Диссертация (1149863), страница 2
Текст из файла (страница 2)
– может изменить “чистое” автомодельное поведение либо вовсе породить иные скейлинговые режимы с новымикритическими показателями [26—28]. Среди этих факторов особую роль занимает развитая турбулентность, возникающая при достаточно больших числах Рейнольдса и характеризующаяся, как и термодинамические критическиеявления, сильными нелинейными флуктуациями и степенными асимптотиками корреляционных функций в ИК пределе [29]. Поэтому анализ влиянияразвитой турбулентности на динамическое критическое поведение являетсясегодня предметом многочисленных исследований.9Степень разработанности темы исследования. Нахождение АВП вполевых моделях было предложено Л.
Липатовым в работе [30]. Идея липатовского подхода заключается в экстраполяции метода перевала на функциональный интеграл, что даёт для коэффициента N -ого порядка разложенияF (N ) наблюдаемой F (g) в ряд по константе связи g асимптотическую формулуF (N ) = c(−a)N N b N ! 1 + O N −1,(1)где a и b – некоторые константы, c в зависимости от природы F (g) можетбыть либо числом, либо функцией координат или импульсов. Перевальными конфигурациями на функциональном пространстве являются инстантоны – локализованные в некоторой области решения уравнения на экстремум действия, дающие в него конечный вклад.
Инстантоны принципиальнонепертурбативные конфигурации, наличие которых приводит к АВП типа(1). Таким образом аналитические свойства теоретико-полевых разложенийнапрямую связаны в непертурбативными эффектами соответствующей теории. Последовательный способ нахождения АВП констант ренормировки иРГ функций в схеме MS был разработан авторами [31] и применён к модели φ4 в логарифмической размерности d∗ = 4.
Одним из результатов работыявляется заключение о том, что вычисленные на тот момент коэффициенты εразложения (5-петлевое приближение) не выходят на асимптотику Липатоваи выйдут на неё не ранее чем в 10 порядке. Однако, замечено, что факт такогозначительного отклонения старших вычисленных коэффициентов от соответствующих асимптотических значений может быть свойственен лишь даннойтеории. Там же была построена формула, содержащая поправку по 1/N кведущему члену асимптотики типа (1) и позволяющая экстраполировать следующие члены разложения констант ренормировки.
Инстантонный анализ, вданном контексте метод Липатова, также был использован для исследованияренормгрупповых разложений в реальной размерности пространства, где пе-10ревальные конфигурации находились численно [32]. Метод был развит дляисследования моделей динамического критического поведения [33]. В работе [34] приводится обзор разнообразных теоретико-полевых моделей сквозьпризму инстантонного анализа.Метод непертурбативной РГ в форме EAA первоначально был применён к моделям теории поля и равновесной статистической физики [6], однакопозже он показал свою эффективность и при исследовании разнообразныхнеравновесных систем: модели A [35] и C [36] критической динамики, стохастическое уравнение Навье-Стокса [37], модель Крейчнана пассивного переноса примеси [10], модель перколяции [38], модель Кардара-Паризи-Занга[39].На сегодня индекс Фишера модели φ3 вычислен в четырёхпетлевом ренормгрупповом приближении в размерности d = 6 − ε в виде отрезка ε-разложения: численные расчёты представлены в статье [40]; аналитическиерезультаты, полученные в рамках метода конформного бутстрапа, опубликованы в [41]; в работе [7] аналитические результаты найдены с помощьюстандартной квантово-полевой РГ, там же автор приводит обобщения модели φ3 на поля различной геометрии, используемые для описания процессапротекания (перколяции), сильного взаимодействия и т.д.В работе [8] ИК поведение SU (N )-симметричной модели было исследовано методом квантово-полевой ренормализационной группы.
В рамках однопетлевого анализа установлено отсутствие ИК-устойчивых фиксированныхточек при N ≥ 4. РГ траектории покидают область устойчивости системы, что интерпретируется как указание на существование фазового переходапервого рода. Данный результат, разумеется, не может быть признан окончательным, поэтому необходим дополнительный анализ, учитывающий влияниестарших порядков теории возмущений и свойства самих разложений, которыемогут быть систематически изучены посредством инстантонного анализа.11В литературе наиболее распространены два способа включения турбулентных пульсаций в “идеальные” модели. Один из них, ансамбль Крейчнана, предполагает, что стохастическое поле скорости υj = υj (x,t), j = 1,dподчинено распределению Гаусса с нулевым математическим ожиданием изаданным коррелятором ∼ δ(t − t′ )|x − x′|ζ [42; 43].
В основе второго лежитстохастическое уравнение Навье-Стокса [44; 45]. Различные расширения динамических моделей в рамках этих подходов были изучены в целом рядеработ [46—53] с помощью пертурбативных ренормгрупповых расчётов в размерной регуляризации d = 4 − ε. Выяснено, что включение стохастическогополя скорости приводит к возникновению новых ИК-устойчивых скейлинговых режимов. Соответствующие критические показатели вычислялись ввиде двойного регулярного (ε, ζ)-разложения [54]. Однако, так же как и встатических моделях, для установления типа фиксированный точек и значений критических индексов в реальных физических системах, где ε ∼ ζ & 1,необходимы дополнительные методы пересуммирования.
Главный недостаток применения теоретико-возмущенческого подхода связан со сложностьюмоделей, поэтому многопетлевые вычисления в них до сих пор не выполнены, а авторы всех перечисленных выше работ ограничивались в основномнизшим однопетлевым приближением. Сложившаяся ситуация не может гарантировать достаточной достоверности полученных ранее качественных иколичественных выводов.Целью данной работы является исследование критического поведенияи фазовых переходов в перечисленных выше моделях в рамках непертурбативного формализма: инстантонного анализа и метода эффективного усреднённого действия.Достижение поставленных целей связано с решением следующих задач:1.
Для модели φ3 в размерной регуляризации d = 6 − ε в схеме MSc помощью инстантонного анализа найти АВП разложений по заряду частично ренормированных функций Грина. Из требования их12УФ конечности найти АВП вычетов в простом полюсе по ε констант ренормировки. Используя последние найти АВП β-функции ианомальных размерностей. Далее найти АВП ε-разложения индекса Фишера и провести процедуру его пересуммирования по методуБореля-Лероя на основе известных на сегодня четырёхпетлевых расчётов.2. Для эффективной SU (N )-симметричной двухзарядной матричноймодели типа Ландау-Гинзбурга в размерной регуляризации d = 4 − εв схеме MS c помощью инстантонного анализа найти АВП разложений β-функций.
Провести борелевское суммирование уравненийГелл-Манна-Лоу на основе известных на сегодня пятипетлевых ренормгрупповых расчётов и исследовать фазовый портрет на предметналичия ИК-устойчивых фиксированных точек. Включить в полевоедействие старшие вершины и провести мультипликативную ренормировку в одной петле, рассматривая новые члены в качестве составныхоператоров.
Оценить температуру фазового перехода.3. Рассматривая модель A с турбулентным перемешиванием Крейчнанав формализме эффективного усреднённого действия, решить непертурбативное ренормгрупповое уравнение. Исследовать поведение решений в ИК области. Найти устойчивые скейлинговые режимы ивычислить соответствующие критические показатели.Основные положения, выносимые на защиту:1. Вычислена АВП индекса Фишера в модели φ3 .
Сравнение асимптотических выражений коэффициентов разложения с их точными величинами обнаруживает факт отклонения последних от своей асимптотики, что объясняет заметное расхождение значений индекса Фишера,полученного в рамках различных реализаций проведённого борелевского суммирования.132.
В двухзарядной SU (N )-симметричной матричной модели найденаАВП β-функций. Показано, что аналитические свойства петлевыхразложений уравнений Гелл-Манна-Лоу зависят от матричной структуры инстантона и от положения зарядов модели на фазовой плоскости. Показано, что в случае N ≥ 4 в трёхмерной модели отсутствуютИК-притягивающие фиксированные точки. Ренормгрупповые траектории, стартуя с различных начальных значений, выходят из областиустойчивости системы, что трактуется как указание на существование в системе фазового перехода первого рода. Ренормгрупповой анализ составных операторов, проведённый в однопетлевом приближении, показывает, что температура обнаруженного фазового переходапревышает значение, получаемое в приближении теории среднего поля Ландау (которая к тому же предсказывает непрерывный фазовыйпереход при любых значениях N ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
