 926(2018) 1–18.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертациисоставляет 95 страниц с 8 рисунками и 5 таблицами.
Список литературысодержит 65 наименований.18Глава 1. Инстантонный анализ модели φ31.1АВП функций ГринаПусть в d-мерном евклидовом пространстве Rd задано скалярное полеφ = φ(x), тогда безмассовая модель φ3 определяется действием1gS(φ) = (∇φ)2 + φ3 .23!(1.1)Здесь и ниже, там, где это не вызовет недоразумений, знак интегрирования по всему пространству опускается. Константа связи g, вообще говоря, –комплексное число; ∇ – d-мерный оператор набла.УФ расходимости в модели (1.1) в размерной регуляризации d = 6 − εпроявляются в виде полюсов по регуляризатору ε. Они могут быть устраненыпутём мультипликативной ренормировки поля и зарядаφ → Zφ φ,g0 = Zg µε/2g,(1.2)здесь µ – ренормировочная масса, имеющая размерность импульса; g – безразмерный ренормированный заряд. В схеме минимальных вычитаний константы ренормировки имеют структуру полюсов по εZi = 1 +{Zi }+ старшие полюса по ε,εi = {φ, g},(1.3)и зависят явно только от константы связи g и параметра ε.
Всюду нижеобозначение {A} суть вычет величины A в простом полюсе по ε. Таким19образом, ренормированное действие модели (1.1) даётся выражением1gSR (φ, g) = Zφ2 (∇φ)2 + Zφ3 Zg µε/2 φ3 .23!(1.4)Метод Л. Липатова [30] основан на идее, что N -ый коэффициент разложения наблюдаемой в ряд по g может быть вычислен путём подстановкипредставления Коши12π iIdgg N +1e−SR (φ,g) ,(1.5)γгде γ – замкнутый контур в комплексной плоскости g вокруг нуля, подзнак соответствующего функционального интегрирования Dφ. Так k-хвостаяфункции Грина определяется функциональным усреднением1Gk (x1, .
. . , xk ; g) =ZZDφφ(x1 ) . . . φ(xk )e−SR (φ) ,(1.6)c нормировочным множителемZ=(N )Тогда N -ый коэффициент GkZ2Dφe−(∇φ)/2(1.7).(N )= Gk (x1, . . . ,xk ) разложения функции (1.6)по константе связи g вычисляется по формуле(N )Gk1=ZZ1Dφφ(x1) . . . φ(xk )2π iIdgg N +1e−SR (φ,g) .(1.8)γ(N )В высоких порядках N → ∞ коэффициенты Gkмогут быть оценены спомощью метода перевала в представлении (1.8). Перевальные конфигурацииищутся одновременно по полю φ и заряду g.В формуле (1.8) используем тождество g N = exp(N ln g), после чегоэкспонента будет содержать функционал SR (φ,g) + N ln g.
Введём новые переменные согласно соотношениям: φ = N 1/2φ̄, g = ḡ/(N 1/2µε/2) – и получим20в логарифмической размерности, т.е. при ε = 0, вариационные уравнения дляфункционала относительно переменных φ̄, ḡḡc− ∇ φ̄c + φ̄2c = 0,22ḡc3!Zdd xφ̄3c = −1.(1.9)При исследовании ведущего члена асимптотики контрчлены действия (2.6)дают старшие порядки по 1/N к решению (1.9) и оказываются несущественными для нахождения точек перевала. По этой же причине несущественныи поправки к перевальным конфигурациям по ε [30; 32]. Решением вариационных уравнений (1.9) является 7-параметрическое семейство инстантонов2φ̄c (x) =48y,ḡc (y 2 + |x − x0|2 )2ḡc = ± i 48r2π3,15(1.10)содержащих зависимость от произвольных параметров x0 ∈ Rd и y ∈ R1 ,которые отражают инвариантность теории относительно трансляций и растяжений, соответственно. Для корректного учёта вклада каждого инстантонаприменяется трюк Фаддеева-Попова [30]: под знак функционального интегрирования в (1.8) вставляется следующая конструкция1=g−3!Zd3d xφ7 Zd ln y2ZZgd3d xφ (x − x0) × (1.11)d x0 δ −3!Z2|x−x|g0dd xφ3 ln,×δ −3!y2ddсодержащая δ-функции и фиксирующая значения свободных параметров x0,y для каждой реализации φ(x).
Поменяем местами интегрирование по произRRRHвольным параметрам dy dd x0 и интеграл Dφ dg, после чего совершимпреобразованиеx → yx + x0 ,φ(yx + x0 ) → y −2+ε/2φ(x),µ → yµ.(1.12)21В полученном выражение реализуем метод перевала относительно g и φ,раскладывая действие вокруг инстантонного решения и интегрируя по малым флуктуациям вокруг него (см. Приложение А).
После вычислений получим выражение для асимптотики N -ого коэффициента разложения k-хвостойфункции Грина (1.6)(N )Gk=2 iN DN N/2N k/2+3×Zd x0(N )Коэффициент Gkd(µy)Z∞−ε/2dy 2 e−N SR (φ̄c ,ḡc(µy)0N ε/2y 8−ε(1+k/2)+2kφ̄cx1 − x0y)−N ln |ḡc |. . . φ̄c×xk − x0y.(1.13)= 0 при разных чётностях N и k. Величина D в (1.13)содержит гауссов интеграл, связанный со второй вариацией S2 функционалаS(φ̄, ḡµ−ε/2) + ln(ḡµ−ε/2) в точке перевала.Итак, видно, что наличие нетривиального непертурбативного решения“уравнения движения” (1.9) – инстантона – приводит к факториально растущим в высоких порядках коэффициентам (1.13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
